Теория вероятностей. Учебное пособие-1

ной величины, если количество вылетов ограничено тремя, а .6,0p

2. В кафе имеется 25 столов. Вероятность того, что в данный момент стол окажется занятым, равна 0,6. Какова вероятность того, что в данный момент будет не менее трех свободных столов?

3. Государственная лотерея выпущена тиражом в пять миллионов билетов. Выигрыши падают на

20 000 билетов. Какова вероят-

ность того, что среди 50 билетов выиграет не менее двух билетов.

61





x





X









X



























x















X









X



Глава 3. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

3.1. Определение непрерывной случайной величины.

Плотность распределения

Пример 3.1.1.

ожидания поезда в метро в утренние часы, когда поезда приходят с интервалом в 2 минуты. Очевидно, что ждать прибытия поезда можно от 0 до 2 минут, все значения случайной величины возможно внести в таблицу ряда распределения, как это делалось для дискретной случайной величины, следовательно,

Пример 3.1.2.

динатной оси

) данной точки. Очевидно, что

Определение 3.1.1. Случайная величина

рывной

конечный или бесконечный интервал.

личины.

рывной

чина, водную, т. е.

стью распределения

убывает (свойство 3 разд. 2.2). Следовательно, ее производная неотрицательна.

муле Ньютона – Лейбница

, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый

Дадим более строгое определение непрерывной случайной ве-

Определение 3.1.2. Случайную величину X называют непре-

, если ее функция распределения

Определение 3.1.3. Пусть



xF – ее функция распределения. Если

Свойства плотности распределения

1.

b

  

2.



a

Доказательство. Так как по определению плотности



 

,xfxF 

то

Рассмотрим случайную величину X – время

X не-



X

Поставим точку (случайным образом) на коор-

Случайная величина X – абсцисса (координата

.0

.,X

называется непре-

xXPxF

непрерывна.

– непрерывная случайная вели-



xF имеет произ-



.0xf Действительно, функция распределения

xF является первообразной

то эта производная называется

,xfxF

.

:

.

bXaPdxxf





xf . Тогда по фор-

.2,0

плотно-

xF не



62

b















x















X











     



a

b

.bXaPaFbFxFdxxf



a

Последнее равенство следует из свойства 4 (разд. 2.2) функ-

ции распределения



3.



dxxf



.xF

.1

Доказательство



  



  

A





A



AA

limlim



AA

AFAF

A



xFdxxfdxxf



A

.101limlim



При доказательстве воспользовались свойством 2 (разд. 2.2)

функции распределения



:xF

xFx



;0lim



xFx

4. Геометрический смысл свойства 3 заключается в том, что площадь фигуры под графиком функции



,xf ,

5. Зная плотность распределения, можно найти функцию рас-

x



пределения

xF по формуле

 



dttfxF



.

Доказательство. По определению функции распределения



x

    





,xXPxXPxF

таким образом, получим:



.xFxXPdttf

.1lim 

равна 1.

Формула доказана.

Замечание 3.1.1. Если

– непрерывная случайная величина,

то

00



xx



,0limlim



xFxxFxxXxPxXP

т. е. вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0.

Определение 3.1.4. График функции

распределения

случайной величины .X



xf называется кривой

Определение 3.1.5. Абсцисса максимума графика плотности

распределения называется

модой и обозначается

63

(рис. 5).

0

Определение 3.1.6. Медианой непрерывной случайной вели-





X





x







x

x



xx



чины



случайная величина С помощью функции распределения можно записать, что



называется такое ее значение

X

1

т. е. одинаково вероятно, окажется ли

,

XPXP

1

.

eF

2



xf



ee

2

меньше

 или больше

e

x

для которого

,

ep

(см. рис. 5).

e

0

Пример 3.1.3. Дана функция распределения случайной вели-

чины Х

Найти: 1) плотность распределения случайной величины Х;



2)

Решение

1. Так как функция плотности

148  XP . Построить графики

e

0

Рис. 5

x



x





xF и





xF



 

 

121

 



2

x



 

2

x





xf





121

 



64

x



x



x



;0,0

;110,

.11,1

.11,0



.xf

,xFxf то

;110,

2. Из свойства 4 (разд. 2.2) функции распределения









x



x



x



дует, что



8

1814148

121





xF 

114

2

x

следовательно,

,



Заметим, что

а при

F следует из того, что

110

121

График функции распределения



xF – непрерывная функция

(рис. 6).



xF

2

57

.

 FFXP

121



1

xF при ,11x

64

8 F

.

121

сле-



xF

0

Рис. 6

График функции плотности



xf

2

11

0

Рис. 7

11



xf представлен на рис. 7.

