Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
).()(xXPxF
)(x
F
до
).()()(aFbFbXa
P
8
102
t
================================================
Отметим, что
1)
1, когда x пробегает значения от
неубывающая функция и принимает значения от 0 до
;
2) вероятность того, что X принимает значения между а и b
вычисляется по формуле
Пример графика функции распределения вероятностей непре-
рывной случайной величины изображен на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2. Функция распределения вероятностей непрерывной
случайной величины.
Пример 5.8. Чтобы выполнить определенное задание, лабораторной крысе требуется по меньшей мере 2 мин., но никогда не
требуется более 10 мин. Определим T как время, необходимое
крысе для выполнения задания. Если любое время выполнения задания между 2 и 10 мин. одинаково вероятно, то T является непрерывной случайной величиной с функцией распределения
2
t
)()(
tTPtF при
51
.
Найдем вероятность двух событий:
A
B
838
878
8
)(x
f
).()(xFx
f
;
при
0)
(
xxf
{задание будет выполнено
менее чем за 5 мин.};
{для выполнения задания потребуется не
менее 3 мин.}.
Решение. Очевидно,
25
)5()(
FAP
;
1
1)3(1)( FBP
,
1
так как
)3( F есть вероятность того, что на выполнение задания
потребуется меньше 3 мин., т.е. это вероятность события B.
Пример 5.9. Требуется разработать математическую модель
распределения птичьих гнезд в некотором местообитании птиц.
Вероятность того, что в круг радиуса r (с центром в любой случайно выбранной точке) попадет хотя бы одно гнездо, оценивается как
2
51re
, где r выражается в километрах. Чему равна в этой модели
вероятность того, что в пределах 100 м от случайно выбранной точки окажется хотя бы одно гнездо?
Решение. Если определить R как расстояние от выбранной
точки до ближайшего гнезда, то R является непрерывной случайной величиной с функцией распределения
2
5r
erRPrF
.1)()(
Вероятность того, что гнездо имеется в пределах 100 м от случайно выбранной точки, составляет
05,0
erRPrRPF
.049,01)()()1,0(
Плотностью распределения вероятностей непрерывной
случайной величины X называется функция
, определенная
равенством
Выделим следующие ее свойства:
1)
52
2) ;1)(
a
120
0
dxxf
x
3) ;)()(
4) .)()()()(
dttfxF
b
dxxfaFbFbXaP
Пример 5.10. Продолжительность жизни растений некоторого вида в определенной среде представляет собой непрерывную
случайную величину X. Пусть плотность распределения вероятностей X имеет вид
x
1
)(
120
exf
.
1) Какова функция распределения случайной величины X?
2) Какая доля растений данного вида умирает за период в 100
дней?
3) Если некоторое растение живет в течение 100 дней, то какова вероятность того, что оно проживет еще не менее 100
дней?
Решение.
1) Функция распределения вероятностей для X будет выгля-
деть следующим образом:
x x
)()(
1
120
xt
120120
edtedttfxF
.1
2) Доля растений, которые умирают за период в 100 дней, выражается вероятностью
100
120
eFXP
.7,01)100()1000(
3) Искомая в этом пункте вероятность составляет
XXP
53
)100/200(
XXP
)100 и 200(
XP
XP
)100(
XP
)200(
)100(
200
e
R
120
e
100
120
100
120
e
.3,0
Таким образом, примерно 30% тех растений, которые не умирают за 100 дней, будут жить по крайней мере и следующие 100
дней.
Числовые характеристики
ных случайных величин вычисляются по формулам:
;)()( dxxfxmXM
2
;)()()(
dxxfmxXD
или
22
mdxxfxXD
;)()(
.)()( XDX
)( ),( ),( XXDXM
непрерыв-
Пример 5.11. В эксперименте с расселением популяций насекомых в заданной точке было выпущено большое число муравьев.
Наблюдения показали, что спустя одну минуту доля муравьев, находящихся от точки выпуска на расстоянии не менее r метров,
примерно равна
re2
.
1) Какова доля муравьев, удалившихся более чем на один
метр от точки выпуска?
2) На какое среднее расстояние удаляются муравьи от точки
выпуска?
Решение. Пусть
расстояние, на которое муравей удалился
от точки выпуска за 1 мин. Тогда R представляет собой непрерывную случайную величину с функцией распределения
54
r
0
0
2
erRPrF
1)()(
.
