Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие события называются независимыми, зависимыми?
2. Какие события называются несовместными, совместными?
3. Что называется суммой двух событий? Приведите примеры сумм
двух совместных и несовместных событий.
4. Сформулируйте теоремы сложения вероятностей для совмест-
ных и несовместных событий.
5. Что называется условной вероятностью события?
6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависи-
мых и независимых событий.
ЗАДАЧИ
1. Электрические лампочки производятся на одной автоматической
линии. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Лампочки изготавливаются независимо друг от друга.
Чему равна вероятность того, что из двух наугад взятых лампочек а) исправными окажутся обе; б) исправной будет только одна; в) обе будут бракованными?
2. В аквариуме 5 белых, 3 красные и 3 голубые рыбки. Трех науда-
чу выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что все эти рыбки белые? Какова вероятность того,
что хотя бы одна из этих рыбок белая?
3. Каков возможный состав семьи, состоящей из родителей и четы-
рех детей? Какова вероятность того, что в семье будет а) два
мальчика и две девочки; б)три мальчика и одна девочка; в) четыре мальчика?
4. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение
часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7.
Для остальных станков эти вероятности соответственно равны
0,4; 0,4; 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в
течение часа не потребует внимания рабочего.
5. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной
последовательности: следующий охотник производит выстрел
лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в
цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,8. Найти вероятности того, что будет произведено а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.
21
6. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только
24. Какова вероятность сдать при этом зачет, если после отказа
студента отвечать на полученный вопрос преподаватель задает
лишь один дополнительный?
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 2.1 –2.30
В задачах 2.1–2.30 найти вероятности указанных событий,
пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
2.1. В клетке 8 белых и 5 серых мышей. Для лабораторного ис-
следования случайным образом отбирают одну за другой
трех мышей, не возвращая обратно. Найти вероятность, что
все три мыши белые.
2.2. Для некоторой местности среднее число солнечных дней в
июле составляет 26. Найти вероятность того, что первые 3
дня июля будут дождливые.
2.3. В стаде 16 коров, из которых 4 поражены болезнью в скры-
той форме. Из стада отбирают двух животных. Найти вероятность того, что они окажутся больными.
2.4. В клетке 8 морских свинок, три из них страдают нарушением
обмена минеральных солей. Из клетки последовательно извлекают двух свинок. Какова вероятность того, что вторая
вынутая свинка будет больна, если первая оказалась здоровой?
2.5. В промышленном аквариуме содержится 12 карасей, 18 ле-
щей и 10 карпов. Последовательно без возвращения выловили 3 рыб. Найти вероятность того, что среди них 2 карпа и 1
карась.
2.6. В стаде 12 коров, из них 4 симментальской породы, осталь-
ные – черно-пестрой. Случайным образом отобрали 3 животных. Найти вероятность того, что среди отобранных нет
коров симментальской породы.
2.7. На ипподроме содержатся 10 гнедых лошадей, 3 вороных и 7
белых. Для забега случайным образом отобраны 2 лошади.
Какова вероятность того, что среди них нет белой лошади?
22
2.8. В питомнике содержатся 9 собак, из которых 3 колли, 2 бок-
сера, а остальные – доги. Случайным образом отбирают трех
собак. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один
боксер?
2.9. В группе студентов, состоящей из 12 человек, восемь деву-
шек и четверо юношей. Для дежурства случайным образом
отобраны двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будут один юноша и одна девушка?
2.10. В пакете находятся семена льна, всхожесть которых равна
0,8. Вероятность того, что растение зацветет, равна 0,9. Какова вероятность того, что растение, выросшее из наугад
взятого семени, зацветет?
2.11. Всхожесть семян бобов составляет 85%. Вероятность того,
что цветы бобов будут фиолетового цвета, равна 0,6. Какова
вероятность того, что растение из выбранного наугад семени
будет иметь фиолетовые цветы?
