Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
Пример 1.5. Имеется 6 штаммов бактерий. Для определения
1, 120
m n
120
скорости их роста необходимо выбрать 3 штамма. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Способы отбора считаются различными, если каждая отобранная группа штаммов различается хотя бы одним элементом. Это число, очевидно,
3
С
6
!6
!3)!36(
654321
.20
321321
Ниже приводим три задачи, при решении которых воспользуемся классическим определением вероятности события и формулами комбинаторики.
Задача 1.1. На каждой из пяти карточек написана одна из пяти букв а, н, г, к, и. После тщательного перемешивания карточки
выстраиваются случайным образом в ряд. Какова вероятность того,
что при этом получится слово «книга»?
Решение. Число всех возможных исходов опыта в данном
случае равно числу перестановок из пяти элементов (букв), т.е.
P
5
.12054321!5
Из них лишь один исход образует слово «книга». Поэтому
здесь
, а вероятность события D={получится слово
1
«книга»} равна .008,0
)( DP
Задача 1.2. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей окажется 4
стандартных.
Решение. Общее число возможных исходов испытания равно
числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10. Нетруд-
но понять, что это число сочетаний из 10 элементов по 6 (
6
C ).
10
Определим число исходов, благоприятствующих событию A
(среди 6 взятых деталей будет 4 стандартных). Четыре стандартные
детали можно взять из семи стандартных деталей
4
C способами.
7
11
При этом остальные 64=2 детали должны быть нестандартными, а
10
90
взять 2 нестандартные детали из 107=3 нестандартных деталей
можно
событию A исходов равно
2
C способами. Следовательно, число благоприятствующих
3
2
4
CC .
3
7
Искомая вероятность события A={среди 6 взятых наудачу де-
2
талей окажется 4 стандартных} равна
4
CC
7
C
6
)(
AP
1
3
.
2
Задача 1.3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их
наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение. Обозначим B={набраны две нужные цифры}. Всего
можно набрать столько пар различных цифр, сколько может быть
составлено размещений из десяти элементов по два, т.е.
2
10
90910
A . Таким образом, общее число возможных исходов
нашего опыта равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны
и образуют полную группу. Благоприятствует событию B лишь
1
один из них, поэтому искомая вероятность равна .
)( BP
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что понимают под испытанием? Приведите примеры.
2. Что называется событием? Приведите примеры.
3. Что понимают под исходами испытания? Приведите примеры.
4. В каких из следующих примеров указаны все возможные исхо-
ды испытания: а) выигрыш, проигрыш шахматной партии; б)
попадание, промах при одном выстреле в мишень; в) выпадение в указанном порядке герба-герба, герба-цифры, цифрыцифры при двукратном бросании монеты?
5. Какие из следующих событий являются случайными, достовер-
ными, невозможными: а) выигрыш по одному лотерейному билету; б) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика при его однократном бросании; в) получение
абитуриентом 20 баллов на вступительных экзаменах в институт при сдаче трех экзаменов, если применяется пятибалльная
система оценок?
12
6. Какие из следующих событий являются несовместными: а)
n
P
m
n
A
( , )
a A
выигрыш, проигрыш в шахматной партии: б) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 20 включительно является
1) четным, 2) кратным 3; в) нарушение в работе первого, второго транспортеров на животноводческом комплексе?
7. Сформулируйте классическое определение вероятности и пере-
числите свойства вероятности.
8. Что такое противоположные события? Как связаны их вероят-
ности?
9. Сформулируйте понятие относительной частоты события. Чему
равна относительная частота достоверного, невозможного, случайного событий?
10. Сформулируйте понятие перестановок из n элементов и запи-
шите формулу для вычисления
.
11. Дайте понятие размещений из n элементов по m и запишите
формулу для вычисления
.
12. Сформулируйте понятие сочетаний из n элементов по m и за-
пишите формулу для вычисления
m
С .
n
ЗАДАЧИ
1. Перечислите все возможные исходы при одновременном броса-
нии двух монет. Какова вероятность выпадения двух гербов?
Герба и цифры? Во скольких случаях из 500 одновременных
бросаний двух монет Вы рассчитываете на появление комбинации герб-цифра?
2. Селекционер скрещивает две породы, каждая из которых обла-
дает парой генов
. Каждая из родительских особей пере-
дает потомку один из этих генов (либо А, либо а). Два гена
один отцовский и один материнский составляют пару генов
потомка. Какова вероятность того, что в паре генов потомка
будет содержаться ген А? Какова вероятность того, что пара
генов потомка будет составлена из одинаковых родительских
генов?
