Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
)2 ;5(~NX
1. Запишите вид функции плотности вероятностей нормального
распределения. Какими параметрами определяется нормальное
распределение? Каков их вероятностный смысл?
2. Начертите нормальную кривую. Каков геометрический смысл
параметров нормального распределения? Как влияют на форму
нормальной кривой параметры нормального распределения?
3. Как вычислить вероятность попадания в заданный интервал зна-
чений нормальной случайной величины? Каков геометрический
смысл этой вероятности?
4. В чем суть правила «трех сигм»? Как найти диапазон изменения
значений нормально распределенной случайной величины?
ЗАДАЧИ
1. Случайная величина Х распределена нормально с математиче-
ским ожиданием, равным 25. Вероятность попадания ее значений в интервал (10; 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35; 40)?
2. Пусть
. Каков диапазон изменения значений Х ?
3. Процентная жирность молока коров в хозяйствах некоторой об-
ласти является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 3,1% и средним квадратическим отклонением
0,0225%. Вычислить вероятность того, что во взятой наугад пробе жирность молока будет колебаться в пределах от 2,8% до
3,5%. Каков диапазон колебания жирности молока?
4. Вес отдельного батона хлеба данной партии случайная величи-
на, описываемая нормальным законом распределения с математическим ожиданием 500 г и средним квадратическим отклонением 8 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого
из данной партии батона хлеба лежит в пределах от 496 до 508 г.
5. Средний размер диаметра стволов деревьев на некоторой делян-
ке равен 25 см, а среднее квадратическое отклонение диаметров
составляет 5 см. Считая, что диаметр ствола случайная величина, распределенная нормально, найти: а) процент стволов,
имеющих диаметр свыше 20 см; б) размер, который не превзой-
дет диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96.
71
6. Вес карпа в некотором пруду является нормальной случайной
)
(
X
P
a
) ;
(
величиной с математическим ожиданием 375 г и средним квадратическим отклонением 25 г. Какова вероятность того, что вес
пойманного карпа будет а) в пределах от 325 г до 425 г; б) не более 400 г; в) не менее 350 г?
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 6.1 - 6.30
В задачах 6.1 6.10 предполагается, что вес отдельного хлебобу-
лочного изделия (г) в данной партии, выпускаемой хлебозаводом,
есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону
с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением . Требуется определить: 1) процент изделий в данной партии, вес которых заключен в интервале (;); 2) диапазон измене-
ния веса; 3) вид плотности вероятностей f(x), построить ее график и
отметить вероятность
№
зада-
чи
6.1 Хлеб «Дарницкий» 680 7 (670; 710)
6.2 Хлеб «Венский» 600 8 (594; 605)
6.3 Батон «Горчичный» 450 6 (445; 458)
6.4 Батон «Подмосковный» 400 6 (392; 405)
6.5 Батон «Французский» 300 5 (294; 302)
6.6 Булка «Ярославская» 200 3 (192; 205)
Изделие
вычисленную в пункте 1.
6.7 Плюшка 150 2 (147; 154)
6.8 Сдоба «Воронежская» 120 2 (114; 123)
6.9 Рожок 100 2 (99; 104)
6.10 Батон «Кольцовский» 500 7 (498; 505)
72
В задачах 6.11 – 6.20 предполагается, что вес плитки шоко-
a
) ;
(
X
) ;
(
лада Х (г) в данной партии является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с заданными математическим
ожиданием a и средним квадратичным отклонением . Требуется определить: 1) процент плиток в данной партии, вес которых заключен в интервале
плитки шоколада.
№
зада-
чи
6.11 Аленка 100 3 (96; 104)
6.12 Сливочный 75 3 (71; 77)
6.13 Сказочный мир 25 2 (22; 26)
6.14 Золотой фонд 185 6 (178; 190)
6.15 Picnik 45 4 (42; 48)
Изделие (шоколад)
; ; 2) диапазон изменения веса
6.16 Snickers 50 5 (44; 56)
6.17 Wispa 40 3,5 (36; 44)
6.18 Twix 60 4,5 (45; 62)
6.19 Bounty 57 5 (54; 60)
6.20 Финт 30 1,5 (29; 33)
В задачах 6.21 6.26 предполагается, что промеры телок
(см) являются нормально распределенными случайными величинами с заданными параметрами a и . Требуется определить: 1)
процент животных, для которых величина параметра промера будет принадлежать заданному интервалу
нения промера.