2.12. На предприятии брак составляет в среднем 2% общего вы-
пуска изделий. Среди стандартных изделия первого сорта
составляют 95%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта, если изделие взято из
числа прошедших проверку?
2.13. Забраковано 3% общего числа животных в стаде. Какова ве-
роятность того, что среди трех наудачу отобранных животных нет бракованных?
2.14. Вероятность того, что во время эпидемии человек заболеет
гриппом, равна 0,02. Какова вероятность того, что из двух
случайно выбранных на улице людей только один заболеет
гриппом?
2.15. У фермера имеется 4 коровы. Вероятность заболеть масти-
том в течение месяца для первой коровы равна 0,1, для второй 0,2, для третьей 0,2, для четвертой 0,15. Найти вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна корова заболеет маститом.
23
2.16. Вероятность выхода транспортера из строя в течение одного
рабочего дня равна 0,02. Какова вероятность того, что за три
рабочих дня транспортер ни разу не выйдет из строя?
2.17. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
Произведено 10 выстрелов. Какова вероятность поражения
цели, т. е. будет хотя бы одно попадание?
2.18. Студент изучает физику, анатомию и биологию. Вероятно-
сти получить “отлично" по этим курсам соответственно равны 0,6, 0,7, 0,3. Какова вероятность того, что он получит
“отлично” только по биологии?
2.19. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Какова вероят-
ность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса?
2.20. В двух отсеках зернохранилища находится посевной матери-
ал (пшеница). Семена первого отсека имеют всхожесть 80%,
второго 85%. Для проведения лабораторного анализа отби-
рается по одному зерну из каждого отсека. Найти вероятность, что хотя бы одно зерно взойдет?
2.21. Для поражения цели достаточно хотя бы одного попадания.
По цели произведено три выстрела с вероятностями попаданий 0,8; 0,75; 0,9. Найти вероятность того, что цель будет
поражена?
2.22. На двух свиноводческих фермах произошла вспышка забо-
левания рожей. Вероятность заражения скота на первой
ферме составляет 20%, на второй 30%. Выбрана случай-
ным образом одна корова. Какова вероятность того, что выбранная корова принадлежит второй ферме и имеет заболевание?
2.23. Вероятность заболевания мыши вирусом равна 0,2.Какова
вероятность того, что хотя бы одна из четырех мышей здорова?
2.24. Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя
бы один раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
24
2.25. Из стада отбирают высокопродуктивных коров. Вероятность
того, что наудачу отобранное животное окажется высокопродуктивным, равна 0,2. Найти вероятность того, что из
трех отобранных коров только две будут высокопродуктивными.
2.26. В первой клетке 3 белых и 4 серых кролика, во второй клетке
7 белых и 5 серых кроликов. Из каждой клетки наудачу взяли по одному кролику. Какова вероятность того, что оба
кролика белые?
2.27. Изучалась эффективность трех вакцин на группе животных.
Вакцины могут вызывать аллергию у животных с равными
вероятностями 0,1. Найти вероятность того, что вторая вакцина не вызывает аллергии у животных, а первая и третья
вызывают.
2.28. В хранилище 20 ящиков яблок. Из них 8 ящиков с яблоками
сорта А, остальные сорта В. Взяли 3 ящика. Найти вероятность, что среди взятых ящиков окажутся 2 ящика с яблоками сорта А и 1 ящик с яблоками сорта В.
2.29. На животноводческом комплексе работают независимо друг
от друга 2 транспортера. Вероятность безотказной работы в
течение дня первого равна 0,9, второго – 0,8. Найти вероятность безотказной работы в течение дня обоих транспортеров.
2.30. Вероятность установления в данной местности устойчивого
снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров с октября не установится ни разу.
Тема 3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
ФОРМУЛА БЕЙЕСА.
Пусть событие A может наступить при условии появления
одного из событий
1
HH ,...,
, которые образуют полную группу.
n
Тогда вероятность события A равна сумме произведений вероятно-
25
стей каждого из событий
i
1
1
2
A
1
2
1
2
H (гипотез) на соответствующие услов-
ные вероятности события A:
i
11 nn
),/()(...)/()()(
HAPHPHAPHPAP
(1)
где .1)(...)(
1
HPHP
n
Равенство (1) называют формулой полной вероятности.
Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:
)/()(
HAPHP
ii
,
где
n
)/(
AHP
i
(2)
)(
AP
HAPHPAP
)/()()( (формула полной вероятности).
ii
Пример 3.1. В урне с равной возможностью лежит шар неизвестного цвета белого или черного. В урну опустили один белый
шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекли один
шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
Решение. Рассмотрим события:
H {в урне лежал белый шар};
H {в урне лежал черный шар};
{извлеченный шар белый}.
Очевидно, события
H и 2H образуют полную группу собы-
тий. Кроме того, по условию задачи эти события равновозможные,
т.е.
1
)()(
HPHP
21
.
Вероятность извлечения из урны белого шара при условии,
что сначала в ней лежал белый шар, равна 1)/(
но имеем .
2
1
)/(
HAP
HAP . Аналогич-
Вероятность того, что из урны извлечен белый шар, по формуле полной вероятности равна
26
43212
1
2
4
A
1
2
1
2
.81,09,03,08,05,07,02,
0
1
.
HAPHPHAPHPAP
1
)/()()/()()(
2211
Вероятность того, что в урне сначала лежал белый шар, при
условии извлечения белого шара по формуле Бейеса равна
1
1
)/(
AHP
1
)(
AP
)/()(
HAPHP
11
2
3
2
.
3
Пример 3.2. В специализированную больницу поступают в
среднем 20% больных с заболеванием К, 50% с заболеванием L,
30% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни
К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно
равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что:
1. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым.
2. Этот больной страдал заболеванием L.
Решение. Введем события:
{больной, поступивший в больницу, был выписан здоро-
вым};
H {больной, поступивший в больницу, имел заболевание К};
H {больной, поступивший в больницу, имел заболевание L };
H {больной, поступивший в больницу, имел заболевание М }.
3
События
, , HHH гипотезы, вероятности которых по ус-
321
ловию задачи, очевидно, равны:
HPHPHP
321
.3,0)( ;5,0)( ;2,0)(
Условная вероятность того, что больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым, если он имел заболевание К, равна
HAP Аналогично 8,0)/(
.7,0)/(
HAP и 9,0)/(
HAP .
3
1. Вероятность того, что больной, поступивший в больницу,
был выписан здоровым, по формуле полной вероятности равна
)/()()/()()/()()(
HAPHPHAPHPHAPHPAP
332211
2. Вероятность того, что больной, поступивший в больницу и
выписанный здоровым, страдал заболеванием L, по формуле Бейеса
равна
27
40
A
1
2
2
1
2
1
1
1
2
221
1
;
395
,048,05,031,05,
0
)/()(
HAPHP
)/(
AHP
2
)(
AP
22
8,05,0
81,0
.
81
Пример 3.3. Большая популяция людей разбита на две группы
одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким
содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы
была богата насыщенными жирами. После десяти лет пребывания
на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний
составило в этих группах 31% и 48%. Найти вероятности того, что
случайно выбранный из популяции человек а) имеет сердечнососудистое заболевание; б) этот человек принадлежит к контрольной группе.
Решение. Введем события:
{случайно выбранный человек имеет сердечно-сосудистое
заболевание};
H {выбранный человек не принадлежит к контрольной
группе (придерживался специальной диеты)};
H {выбранный человек принадлежит к контрольной груп-
пе}.
