Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
7.18 4 4 5 5 2 4
7.19 1 8 4 4 4 3
7.20 8 1 5 4 2 4
7.21 8 3 5 4 3 3
7.22 7 2 5 4 2 4
7.23 3 6 4 4 3 3
7.24 6 3 5 4 2 3
7.25 4 5 6 3 3 2
7.26 5 4 6 3 2 4
7.27 1 9 4 3 2 3
7.28 9 1 5 4 3 2
7.29 2 8 4 4 4 3
7.30 8 2 5 3 3 4
Тема 8. Предельные теоремы теории вероятностей
При изучении предыдущих тем мы рассматривали понятия
случайного события и случайной величины. Причем, было установлено, что предсказать заранее результат испытания, в котором
может появиться то или иное событие или определенное значение
случайной величины нельзя. Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности.
Эти закономерности свойственны массовым случайным явлениям и
обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства заключается в том, что особенности каждого отдельного случайного явления
почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном
увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.
Предельные теоремы вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Их можно разбить
на две группы, одна из которых называется законом больших чисел,
а другая – центральной предельной теоремой.
8.1 Закон больших чисел
Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких
теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении
81
числа испытаний средние величины стремятся к некоторым посто-
янным. Частный случай закона больших чисел отображается теоремами Чебышева и Бернулли.
Теорема Чебышева
При неограниченном возрастании количества попарно независимых случайных величин
21
X,...,X,X
, дисперсия каждой из ко-
n
торых не превышает одного и того же постоянного положительного
числа В, для произвольного сколь угодно малого положительного
числа справедливо неравенство
n
i
i
XM
i
11
n
B
1
,
2
n
P
n
X
i
n
т.е, вероятность того, что абсолютное отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий меньшее становится сколь угодно близким к единице. В данном неравенстве n – количество независимых случайных величин.
Теорема Чебышева имеет большое практическое значение.
Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Например, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не
дающего систематической погрешности, можно получить большое
число результатов измерений, среднее арифметическое которых по
теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.
Пример 8.1. Детали для оборудования завода распределены
по ящикам, имеющих одинаковый вес. Из каждого ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее масса. Известно,
что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 2. Установить,
при каком числе ящиков отклонение среднего выборочного веса
детали от общей средней массы не менее чем на 0,2 кг определяется
вероятностью, превышающей 0,95.
Решение. Воспользуемся теоремой Чебышева. По условию задачи имеем = 0,2, В = 2, P > 0,95. Условие P > 0,95 согласно тео-
82
реме Чебышева равносильно неравенству 9501
n
n
м
972
0,P
p
q
1
B
,
или
2
B
0502,
. Отсюда
n или
B
050
,
2
.
2
20050
,,
n
2
Следовательно, начиная с n =1001, выполняется требуемое неравенство P > 0,95.
Пример 8.2. Для определения средней урожайности поля площадью в 2000 га взято на выборку по 1
2
с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 5.
Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной
урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не
более чем на 0,3 ц.
Решение. Из условия задачи имеем n = 2000, B = 5, = 0,3. То-
гда воспользовавшись теоремой Чебышева, получим
B
Р
n
11
5
972002801
,,
22
302000
,
.
Таким образом, искомая вероятность
.
Теорема Бернулли
Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то при достаточно большом n и для
любого малого числа >0 справедливо неравенство
n
qp
2
m
P ,
p
n
1
т.е. с вероятностью сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при неограниченном возрастании числа n независимых
испытаний статистическая вероятность (частота) появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в
отдельном испытании.
В данном неравенстве m – число появлений события А в n испытаниях,
.
Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью
появления события и его относительной частотой появления, при
83
этом позволяет предсказать, какой примерно будет эта частота в n
903
0,P
X
испытаниях.
Пример 8.3. При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при
просмотре партии в 3000 пластинок выявится отклонение от установленного процента меньше, чем на 1%.
Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой Бер-
нулли. Из условия задачи определены значения =0,01, n =3000, p =
0,03, q = 1 – p=0,97, записанные в правой части неравенства из
теоремы Бернулли.
970030
Тогда 9030
P
и, следовательно,
qp
11
n
,,
22
0103000
,
,
искомая вероятность
8.2 Центральная предельная теорема
В законе больших чисел не рассматривается вид распределения случайной величины. Группа теорем теории вероятностей, которые устанавливают связь между законом распределения суммы
случайных величин и его предельной формой – нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой.
Различные формы центральной предельной теоремы отличаются
между собой условиями, накладываемыми на сумму рассматриваемых случайных величин. Одной из теорем, относящихся к центральной предельной теореме, является теорема Ляпунова.
Теорема Ляпунова имеет большое применение при решении
практических задач, связанных со случайной величиной
ляющейся средним арифметическим наблюдаемых значений слу-
.
, яв-
чайной величины X , так как распределение суммы довольно быстро приближается к нормальному распределению. Кроме того, теорема Ляпунова справедлива не только для непрерывных случайных
величин, но и для дискретных случайных величин.
Теорема Ляпунова
Если случайная величина X имеет конечные математическое
ожидание
84
XM и дисперсию
XD , то распределение среднего
n
i
1
n
n
i
1
120
n
арифметического
значения случайной величины в n независимых испытаниях, прове-
X
1
X
n
, вычисленного по наблюдавшимся
i
денных в одинаковых условиях, при
мальному с математическим ожиданием
1
XD
, т.е.