; 2) диапазон изме-
73
№
a
) ;
(
X
и
a
) ;
(
a
) ;
(
зада-
чи
6.21 Высота в холке 117 5,4 (110; 120)
Тип промера
6.22 Косая длина туловища 131 10,8
6.23 Глубина груди 58,8 3,6 (55; 62)
6.24 Ширина груди 48,7 4,8 (45; 52)
6.25 Обхват груди 172 8,4 (170; 180)
6.26 Обхват пясти 16,4 4,8 (15; 22)
В задачах 6.27 6.30 предполагается, что живая масса телок
(кг) распределена по нормальному закону с параметрами
. Требуется определить: 1) процент животных, для которых
живая масса будет заключена в указанном интервале
пазон изменения живой массы.
(125; 132)
; 2) диа-
№
зада-
чи
6.27 3 101 17,4
6.28 6 176 15,6 (175; 180)
6.29 12 323 31,8 (300; 325)
6.30 18 423 61,2 (400; 425)
В математической статистике важную роль играют некоторые
законы распределения случайных величин, являющихся функциями
независимых нормальных случайных величин. К ним относятся
Возраст телки (месяцы)
Тема 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМ
(95; 110)
распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.
74
1 ;
0
a
i
1
n
t
1 ;
0
a
n
F
2
1
2
1
2
1
Распределение хи-квадрат (
2
-распределение).
Пусть
XX ,...,
независимые нормальные случайные вели-
1
n
чины с одинаковыми параметрами
.,..., ),1 ;0(~ niNX
i
n
... называется распределением хи-квадрат с
1
степенями свободы )(
Тогда распределение случайной величины
222
XXX
in
2
.
n
Распределение Стьюдента (
распределение).
Пусть
10
XXX ,...,,
независимые нормально распределенные
n
случайные величины с одинаковыми параметрами
.,...,0 ),1 ;0(~ niNX
i
Тогда случайная величина
1
n
X
ni
:
:
0
1
X
2
i
имеет
по определению распределение Стьюдента (или t-распределение) с
степенями свободы )(
T .
n
Распределение Фишера (
-распределение).
Пусть
,..., ;,...,
11 nn
независимые нормальные случай-
YYXX
ные величины, причем
.,...,1 ),1 ;0(~ ;,...,1 ),1 ;0(~
njNYniNX
; nn
21
.
F
)(
;nn
ji
n
1
Тогда случайная величина
n
n
1
1
1
i
2
2
X
i
1
n
2
j
имеет распределение Фише-
2
Y
j
1
ра (или F-распределение) со степенями свободы
75
x
x
x
1
2
1
2
На рисунках 7.17.3 изображены графики функций плотностей рассматриваемых распределений.
y1 x( )
y2 x( )
y3 x( )
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20
Рисунок 7.1. Плотность распределения хи-квадрат при n=2
(у1), n=5 (у2) и n=12 (у3).
0.4
y1 x( )
y2 x( )
0.2
y3 x( )
0
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
Рисунок 7.2. Плотность распределения Стьюдента при n=2
(у1), n=5(y2) и n=50(y3).
1
y1 x( )
y2 x( )
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Рисунок 7.3. Плотность распределения Фишера при 3
n (y1) и 30
2
n , 40
n (y2).
n ,
76
), ;(~
aNX
), ;(~
aNX
). ;(~
aNX
.3 ,2 ,
1i
ды.
2
1
4
Замечания. 1. Можно показать, что каждое из рассмотренных
выше распределений при неограниченном увеличении числа степеней свободы стремится к нормальному. Это достаточно хорошо
прослеживается на рисунках 7.1 7.3.
2. Критические точки рассматриваемых распределений можно
найти в таблицах приложений 24.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 7.1. Заданы независимые случайные величины
1
2
величину, имеющую распределение
3
Составить случайную
2
.
3
Решение. Рассмотрим случайные величины
Эти величины независимы, имеют нормальные распреде-
ления. Найдем параметры этих распределений:
aX
)(
aaaMXMaXM
MYM
i
i
1
1
)(
ii
)(
DYD
i
Отсюда ,1)(
i
aX
Y
i
1) ;0(~ NY
i
11
22
ii
и, следовательно, случайная ве-
личина
2
2
1
2
2
2
YYY
,
3
1
2
2
2
)()(
aXaX
2
aX
Y
i
2
aDXDaXD
2
)(
aX
3
2
~
2
2
3
i
;
;0)()(
.1)()(
т.е. имеет распределение хи-квадрат с тремя степенями свобо
Пример 7.2. Заданы независимые случайные величины
NXNXaNXaNX
Составить случайную величину, имеющую распределение .
). ;0(~ ),1 ;0(~ ), ;(~ ), ;(~
443222111
T
3
Решение. Случайные величины
aX
11
Y
,
1
77
Y
2
aX
22
, ,
X
Y
3
X
4
4
имеют стандартные нормальные распределения (
)1 ;0(N
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
). Тогда,
например, случайная величина
Y
1
3
1
2
2
aX
22
X
2
3
2
X
4
2
4
T
,~
3
т.е. имеет распределение Стьюдента с тремя степенями свободы.