По условию задачи понятно, что вероятности гипотез
, HH
равны друг другу:
HPHP
Кроме того, вероятность события
.5,0)()(
/ HA {человек имеет сер-
дечно-сосудистое заболевание при условии, что он придерживался
специальной диеты} составляет .31,0)/(
HAP
.48,0)/(
HAP Аналогично
Теперь ответим на вопросы задачи:
а) вероятность того, что случайно выбранный человек имеет
сердечно-сосудистое заболевание, по формуле полной вероятности
равна
)/()()/()()(
HAPHPHAPHPAP
б) вероятность того, что человек, имеющий сердечнососудистое заболевание, принадлежит к контрольной группе, по
формуле Бейеса равна
28
)/()(
HAPHP
)/(
AHP
2
)(
AP
22
48,05,0
.61,0
395,0
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что понимают под полной группой событий?
2. Какие события называются несовместными? Приведите примеры
несовместных событий.
3. Что такое условная вероятность события?
4. Чему равна сумма вероятностей событий, составляющих полную
группу?
5. Запишите формулу полной вероятности.
6. Запишите формулу Бейеса и объясните, с какой целью она применяется.
ЗАДАЧИ
1. В хозяйстве имеется 6 гусеничных и 4 колесных трактора. Вероятность того, что за время выполнения некоторого вида работ
гусеничный трактор не выйдет из строя, равна 0,95; для колесного трактора аналогичная вероятность равна 0,8. С целью выполнения указанного задания произвольно выбран трактор. Найти
вероятность того, что он не выйдет из строя до завершения работ.
2. В трех мешках находится картофель: в первом 10% поврежденных клубней, во втором 15%, а в третьем 12%. Из наудачу
выбранного мешка взяли один клубень. Какова вероятность того,
что этот клубень не поврежден?
3. В двух корзинах находятся яблоки: в первой 20 штук, из которых
5 поврежденных; во второй 30 штук, из которых 6 поврежденных. Из наудачу выбранной корзины взяли одно яблоко. 1) Какова вероятность того, что яблоко будет поврежденным? 2) Если
яблоко оказалось поврежденным, то какова вероятность того, что
оно взято из первой корзины?
4. Лабораторное животное либо здорово (с вероятностью 0,9), либо
нет. Если животное здорово, то оно может выполнить некоторое
задание в 75% всех попыток. Если животное нездорово, то оно
способно выполнить это задание лишь в 40% всех попыток. До-
29
пустим, что предпринимается попытка и животное не справляется с заданием. Какова вероятность того, что животное здорово?
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 3.13.30
В задачах № 3.1–3.30 найти вероятности указанных событий,
используя формулы полной вероятности и Бейеса.
3.1. Калийное удобрение поступает на склад хозяйства с завода 1
и с завода 2, причем с 1-го завода в 3 раза больше, чем со 2-го.
Вероятность того, что удобрение с первого завода удовлетворяет стандарту, равна 0,8, со второго – 0,7. Определить вероятность того, что взятое для пробы на складе удобрение
удовлетворяет стандарту.
3.2. В трех клетках находятся мыши. В первой клетке 15 % мы-
шей заболело вирусной инфекцией, во второй 10%, в третьей 20%. Из наудачу взятой клетки берут одну мышь. Како-
ва вероятность того, что эта мышь здорова?
3.3. В двух корзинках находятся грибы: в первой 12 шт., из кото-
рых 4 белых, во второй 24 шт., из которых 6 белых. Из наудачу выбранной корзины берут один гриб. Какова вероятность
того, что гриб белый?
3.4. В двух корзинках находятся грибы: в первой 15 шт., из кото-
рых 3 белых, во второй 30 шт., из которых 5 белых. Из наудачу выбранной корзины берут один гриб, который не является
белым. Из какой корзины вероятнее всего взят этот гриб?
3.5. Морская свинка либо здорова (с вероятностью 0,8), либо нет.
Если свинка здорова, то она может выполнить некоторое задание в 85% всех попыток. Если животное больное, то оно
способно выполнить это задание лишь в 30% всех попыток.
Предпринимается попытка и животное не справляется с заданием. Что вероятнее, больное или здоровое животное участвовало в испытаниях?
3.6. Навоз транспортируется на поля хозяйства из пункта А и
пункта В, причем из первого пункта в 2 раза меньше, чем из
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]