Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
второго. В первом пункте 80% перегнившего навоза, во втором 90%. Определить вероятность того, что взятый для
пробы на поле навоз – перегнивший.
3.7. Для участия в эстафете отобрали с первого курса 6, со второго
8 , с третьего 4 студентов. Вероятности того, что студенты
первого, второго и третьего курсов выиграют эстафету соответственно равны 0,8; 0,9; 0,6. Наудачу выбранный студент
выиграл эстафету. К какому курсу вероятнее всего принадлежал этот студент?
3.8. Для посадки заготовлены три сорта семян бобов, из них пер-
вого сорта 60%, второго 10%, третьего 30%. Вероятность того, что длина стручка не превышает 17 см, для первого сорта
равна 0,75, для второго 0,1, для третьего 0,15. Какова вероятность того, что взятый наудачу стручок имеет длину не
менее 17 см.
3.9. Продукция изготовляется двумя фирмами, причем одна про-
изводит 60%, а вторая 40% всей продукции. Первая дает 80%
продукции первого сорта и 20% второго сорта. Вторая дает
95% продукции первого сорта и 5% второго сорта. Какова вероятность того, что взятая наудачу единица продукции окажется второго сорта?
3.10. На склад поступает продукция трех фирм. Продукция первой
фирмы составляет 25% всей продукции, второй 45%, третьей
30%. Средний процент бракованной продукции для первой
фирмы равен 2%, для второй 1%, для третьей 1,5%. Взятая
наудачу единица продукции оказалась стандартной. Какая
фирма вероятнее всего изготовила данную продукцию?
3.11. На фермах А и В произошла вспышка заболевания туберкуле-
зом. Доли зараженного скота составляют соответственно 60%
и 40%. Случайным образом отобранное для обследования животное оказалось больным. К какой ферме вероятнее всего
принадлежит это животное?
3.12. Имеется две клетки: в первой 4 белых и 6 черных, во второй 6
белых и 8 черных кроликов. Из первой клетки во вторую перекладывают, не глядя, одного кролика. После этого из вто-
31
рой клетки берут одного кролика. Найти вероятность того,
что этот кролик будет черным.
3.13. Среди студентов института – 30% первокурсники, 35% сту-
дентов учатся на 2-м курсе, на 3-м 35%. По данным деканата
известно, что на 1-м курсе 20% студентов сдали сессию на отлично, на 2-м – 30%, на 3-м –35%. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Какова вероятность того, что он
третьекурсник?
3.14. В партии 40% яблок собраны на первом участке и 60% на вто-
ром. Вероятность того, что яблоки с первого участка стандартные, равна 0,9, а со второго 0,8. Взятое наудачу яблоко
оказалось стандартным. С какого участка вероятнее всего это
яблоко?
3.15. Для обработки садов от яблоневой плодожорки в хозяйстве
применяют препарат одного из двух типов А или В. Вероятность применения препарата типа А равна 0,7, а типа В 0,3.
Эффективность препарата типа А составляет 80%, а препарата
типа В – 90%. После обработки сада наудачу взятым препаратом вредители были уничтожены. Каким препаратом вероятнее всего обработали сад?
3.16. На сортоиспытательной станции при подготовке семян к по-
севу основную их массу подвергают различным воздействиям: 75% облучают в электромагнитном поле, а остальные семена протравливают в химическом растворе. Облученные се-
мена прорастают с вероятностью 0,9, протравленные с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что наудачу взятое
семя прорастет?
3.17. Больного обследуют на одно из трех заболеваний: Х, Y или Z.
Вероятности заболевания этими болезнями соответственно
равны 0,5; 0,2; и 0,3. Для уточнения диагноза назначен некоторый тест. Тест не идеален и оказывается положительным
(т.е. показывает, что человек болен) лишь с некоторой вероятностью: если это Х, то он положителен с вероятностью 0,1;
если Y - с вероятностью 0,2; если же Z - то с вероятностью
0,9. Требуется определить вероятности наличия заболеваний
Х, Y, Z с учетом результатов тестирования.