1) Доля муравьев, удалившихся более чем на 1 м от точки выпуска, составляет
2
eFRP
.135,0)1(1)1(
2) Плотностью распределения случайной величины R служит
r
функция
. Значит, среднее удаление муравьев от
2
erFrf
2)()(
точки выпуска составляет
2
r
.5,02)()( drerdrrfrRM
Итак, за 1 мин. муравьи удаляются от точки выпуска в среднем на 0,5 м.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называется случайной величиной? Приведите примеры.
2. Что называется дискретной случайной величиной? Непрерывной
случайной величиной? Приведите примеры.
3. Что понимают под распределением вероятностей случайной ве-
личины?
4. Как выглядит закон распределения дискретной случайной вели-
чины?
5. Что такое функция и плотность распределения вероятностей не-
прерывной случайной величины? Какими основными свойствами обладают эти характеристики?
6. Что называется математическим ожиданием и дисперсией слу-
чайной величины? Что они характеризует?
7. По каким формулам вычисляются математическое ожидание и
дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин?
8. Что называется средним квадратичным отклонением случайной
величины? Чем вызвано введение этой числовой характеристики?
55
ЗАДАЧИ
X
p
).2( 4) );41( 3) );52( 2) );3(
XPXPXPX
P
X
X
]
250
;0
[x
)(x
F
).75( и )
100
50
(
XPX
P
1. Составьте закон распределения числа попаданий в корзину мя-
чом при одном броске, если вероятность попадания при каждом
броске равна 0,7.
2. Случайная величина X распределена по закону
1 2 3 4 5
1/4 1/8 1/4 1/8 1/4 .
Найдите:
1)
3. В некотором районе урожайность пшеницы оказалась 21 ц/га на
10% засеянной площади, 19 ц/га на 25%, 24 ц/га на 50% и 30
ц/га на остальной части засеянной площади. Оцените среднюю
урожайность и колеблемость урожайности пшеницы в этом районе.
4. Определим случайную величину
как массу глюкозы, содержащуюся в 250 г ее раствора неизвестной концентрации. Пусть
функция распределения вероятностей случайной величины
для
Постройте график функции
имеет вид
2
xxxF
.250/)500()(
. Найдите
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 5.1.1 - 5.1.30
5.1.1. На ферме работают независимо друг от друга 2 транспортера.
Вероятности безотказной работы этих транспортеров соответственно равны 0,8 и 0,9. Составить закон распределения
случайной величины Х – числа безотказно работающих
транспортеров.
5.1.2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает
сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выстрелов, производимых охотником. Вероятность попадания в цель при
одном выстреле равна 0,7.
5.1.3. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и
девочки, составить закон распределения случайной величины Х – числа мальчиков в семье, имеющей трех детей.
56
5.1.4. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и
девочки, составить закон распределения случайной величи-
ны Х числа девочек в семье, имеющей четырех детей.
5.1.5. Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5.
Составить закон распределения случайной величины Х
числа бычков в стаде из пяти коров.
5.1.6. В пруду сазаны составляют 60 %. Составить закон распределения случайной величины Х количества сазанов, содер-
жащихся среди пяти выловленных рыб.
5.1.7. Всхожесть семян равна 10%. Для опыта отбираются шесть
семян. Составить закон распределения случайной величины
Х числа всходов.
5.1.8. Вероятность появления черного кролика в потомстве равна
0,25. Составить закон распределения случайной величины Х
– числа черных кроликов в помете из четырех кроликов.
5.1.9. В лотерее на 1000 билетов разыгрываются три вещи, стоимости которых 210 руб., 60 руб. и 30 руб. Составить закон рас-
пределения случайной величины Х суммы выигрыша для
лица, имеющего один билет.
5.1.10. Два стрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком 0,6, вторым – 0,4.
Составить закон распределения случайной величины Х –
числа попаданий в мишень.
5.1.11. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,4. Производится пять выстрелов. Составить закон распре-
деления случайной величины Х числа попаданий в цель.
5.1.12. Вероятность заболевания мыши вирусом равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа заболевших мышей среди отобранных четырех мышей.
5.1.13. В водоеме караси составляют 70%. Составить закон распределения случайной величины Х – числа карасей из пяти
выловленных рыб.
