Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный аграрный
университет имени императора Петра I»
Агроинженерный факультет
Кафедра высшей математики и теоретической механики
С.Н. Дементьев, А.Е. Попов, Л.И. Федулова, Т.Е. Хоршева
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
ВОРОНЕЖ
2015
УДК 519.2
Теория вероятностей: учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01 – «Ветеринария» и по направлениям 36.03.01 – «Ветеринарно-санитарная экспертиза»
36.03.02 – «Зоотехния» ВГАУ / Дементьев С.Н., Попов А.Е., Федулова Л.И. Хоршева Т.Е. Воронеж: ФГБОУ ВО ВГАУ, 2015, - 107 c.
Рецензенты: профессор кафедры анатомии и хирур-
гии ВГАУ Белогуров А.Н.
доцент кафедры вычислительной мате-
матики и прикладных информационных
технологий ВГУ З. А. Шабунина
В учебном пособии рассматриваются основные понятия и методы теории вероятностей применительно к решению задач биологии, ветеринарии и зоотехнии.
Приводятся решения типовых задач, формулируются вопросы
для самопроверки, предлагаются содержательные задачи для самостоятельного решения и контрольные задания для типового расчета.
© Дементьев С.Н., , Попов А.Е., Федулова Л.И.,
Хоршева Т.Е., 2015.
© ФГБОУ ВО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I»,
2015.
Дементьев Сергей Николаевич
Попов Антон Евгеньевич
Федулова Людмила Ивановна
Хоршева Татьяна Евгеньевна
2
О Г Л А В Л Е Н И Е
F
Тема 1. Классификация событий. Классическое определение
вероятности. Относительная частота события ………………
Контрольные задания № 1.1 1.30 …………………………………….
Тема 2. Сумма и произведение двух событий. Теоремы сложения и
умножения вероятностей ……………………………………. 17
Контрольные задания № 2.1 2.30 …………………………………….
Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса …………… 25
Контрольные задания № 3.1 3.30 …………………………………….
Тема 4. Повторные испытания. Формула Бернулли …………………
Контрольные задания № 4.1 4.30 …………………………………….
Тема 5. Случайные величины и их числовые характеристики …….. 39
Контрольные задания №№ 5.1.1 5.1.30; 5.2.1 5.2.30; 5.3.1 5.3.30
Тема 6. Нормальное распределение ………………………………….. 66
Контрольные задания № 6.1 6.30 …………………………………….
Тема 7. Распределения, связанные с нормальным ………………….. 74
Контрольные задания № 7.1 7.30 …………………………………….
Тема 8. Предельные теоремы теории вероятностей
Вопросы тестов по теории вероятностей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………... 98
Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа ……………….. 99
5
14
22
30
35
38
56
72
81
81
86
Приложение 2. Критические точки распределения
Приложение 3. Критические точки распределения Стьюдента ……... 102
Приложение 4. Критические точки
распределения …………….. 103
2
………………
101
3
Введение
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Как известно, методы математической биостатистики основаны на теории вероятностей и законе
больших чисел.
Первые работы по теории вероятностей появились в XVI –
XVII вв. в работах Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса и других при
попытке создания теории азартных игр. Далее в XVIII в. Я. Бернулли доказал теорему, названную законом больших чисел, обосновавшую накопленные ранее факты. В XVIII – XIX вв. теория вероятностей была развита А. Муавром, П. Лапласом, К. Гауссом, С.
Пуассоном и др. Русские математики П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов
и А.А. Марков сделали большой вклад в «математику случайного»
в XIX и начале XX веков.
Последние десятилетия характеризовались интенсивным внедрением теоретико-вероятностных методов в практику анализа и
синтеза сложных технических и биологических систем. Объясняется это тем, что такие системы описываются, как правило, статистическими, а не детерминированными законами. Согласно этим законам будущее состояние системы определяется не однозначно, а
лишь с некоторой вероятностью, являющейся объективной мерой
возможности реализации заложенных в прошлом тенденций изменения.
Предмет теории вероятностей отличается большим своеобразием. Необычный характер теоретико-вероятностных понятий
явился причиной того, что долгое время подход к этим понятиям
основывался только на интуитивных соображениях.