32
3.18. Два автомата производят одинаковые хирургические зажимы.
Производительность первого автомата вдвое больше второго.
Первый автомат производит в среднем 60% зажимов отличного качества, а второй -84%. Наудачу взятый зажим оказался
отличного качества. Найти вероятность того, что он произведен первым автоматом.
3.19. Одноразовые шприцы поступают на сборку с трех автомати-
ческих линий: с первой линии поступает 40% , со второй –
35%, с третьей – 25%. Среди шприцев, поступивших с первой
линии, брак составляет 0,2%, со второй линии 0,3%, с
третьей линии –0,1%. Поступивший на сборку шприц оказался бракованным. Найти вероятность того, что он изготовлен
на первой линии.
3.20. Для посева заготовлены семена пшеницы трех сортов: А, В и
С. Они смешаны в пропорции 5 : 2 : 3. Вероятность того, что
из зерна сорта А вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, равна 0,1. Для сортов В и С эти вероятности составляют
соответственно 0,3 и 0,4. Определить вероятность, что наудачу выбранное из смеси зерно дало колос, содержащий не менее 50 зерен.
3.21. В первой урне 2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, во вто-
рой урне 5 белых, 2 красных и 3 черных шара. Наудачу выбирают урну и из неё случайным образом достают один шар.
Какова вероятность того, что черный шар был извлечен из
первой урны?
3.22. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической
линии отклоняется от нормального, используется индикатор.
Он принадлежит с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5 к одному из
трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1;
0,75 и 0,4. От индикатора получен сигнал. Какова вероятность, что это индикатор второго типа?
3.23. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция
первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго 10% и третьего 5%. Какова вероятность
приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило
33
30% телевизоров с первого завода, 20% со второго и 50%
с третьего?
3.24. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории веро-
ятностей и взявших билеты, двое студентов знают 20 билетов
из 30; трое студентов успели повторить только 15 билетов;
остальные знают все 30 билетов. Знание билета гарантирует
сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета
успешная сдача экзамена происходит с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что вызванный случайным образом
студент сдал экзамен?
3.25. В лаборатории имеется 6 белых кроликов и 4 серых. Вероят-
ность выработки иммунитета при вакцинации препаратом А –
0,95; препаратом типа В – 0,8. 1) Найти вероятность того, что
наудачу взятый кролик имеет иммунитет? 2) Взятый наудачу
кролик имеет иммунитет. Препаратом какого типа он был вероятнее всего вакцинирован?
3.26. В специализированную больницу поступают в среднем 50%
больных с заболеванием А, 30% с заболеванием В и 20% с
заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А
равна 0,7; для болезней В и С эти вероятности соответственно
равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной
страдал заболеванием В.
3.27. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта
составляет 50%, второго сорта 30%, третьего сорта 20%.
Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0,8,
второго 0,6, третьего 0,4. Какова вероятность того, что
наугад взятое зерно взойдет?
3.28. На трех линиях инкубатора заложены яйца. В результате слу-
чайного повышения температуры в инкубаторе на первой линии погибли 10% зародышей, на второй 5%, на третьей
20%. Какова вероятность того, что зародыш в случайным образом взятом яйце не погиб?
3.29. На мясокомбинат поступает продукция трех хозяйств. Про-
дукция первого хозяйства составляет 23% общей продукции,
34
второго – 47%, третьего – 30%. Первое хозяйство дает 80%
)(A
P
A
.)1(...21! а ,1
nnnpq
продукции первого сорта и 20% продукции второго сорта.
Второе дает 75% продукции первого сорта и 25% продукции
второго сорта. Третье производит 70% продукции первого
сорта и 30% второго. Взятая наудачу единица продукции
оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она
произведена вторым хозяйством?
3.30. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25 % всех женщин –
дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число
мужчин и женщин. Случайным образом выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?
Тема 4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.