57
5.1.14. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту
книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения
случайной величины Х числа библиотек, которые посетит
студент, если в городе четыре библиотеки.
5.1.15. Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,1. Из
партии контролер берет изделие и проверяет его качество.
Если изделие оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие окажется стандартным, контролер берет следующее и
т.д. Всего он проверяет не более пяти изделий. Составить
закон распределения случайной величины Х числа проверяемых изделий.
5.1.16. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различны)
перегорела одна лампа. С целью устранения неисправностей
наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего сразу проверяется работа
приемника. Составить закон распределения случайной величины Х числа замен ламп.
5.1.17. Имеется пять ключей, из которых только один подходит к
замку. Составить закон распределения случайной величины
Х числа опробований при открывании замка, если опробо-
ванный ключ в последующих испытаниях не участвует.
5.1.18. В зерне, предназначенном для очистки 10% сорняков. Для
опыта отобраны 4 зерна. Составить закон распределения
случайной величины Х – числа сорняков среди четырех отобранных зерен.
5.1.19. Доля поражения зерна вредителями составляет 0,1. Для
опыта отобрано 5 зерен. Составить закон распределения слу-
чайной величины Х числа зараженных зерен.
5.1.20. Для данной местности вероятность того, что каждый день в
течение недели будет солнечным, составляет 0,6. Составить
закон распределения случайной величины Х числа солнечных дней на протяжении недели.
58
5.1.21. В клетке 4 белых и 3 черных кролика. Для лабораторного
опыта из клетки наудачу по одному без возвращения извлекаются кролики. Опыт прекращается при появлении черного
кролика. Составить закон распределения случайной величи-
ны Х числа белых кроликов, извлеченных до появления
черного кролика.
5.1.22. Испытания прибора ведутся до получения третьего отказа.
Вероятность выхода из строя прибора при каждом испытании равна 0,1. Составить закон распределения случайной
величины Х числа отказавших приборов.
5.1.23. В урне 5 белых, 3 черных и 1 красный шар. Опыт состоит в
извлечении шаров из урны наудачу по одному без возвращения и прекращается как только появляется белый шар. Со-
ставить закон распределения случайной величины Х числа
черных шаров, извлеченных до прекращения опытов.
5.1.24. Три техника, работающих в мастерской, должны отремонтировать за смену 7 принтеров. Известно, что из этих принтеров 3 требуют серьезного ремонта, а 4 нуждаются только в
чистке и регулировке. Приступая к делу, техники выбирают
первые 3 принтера наудачу. Составить закон распределения
случайной величины Х числа принтеров, требующих серьезного ремонта.
5.1.25. Автомобиль движется по трассе, на протяжении которой
имеется 5 светофоров. Предполагается, что светофоры включаются независимо друг от друга и что каждый из них разрешает движение с вероятностью 0,6. Составить закон рас-
пределения случайной величины Х числа светофоров,
пройденных автомобилем до первой остановки.
5.1.26. Боезапас орудия – 4 снаряда. Стрельба по цели ведется
одиночными выстрелами до второго попадания (в случае
трех первых промахов стрельба прекращается). Вероятность
попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Составить
закон распределения случайной величины Х – числа выстрелов.
59
5.1.27. Из клетки, содержащей 4 белых и 6 серых мышей, наудачу
YXZ
32
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
извлекают сразу 4 мыши. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа белых мышей в выборке.
5.1.28. Ученик слесаря должен изготовить ключ. В его распоряжении 5 болванок. Вероятность того, что болванка будет испорчена, равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа болванок, оставшихся после изготовления ключа.
5.1.29. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Составить закон распреде-
ления случайной величины Х числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6.
5.1.30. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа
выпадений четного числа очков на двух игральных костях.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 5.2.1 - 5.2.30
В задачах № 5.2.1 – 5.2.30 две независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины
, а также построить полигоны вероятностей для слу-
чайных величин Х и Y.
-5 -2 1 3
0,1 0,3 0,4 0,2
2 6 5.2.1.
0,2 0,8
-3 -1 1 4
2 4 5.2.2.
0,1 0,3 0,4 0,2
-2 -1 0 3
0,5 0,2 0,1 0,2
60
0,3 0,7
0,7 0.3
-3 2 5.2.3.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]