Настоящее и по-современному строгое обоснование теории
вероятностей появилось сравнительно недавно в 30-х годах XX
века в трудах русского математика академика А.Н. Колмогорова.
Основной вклад в формирование теории вероятностей в ее современном виде внесли наряду с А.Н. Колмогоровым российские математики С.Н. Бернштейн, В.М. Романовский, а также ученые англо-американской школы Р. Фишер, Э. Пирсон, Е. Нейман, Стьюдент (В. Госсет) и др.
При изучении дисциплины обучающийся должен овладеть
способностью использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности; осознанием сущности и значения информации в развитии современного общества; основными методами, способами и средствами получения, хранения и
переработки информации; готовностью использовать современные
информационные технологии.
4
Тема 1. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ.
Простейшими понятиями теории вероятностей являются испытание (опыт) и событие. Под испытанием в теории вероятностей
понимают некоторый эксперимент или наблюдение, осуществляемые при выполнении определенной группы условий.
Примеры испытаний.
1. Бросание монеты (здесь под осуществлением определенной
группы условий понимают, что монета имеет правильную
форму, у нее не смещен центр тяжести; поверхность, на которую бросают монету, ровная, поэтому монета не может
встать на ребро или закатиться).
2. Стрельба по мишени.
3. Взятие пробы молока для определения его жирности.
Результат испытания в теории вероятностей называется со-
бытием. Например, если испытание подбрасывание монеты, то
возможные события:
1) выпал герб,
2) выпала цифра.
Для обозначения событий используются заглавные буквы из
начала латинского алфавита. Для описания событий используют
знак равенства и фигурные скобки. Например,
А = {выпадение герба при бросании монеты},
В = {у наудачу выбранной семьи количество комнат в кварти-
ре равно 2}.
Все события подразделяются на достоверные, невозможные,
случайные.
Событие называют достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет (например, выпадение от одного
до шести очков на верхней грани игрального кубика при его однократном бросании).
5
Событие называют невозможным, если в результате испытания оно заведомо не может произойти (например, выпадение девяти очков на верхней грани игрального кубика при его однократном
бросании).
Событие называют случайным, если в результате испытания
оно может произойти или не произойти (например, рождение бычка
при отеле коровы).
Два случайных события называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Например,
при однократном бросании монеты события А = {выпадение герба}
и В = {выпадение цифры} несовместны.
Если в результате испытания два события могут произойти
одновременно, то их называют совместными. Например, при однократном бросании двух монет события А = {выпадение герба на
первой монете} и В = {выпадение цифры на второй монете} являются совместными.
События называют равновозможными, если нет оснований
считать, что одно из них имеет больше шансов произойти, чем другие (например, выпадение герба и цифры при однократном бросании монеты).
События составляют полную группу, если они попарно несовместны и в результате испытания одно из них обязательно происходит. Если полная группа состоит ровно из двух событий, то их
называют противоположными. Например, при однократном бро-
сании игрального кубика события А = {выпадение четного число} и
В = {выпадение нечетного числа} равновозможные, а также составляют полную группу и противоположные. В этом опыте равновозможными являются также события С1 = {1 очко}, …, С6 = {6 очков}. Кроме того, они составляют полную группу.
Отметим, что событие, противоположное событию A, обозначается символом A.
Если события составляют полную группу и являются равновозможными в данном опыте, то их называют элементарными со-
бытиями или исходами испытания. Так, рассмотренные выше со-
бытия С
,…,С
1
элементарные события (исходы) при однократном
6
бросании игрального кубика.
Допустим, что некоторое испытание может иметь ровно n
равновозможных исходов, среди которых m исходов влекут за со-
6
бой появление события А. Эти исходы называют благоприятными
,1)(0
A
P
25n
25
для события А. Число
AP )(
исходовныхблагоприятжныхравновозмочисло
исходовчислообщее
m
n
называют вероятностью события А в рассматриваемом испытании. Данное определение принято называть классическим определением вероятности.
Из определения вероятности события А следует, что
причем вероятность невозможного события равна нулю, вероят-
ность достоверного события равна единице, а для случайного со-
бытия 0<P(A)<1. Отметим также, что если A событие, противоположное событию А, то
).(1)( APAP
Пример 1.1. Студент явился на коллоквиум, зная ответы на
вопросы к 15 билетам из 25. Какова вероятность того, что вытянутый наудачу билет состоит из вопросов с известными студенту ответами?