3. Число животных N в стаде неизвестно. Из этого стада наугад
отбирают M животных, которые клеймятся и возвращаются в
стадо. Затем отбирают n животных, среди которых m оказы-
13
ваются клейменными. Укажите приближенное значение для величины N.
4. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в
точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом
разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что
выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью
паук придёт к выходу .
5. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся
на разные месяцы года.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 1.1 –1.30
В задачах 1.1–1.30 найти вероятности указанных событий,
пользуясь классическим определением вероятности и относительной частоты.
1.1. Из букв слова «ветеринария» наугад выбирается одна буква.
Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной; б)
согласной; в) «и»?
1.2. В коробке имеется 7 желтых и несколько белых таблеток.
Какова вероятность вытащить белую таблетку, если вероятность вытащить желтую таблетку равна 1/6? Сколько белых
таблеток в коробке?
1.3. При стрельбе была получена относительная частота попадания 0,6. Сколько было сделано выстрелов, если получено 12
промахов?
1.4. Для проверки на всхожесть было посеяно 150 семян бобов, из
которых 130 проросло. Чему равна вероятность прорастания
отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем
взойдет из 1000 посеянных?
1.5. Относительная частота заболевания гепатитом у коров равна
0,2. В стаде 120 коров. Сколько заболевших коров в стаде?
1.6. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков: 1) четная; 2) больше двух.
14
1.7. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность
того, что сумма выпавших очков равна пяти, а произведение
четырем.
1.8. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
1.9. На каждой из шести карточек написаны буквы: у, т, ф, б, л,
о. Карточки перемешивают, берут по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что можно будет
прочесть слово «футбол»?
1.10. На каждой из шести одинаковых карточек написана одна из
букв: в, м, ч, р, а, т. Карточки перемешивают. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных слева направо карточках можно прочесть слово «врач».
1.11. В группе 12 ягнят, из них четыре больны рахитом. Для клинического обследования случайным образом отобрано пять
ягнят. Какова вероятность, что среди них два больны рахитом?
1.12. В группе 16 голов крупного рогатого скота, из которых
шесть поражены вирусом. При контрольном обследовании
случайным образом отобрано три животных. Какова вероятность того, что они окажутся зараженными?
1.13. В питомнике 12 собак, из них три щенка. Половина собак
прошла вакцинацию. Какова вероятность того, что среди них
два щенка?
1.14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна
8, а произведение 16.
1.15. В международной конференции по биологии участвуют 20
ученых: 6 из России, 9 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают ученые, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что докладчик, выступающий
первым, окажется из Китая.
1.16. Фабрика выпускает ошейники для животных. В среднем 8
ошейников из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленный ошейник окажется без дефектов.
1.17. В большой партии лабораторных весов в среднем на каждые
1491 исправных приходится 9 неисправных приборов. Най-
15
дите вероятность того, что случайно выбранные весы окажутся неисправными.
1.18. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 100 докладов - первые два дня по 27 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора из
Минска. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора из Минска окажется запланированным на последний день конференции?
1.19. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится
на 3?
1.20. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев
2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом
городе.
1.21. На олимпиаде по биологии 300 участников разместили в трёх
аудиториях. В первых двух удалось разместить по 130 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом
корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
1.22. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные
группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей
окажутся в одной группе.
1.23. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 С,
равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется
36,8 С или выше.
1.24. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что он верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите
вероятность того, что учащийся верно решит ровно 11 задач.
1.25. Вероятность того, что в понедельник в ветеринарную клинику будет меньше 20 обращений, равна 0,94. Вероятность того,
что окажется меньше 15 обращений, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число обращений будет от 15 до 19.
1.26. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на
одной монете появится «герб».
16
1.27. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассажи-
A B
( / )
P B A
( / ) ( ); ( / ) ( ).
P B A P B P A B P A
ваются 7 юношей и 2 девушки. Найдите вероятность того,
что обе девушки будут сидеть рядом.
1.28. В среднем из 1000 аппаратов для измерения давлениия, поступивших в продажу, 7 пропускают воздух. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля
прибор исправен.