Если проводятся испытания, в каждом из которых вероятность
появления события A не зависит от исходов других испытаний, то
их называют независимыми относительно события A. Будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых вероятность
появления события A одинакова и равна p.
================================================
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события
равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой
последовательности), равна
knkk
)(
qpCkP
nn
Или
!
n
)(
kP
n
)!(!
knk
knk
qp
,
где
35
Вероятности того, что в nнезависимых испытаниях событие
A
A
B
С
E
5,0 ;
6
qpn
64
!4!
2
!4!
2
!3!
3
!2!
4
!1!
5
64
!0!
6
64
наступит а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не
более kраз находят соответственно по формулам:
а) );1(...)1()0(
б) );(...)2()1( nPkPkP
в) );(...)1()( nPkPkP
г) ).(...)1()0( kPPP
kPPP
nnn
nnn
nnn
nnn
Пример 4.1. Монету подбрасывают шесть раз. Найти вероятности того, что при этом герб выпадет 1) два раза; 2) не менее двух
раз; 3) менее двух раз.
Решение. Подбрасывание монеты шесть раз последовательность независимых испытаний. В каждом испытании происхо-
дит либо событие
{выпадение герба}, либо событие
{выпа-
дение цифры}. Так как эти события равновозможные, то
.5,0)()( APAP
Рассмотрим интересующие нас события:
{герб выпадет два раза};
{герб выпадет не менее двух раз};
{герб выпадет менее двух раз}.
Для расчета вероятностей этих событий воспользуемся формулой Бернулли и формулами а), б). У нас
, по-
этому получаем
15
42
;
PPPPPCP
66666
33
)5,0()5,0(
57
06
)5,0()5,0(
66
)5,0(6)5,0(1)1()0()(
)6()5()4()3()2()(
!6
;
7
PPEP
.
24
)5,0()5,0(
!6
)2()(
6
!6
!6
PBP
42
)5,0()5,0(
15
)5,0()5,0(
66
!6
!6
)5,0()5,0(
Пример 4.2. У пяти животных имеется заболевание, причем
вероятность выздоровления одного животного равна 0,9. Какова
вероятность того, что
36
1) выздоровят все пять животных;
5
n
,1,09,01,9,0 ;5 ;5qpk
n
!5!
0
,1,0,9,0 ;0 ;5qpk
n
,1,0,9,0 ;4 ;5qpk
n
!2!
3
!1!
4
.
40951
,032805
,00729
,00081
,000045
,000001
,
0
2) не выздоровит ни одно животное;
3) выздоровят только четыре животных;
4) выздоровят не более четырех животных.
Решение. Число наблюдаемых животных принимаем равным
числу независимых испытаний, т.е. у нас
1)
)5(
!5
pqpP
5
5505
2)
55
5
qP
;00001,0)1,0()0(
3)
!5
)4(
P
5
)!45(!4
454
4)
!5
)1,0(
)!15(!1
321515
)1,0()9,0(
!5
!3!2
. Тогда
;59049,0)9,0(
;32805,0)1,0()9,0(
)4()3()2()1()0()40(
PPPPPkP
555555
)1,0()9,0(
!5
23
)1,0()9,0(
!5
14
)1,0()9,0(
Замечание. Вероятность )40(
зовавшись формулой )5(1)40(
5
kP можно найти, восполь-
PkP
(почему?).
55
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что в теории вероятностей понимают под испытанием?
2. Какие испытания называют независимыми относительно некото-
рого события?
3. Запишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?
37
ЗАДАЧИ
4
k
1. Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5. Найти
вероятность того, что от пяти коров будет 1) ровно три бычка; 2)
не менее одного бычка.
2. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность
того, что из шести выловленных в этом водоеме рыб окажется 1)
четыре карпа; 2) более трех карпов.
3. Всхожесть семян равна 90%. Для опыта отобрано 6 семян. Опре-
делить вероятность того, что будет более четырех всходов.
4. Вероятность появления черного кролика в потомстве равна
1
Какова вероятность того, что из потомства в шесть кроликов четыре черными не будут.