Решение. Испытание состоит в том, что из 25 билетов наудачу извлекается один. Так как билет вытягивается случайным образом, то все исходы этого испытания равновозможные. Общее число
исходов испытания совпадает с количеством имеющихся билетов,
т.е.
. Пусть А = {вытянутый билет состоит из вопросов с известными студенту ответами}. Тогда число исходов испытания,
благоприятных по условию задачи событию А, равно 15. По классическому определению вероятности имеем
15
)( AP
.6,0
7
Таким образом, с уверенность 60% можно утверждать, что
( )
w A
( )
w A
( )
w A
( )
P A
100
( )
P A
50 5
( ) .
70 7
студент сдаст коллоквиум (если ему не будут предлагаться дополнительные вопросы).
Во многих практических задачах вычислить вероятность интересующего события А с помощью классического определения невозможно. В этих случаях вероятность полагают приближенно равной относительной частоте
этого события, которая опре-
деляется следующим образом.
Пусть некоторое испытание проводится N раз (говорят, что
проводится серия испытаний). Допустим, что в этой серии интересующее нас событие А произошло М раз. Тогда относительную
частоту
определяют по формуле
M
Aw )(
сериивиспытанийчисло
Асобытияпоявленийчисло
N
Отметим, что относительная частота
может быть найде-
на только после проведения серии испытаний, тогда как вероятность
вычисляется до проведения испытания. Так, например,
если стрелок сделал 100 выстрелов и из них 75 раз поразил цель, то
относительная частота события А = {попадание в цель при одном
выстреле} будет равна
75
)( Aw
.75,0
Это число и будет рассматриваться как
вероятность
попадания в цель при одном выстреле.
Пример 1.2. Замечено, что из 70 плодовых деревьев приживается на другой год 50. Сколько надо посадить деревьев, чтобы
прижилось 120?
Решение. Испытание в данном случае посадка дерева. В серии из 70 испытаний событие А = {дерево прижилось} наступило
50 раз. Следовательно,
w A Число М появлений со-
бытия А в серии из N испытаний по условию равно 120. Поэтому
значение N определим из равенства
8
7
N
N
5
n
P
.)1(21!nn
n
0! 1
M
)(
Aw
5120
1207
откуда 168
N .
Геометрическая вероятность
Понятие «геометрическая вероятность» состоит в следующем.
Пусть в область G бросается наудачу точка. Выражение “бросается
наудачу” понимается в том смысле, что брошенная точка может
попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какуюлибо часть области G пропорциональна мере этой части (длине,
площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.
Таким образом, если g – часть области G, то вероятность попадания в область g по определению равна
gмера
gP )( .
Gмера
Замечание об основных формулах комбинаторики
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Перестановками называют выборки (комбинации), состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся
только порядком их расположения в комбинации. Число перестановок из n элементов обозначается
и вычисляется по формуле
где
Заметим, что по определению полагают
9
,!nP
n
.
Пример 1.3. К кассе для уплаты налога подошли одновремен-
4
4! 1 2 3 4 24
n
m
n
A
m
n
C
m
но 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?
Решение. Очередь состоит из 4 различных лиц. В каждой возможности составления очереди учитывается лишь порядок расположения в ней людей. Таких комбинаций будет
P
Размещениями из
.
различных элементов по m называют
выборки (комбинации), составленные из n данных элементов по m
элементов каждая, отличающиеся либо составом элементов, либо
их порядком вхождения в комбинации. Число всех возможных раз-
мещений из n элементов по m обозначается
и вычисляется по
формулам:
m
n
!
n
)!(
mn
A
m
n
mnnnnA
.
),1()2()1(
Пример 1.4. Определить, сколько трехзначных чисел можно
составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений.
Решение. Здесь, очевидно, для получения ответа требуется
вычислить число размещений из пяти элементов по три:
3
5
60345;3;5
Amn .
Сочетаниями из n различных элементов по m называют вы-
борки (комбинации), составленные из n данных элементов по m
элементов каждая, отличающиеся хотя бы одним элементом. Число
сочетаний из n элементов по m обозначается
и вычисляется
по формуле
C
m
A
m
n
n
.
P
!
n
!)!(
mmn
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]