11

Пример 3.1.4. Дана функция распределения случайной вели-

чины Х

65



















































x







A









x



xxba



x





.11arcsin1

0

.,1

b

.1,1

xF непрерывная, то

 





xF

 



Найти: константы a и ;b функцию плотности

.5,05,0  XP

Решение

1. Так как

составим систему:

Вычтем из первого уравнения второе, получим

F

  

,01



 

 

 

 



 bb или ,1

11 F и функция

baF









ba





2











ba







2









baF

122

;1,0

;1;1,arcsin

;

xf



,01arcsin1

следовательно,

Если подставить

Итак, функция распределения

2. Функция плотности

1b .

во второе уравнение, то найдем

1b



xF имеет вид

 

1



1



xF







2



 

 

 

1



xf





1

x



 



xFxf , следовательно,

x

2

66

1

.

a

2

;1,0

x

;11,arcsin

xx



.1,1

x





;1,0

;11,

x



.1,0

x



3. Вероятность









x













5,05,05,05,0









1







 



.11



5,0arcsin

 



1







,



3

66



так как

 



1







1





2

1

 при

 

FFXP

1







5,0arcsin





 





2





5,0arcsin5,0arcsin

xxF arcsin

2

Пример 3.1.5. Задана плотность распределения случайной ве-

личины Х

;1,0

x

a

4

x

.1,

x







xf

 

 



Найти постоянный параметр a и функцию распределения



.xF

Решение

1. Для нахождения параметра a воспользуемся свойством 3



плотности распределения:





.1

dxxf

Разобьем интеграл на два интеграла:







lim

A

так как

Таким образом,



lim

AA

1

 ,1

A

dx



A



1



1







3



limlim0

4

A

x

a



,

3

1



1

a

3

x

1



3



dxdxxf

A

3

1

.0

a

x

1

lim

A









adx

4

a

 

3

A



a

dxxf следовательно, .3a

3

x



a

3



Функция плотности принимает вид

;1,0

 





xf

 



x

3

4

x

.1,

x



A



1

67

2. Для нахождения функции распределения











x





x



















x



x







x



x





x

f

x

емся формулой

 



dttfxF



и учтем, что плотность

воспользу-



xF

задана



xf

по-разному при

Если

Если ,1

 

1

то

,1

то





и .1x

1

xx

 



1

0





1

.



11

33



dtdttfxF .00



x

3

xx

3

dtdttfxF

dt

4

t



t



3



3

1

Следовательно,

;1,0

x

 

xF





1



1



x





.1,

x



3

Заметим, что найденная функция распределения

1

рывна и



,0lim

xFx



xF

 



xx





1limlim



x

.1





3



Пример 3.1.6. Функция плотности случайной величины Х

3

 

10



x

21

7





xf



 

5

 



Найти функцию распределения

x





x



x



 



.xF

;1;0,

;4;3,

.4;31;0,0

Решение. Построим график

xf (рис. 8).

1

3

t

x



1

xF непре-



68













x







x



x

7

x





x

f

5

3

10

0

2

3

1

Рис. 8

4

На графике видно, что плотность

xf задана на пяти интер-

валах по-разному, поэтому есть смысл переписать условие задачи по-новому:

x

;0,0

x



;10,

x



;31,0

x



;43,

x



.4,0



xf



 

3



10

 

x

21

7

  



5

В формуле для нахождения функции распределения

x

 

 верхний переменный предел интегрирования x мо-

dttfxF



жет находиться в любом из пяти интервалов, поэтому мы рассмотрим пять случаев:

xx

1. Пусть ,0

тогда

 

dtdttfxF



.00 

2. Пусть ,10

 

3. Пусть

тогда

,31

0



xx

69

3



10

0

3

10

x

3

.

xtdtdtdttfxF



10

0



x

xx

x











x







x



5

 



t

63

5



10

7

5

37



1

3

t

3



tdtdtdtdttfxF

10

0

21





dt



5



22

21



5

21

 

5







 

 

4. Пусть ,43

 



7

3

 

10



2

21

7

x

10

5. Пусть ,4

 

2



7

3

10

178

10

t

 

10



84

5



t

5



2



x

21

5

10

тогда



21



t



5



33

.



5

тогда

0



4

 

t

 

3

.1



0



x

3

0

10

0

3

10

1

0

3

10

112

10

1

3

10

0

1

3

10

0

7

x

10

84

5

xx

0



1

3

0

dtdtdtdttfxF



1

21

3

0

dtdtdtdttfxF

1

3

 



x



5



4

7

 



3

63







10



0



3

Ответ:

;0,0

   







xF

    



7

10

3

10

3

10

2

x

21

5

33

5

x

;10,

xx



;31,

x



;43,

xx



.4,1

x



Пример 3.1.7. Дана плотность распределения случайной ве-

личины Х

.



 

3



 

xx

0



dtdt



4

70