5. На основе исследования нескольких водоемов натуралист при-
шел к выводу, что 4% всех тритонов в Англии обыкновенные
тритоны. Другой натуралист нашел, что в одном пруде из восьми
выловленных тритонов обыкновенными оказались четыре. Может ли он оспаривать вывод первого натуралиста?
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 4.1 4.30
В задачах № 4.1 – 4.30 дана вероятность p появления со-
бытия A в каждом из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие A появится: а) ровно
.
раз; б) менее k раз; в) не менее k раз.
4.1. n=5; p=0,2; k=3. 4.2. n=4; p=0,3; k=2.
4.3. n=5; p=0,2; k=2. 4.4. n=5; p=0,4; k=2.
4.5. n=5; p=0,3; k=3. 4.6. n=4; p=0,3; k=3.
4.7. n=4; p=0,2; k=2. 4.8. n=5; p=0,9; k=2.
4.9. n=4; p=0,8; k=3. 4.10. n=5; p=0,7; k=2.
4.11. n=4; p=0,9; k=2. 4.12. n=4; p=0,4; k=3.
4.13. n=5; p=0,4; k=3. 4.14. n=5; p=0,6; k=2.
38
4.15. n=4; p=0,6; k=3. 4.16. n=6; p=0,3; k=2.
4.17. n=5; p=0,7; k=3. 4.18. n=4; p=0,4; k=2.
4.19. n=5; p=0,8; k=2. 4.20. n=5; p=0,6; k=3.
4.21. n=4; p=0,7; k=2. 4.22. n=6; p=0,3; k=3.
4.23. n=5; p=0,1; k=2. 4.24. n=6; p=0,1; k=3.
4.25. n=6; p=0,1; k=2. 4.26. n=4; p=0,3; k=3.
4.27. n=5; p=0,9; k=3. 4.28. n=5; p=0,2; k=2.
4.29. n=6; p=0,4; k=2. 4.30. n=6; p=0,6; k=2.
Тема 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из своих возможных значений,
наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые
заранее не могут быть учтены.
Случайные величины подразделяются на два класса дис-
кретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения можно изобразить изолированными точками числовой прямой.
Примеры дискретных случайных величин:
1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального
кубика при его однократном подбрасывании;
2) количество поросят, рождающихся от свиноматки;
3) число яиц, полученных от одной несушки за год;
4) продолжительность лактации коровы.
Случайная величина называется непрерывной, если все ее
возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток
числовой прямой.
39
,...,
,,ZYX
1
1
1
1
1
2
2
2
X
1
2
P
1
2
X
X
1
Примеры непрерывных случайных величин:
1) процент жира в молоке;
2) количество осадков, выпадающих в некоторой местности за
май месяц;
3) толщина шерсти овец некоторой породы.
Случайные величины принято обозначать прописными буква-
ми конца латинского алфавита:
а их возможные значения
соответственными строчными буквами с числовыми индексами.
Так, например,
21
xxx ,...,,
возможные значения случайной вели-
n
чины X.
Запись )(
величина X приняла значение
чают через
p :
Аналогично
величина X приняла значение
xXP
означает вероятность того, что случайная
x . Коротко эту вероятность обозна-
)( pxXP
.
)( pxXP
вероятность того, что случайная
x и т.д.
Соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределе-
ния случайной величины (распределением вероятностей случайной
величины). Для дискретной случайной величины закон распределения задается в виде таблицы
x
p
x
p
…
…
x
n
p
n
,
где 1...
21
ppp .
n
Пример 5.1. Пусть
число выпадений герба при бросании
двух монет. Составить закон распределения случайной величины
.
Решение. Случайная величина X может принимать, очевидно, значения 0, 1, 2. Обозначим соответствующие им вероятности
через
40
A {обе цифры, т.е. герб не выпал ни разу};
0
A {герб-цифра или цифра-герб, т.е. герб выпал один раз};
, , ppp и рассмотрим события
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]