1.29. В группе 25 животных, среди которых 20 коров, а остальные
нетели. Выбраковано 5 животных. Найти вероятность того,
что три из них нетели.
1.30. В клетке 40 мышей, из них 16 белых. Найти вероятность, что
среди извлеченных случайным образом 4 мышей нет белых.
Тема 2. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СОБЫТИЙ.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Два события называются независимыми, если вероятность
одного из них не зависит от появления или непоявления другого. В
противном случае эти события называются зависимыми.
Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих
событий (иными словами, событие А+В состоит в появлении хотя
бы одного из событий А и В).
В частности, если события А и В несовместные, то событие
А+В состоит в появлении одного из них, безразлично какого.
Произведением
двух событий А и В называют событие,
состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Условной вероятностью
называют вероятность со-
бытия В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Замечание. Для независимых событий А и В справедливы равенства
===================================================
17
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
).()()(BPAPBAP
100000
100000
.
015
,0005
,001,0)()()(
BPAPBAP
)./()()/()()(BAPBPABPAPBAP
).()()(BPAPBAP
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
===================================================
Пример 2.1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 100 000
билетов приходится 1000 денежных и 500 вещевых выигрышей.
Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или
вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
Решение. Пусть
А = {денежный выигрыш владельца одного лотерейного биле-
та};
В = {вещевой выигрыш владельца одного лотерейного биле-
та}.
По условию вероятность денежного выигрыша
1000
)( AP
.01,0
Вероятность вещевого выигрыша
500
)( BP
.005,0
События А и В несовместны, поэтому применима предыдущая
теорема сложения вероятностей:
===================================================
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность совместного появления двух событий А и В равна
произведению безусловной вероятности одного из них на условную
вероятность другого:
==================================================
Если события А и В независимые, то их условные вероятности совпадают с безусловными, т.е. в этом случае
18
Пример 2.2. Всхожесть семян, предназначенных для посева,
.96,0)
(A
P
.95,0)
(B
P
B
A
.
912
,095,096,0)()()
(
BPAPBAP
B
A
245
493950
оценивается вероятностью 0,96. Вероятность попадания семян в
благоприятные для прорастания условия составляет 0,95. Какой
процент семян даст всходы?
Решение. Рассмотрим следующие события.
А = {семенной материал способен дать всходы},
В = {Семена попали в благоприятные для прорастания усло-
вия},
Событие
{посеянные семена дадут всходы} состоит в
совместном появлении событий А и В. Так как события А и В независимые, то применима теорема умножения вероятностей независимых событий:
Таким образом, всходы дадут 91,2% семян.
Пример 2.3. В ящике находится 50 деталей, среди которых 40
стандартных и 10 нестандартных. Наудачу берут одну деталь, не
возвращая ее в ящик, а затем вторую. Какова вероятность того,
что при этом обе случайно взятые детали окажутся стандартными?
Решение. Рассмотрим события
А = {первая извлеченная деталь стандартная};
В = {вторая извлеченная деталь стандартная};
С =
= {обе извлеченные детали стандартные}.
Так как события А и В зависимые, то применима теорема ум-
ножения вероятностей зависимых событий:
40
)/()()( ABPAPBAP
156
.
===================================================
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Пусть события А и В совместны, причем известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Тогда
вероятность появления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
19
).()()()(BAPBPAPBA
P
),()()()()(BPAPBPAPBAP
)./()()()()(ABPAPBPAPBAP
),()()(BPAPBAP
.0)
(
BAP
).()()()()()(BPAPBPAPBAPCP
.
955
,082,075,082,075,0)
(
C
P
===================================================
Замечание 1. События А и В могут быть как зависимыми, так
и независимыми. Для независимых событий имеем
а для зависимых
Замечание 2. Если события А и В несовместны, то
т.к. при этом
Пример 2.4. Два стрелка производят одновременно по одному
выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для каждого из них
соответственно равны 0,75 и 0,82. Найти вероятность того, что цель
будет поражена хотя бы одним стрелком.
Решение. Введем в рассмотрение события:
А = {цель поражена первым стрелком} (Р(А) = 0,75);
В = { цель поражена вторым стрелком} (Р(В) = 0,82);
С = {цель поражена хотя бы одним стрелком}.
Так как события А и В совместные (в цель могут попасть оба
стрелка одновременно) и независимые (вероятность попадания в
цель одного из стрелков не зависит от результатов стрельбы другого), то применяем формулу
Отсюда имеем
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]