Пример 7.3. Заданы независимые случайные величины
)2 ;1(~1NX ; )1 ;2(~2NX ; )2 ;3(~
NX ; )2 ;3(~
3
NY ; )2 ;4(~2NY .
Составить случайную величину, которая распределена по закону Фишера со степенями свободы .2 ,3
nn
Решение. Рассмотрим случайные величины ,
X
V .
2
2
2
,
V
X
3
3
3
,
U
1
Y
3
1
,
U Поскольку они
Y
2
4
2
V
1
1
1
X
имеют стандартные нормальные распределения, то случайная величина
2
3
~
F
,
2;3
2
2
YY
2
X
2
3
2
2
4
1
3
1
2
1
2
2
1
XX
2
1
2
3
1
2
т.е. имеет распределение Фишера со степенями свободы
nn
.2 ,3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение закона распределения хи-квадрат.
2. Дайте определение распределения Стьюдента.
3. Распределение какой случайной величины называют распре-
делением Фишера?
4. Какое практическое значение имеют распределения хи-квадрат,
Стьюдента и Фишера?
78
5. Как ведут себя законы распределений случайных величин
?
n
2
1
2
1
1
1
1
2
1
4
1,0
.95,
0
2
1
).1 ;0(N
,
x
;1,
0
2
,
n
T
n
при
6. Как ведет себя закон распределения случайной величины
при ?,
nn
ЗАДАЧИ
1. Заданы независимые случайные величины ),5,0 ;2(~
NXNXNX Составить слу-
432
).4,0 ;3(~ ),1,0 ;2(~ ),2 ;1(~
NX
чайную величину, которая распределена по закону хи-квадрат с
четырьмя степенями свободы.
2. Заданы независимые случайные величины ),1 ;0(~
NXNX Составить случайную величину, имею-
32
).3 ;2(~ ),2 ;0(~
NX
щую распределение Стьюдента с двумя степенями свободы.
3. Заданы независимые случайные величины ),1 ;0(~
NYNYNXNX Соста-
2132
NX
).3,0 ;1(~ ),2,0 ;1(~ ),3 ;2(~ ),2 ;0(~
F
,nn
вить случайную величину, которая распределена по закону Фишера со степенями свободы .2 ,3
4. Случайная величина
2
имеет распределение хи-квадрат с 4 сте-
nn
пенями свободы. Используя таблицы критических точек распределения хи-квадрат, найти значения x, если заданы вероятности
событий:
Z
2
4
2
4
xP где
xP где
YYXX
11 nn
ji
aaYX
;
независимые случайные величины,
,..., ;,...,
Показать, что случайная ве-
aNYaNX
)(
21
имеет распределение
). ;(~ ), ;(~
21
а) ,)(
б) ,)(
5. Пусть
причем
личина
11
nn
21
6. Случайная величина
T имеет распределение Стьюдента с 10
10
степенями свободы. Используя таблицы критических точек распределения Стьюдента, найти значения
если заданы вероятно-
сти событий:
а) ,)(
79
10
xTP где
б) ,)(
;05,
0
.1,
0
1
2
;05,
0
.6,
0
10
xTP где
в) ,)(
10
7. Случайная величина
пенями свободы 6
xTP где
F
n и .10
имеет распределение Фишера со сте-
10,6
n Используя таблицы критиче-
ских точек распределения Фишера, найти значения ,
даны вероятности событий:
а)
б)
10;6
xFP
10;6
xFP
где
,)(
где
,)(
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 7.1 - 7.30
В задачах 7.1 7.30 заданы независимые случайные величины
jjiii
j
Требуется сконструировать из них по одному примеру случайных величин с распределениями
2
FT
, ,
.
qpmn
;
x если за-
.
MjaNYNiaNX
,...,1 ), ;(~ ;,...,1 ), ;(~
П а р а м е т р ы № зада-
чи
N M n m p q
7.1 1 5 5 3 3 2
7.2 5 1 5 3 2 3
7.3 2 4 4 5 3 2
7.4 4 2 4 4 2 3
7.5 3 3 4 4 4 2
7.6 1 6 5 5 2 4
7.7 6 1 3 2 4 2
7.8 2 5 4 4 3 3
7.9 5 2 3 5 4 2
7.10 3 4 5 3 2 4
7.11 4 3 4 3 3 2
7.12 1 7 5 4 2 3
7.13 7 1 4 5 3 2
7.14 2 6 5 4 4 2
7.15 6 2 4 4 3 3
7.16 3 5 5 5 4 3
7.17 5 3 4 5 3 2
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]