или
Пример 8.4. Определить вероятность того, что средняя продолжительность 120 производственных операций окажется в пределах от 55 до 58 секунд, если математическое ожидание одной
операции равно 56,8 секунд, а среднее квадратическое отклонение –
xXP
1
2
n
XMNX
,~ .
x
XD
1
n
приближается к нор-
XM и дисперсией
2
XMt
nXD
/2
dte
,
XD
5,3 секунды.
Решение. Пусть случайная величина Х – продолжительность
наугад взятой производственной операции с
n
35,XDX с. Тогда
должительность 120 наугад взятых операций, причем
2
3,51
5855
PXP
с,
реме Ляпунова
Отсюда вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал равна
XD
2
X
48,0
48,0;8,56~ NX .
1
X
n
2
. Таким образом, согласно тео-
cX
480
,
, при n =120 – средняя про-
i
85655
,
X
85658
,
480
,
.9937,075,35,25,275,3 XP
856,XM
с. И
856,XM
85
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
m
nm
m
n
n
1) 0,99
1
3) 0
1) 1
1
1. На какие две группы можно разбить предельные теоремы вероятностей?
2. Сформулируйте теорему Чебышева.
3. Сформулируйте теорему Бернулли.
4. В каких случаях применяется теорема Ляпунова?
5. Сформулируйте теорему Ляпунова.
Вопросы тестов по теории вероятностей
Выберите правильный
Задание
вариант ответа
1. «Случайные события»
1.1. Если объективно шансы на наступление событий А и В одинаковы, то
события А и В …
1.2. Если в эксперименте возможны n
элементарных исходов, а событие А
наступает в m из них, то вероятность
события А равна …
1.3. Вероятность достоверного события равна…
1) противоположные
2) совместные
3) несовместные
4) равновозможные
1)
n
2)
m
3)
mn
4)
2) -
1.4. Вероятность невозможного события равна…
86
4) 1
2) -
3) 0
1.5. Игральная кость бросается один
1) 0,5
1) 0,5
1) 12/365
2) 1/2
4) 1/365
1) 2/9
2) 1/4
3) 1/36
4) 1/9
P(B)
P(A+B)
∙P(B/A)
4) 0,0002
раз. Тогда вероятность того, что на
верхней грани выпадет 3 очка равна…
1.6. Вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет 1 или
2 или 6 очков, составляет …
1.7. Из урны, в которой находятся 4
белых и 9 черных шаров, вынимают
наудачу один шар. Вероятность того,
что этот шар будет белым, равна …
1.8. Вероятность того, что 1 сентября
произвольно выбранного года придет-
2) 0,1
3) 1/6
4) 1/3
2) 1/3
3) 1/12
4) 1/9
1) 4/13
2) 2/7
3) 1
4) 1/3
ся на воскресенье, равна …
1.9. Из колоды в 36 карт достают одну
карту. Чему равна вероятность того,
что это валет или дама?
1.10. Теорема сложения вероятностей
для совместных событий А и В определяется формулой …
1.11. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий А и В
3) 1/7
1) P(A+B)=P(A)+P(B)+
+P(AB)
2) P(A+B)=P(AB) –
– P(A) –
3) P(A+B)=P(A)+P(B)
4) P(A+B)=P(A)+P(B) –
– P(AB)
1) P(AB)=P(A)∙P(B) –
–
определяется формулой …
87
2) P(AB)=P(A)∙P(B/A)
3) P(AB)=P(A/B)
1.12. В урне находятся 1 белый и 2
2) 2/9
3) 1/6
4) 1/9
1) 0,49
1) 28/115
) 8/23
1) 0,92
черных шара. Из урны поочередно
вынимают шары. После первого изъятия шар возвращается в урну и шары
перемешиваются. Тогда вероятность
того, что оба шара белые, равна …
1.13 По оценкам экспертов, вероятности банкротства для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,2 и 0,25. Тогда веро-
4) P(AB)=P(A)∙P(B)
1) 2/3
1) 0,6
2) 0,45
3) 0,05
ятность банкротства обоих предприятий равна …
1.14. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле равна 0,7. Чему
равна вероятность того, что при трех
выстрелах не будет ни одного промаха?
1.15. В ящике 25 деталей, из которых 9
бракованных. Сборщик наугад достает
3 детали. Какова вероятность того, что
все три не бракованные?
1.16. В одном ящике2 белых и 8 красных шаров, а в другом 4 белых и 6
красных. Из каждого ящика наугад
4) 0,5
2) 0,049
3) 0,21
4) 0,343
2
3) 16/91
4) 40/133
2) 0,48
вынимают по одному шару. Какова
вероятность того, что они оба красные?
1.17. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 наугад
выбирают 3 цифры. Какова вероятность того, что они все нечетные?
1.18. Случайные события А и В, удовлетворяющие условиям Р(А)=0,6;
Р(В)=0,4; Р(АВ)=0,2 являются …
88
3) 0,36
4) 0,3
1) 1/2
2) 1/14
3) 3/14
4) 1/6
1) несовместными и зависимыми
2) совместными и зави-
симыми
ка» и
S
S
S
) +
3) совместными и независимыми
4) несовместными и независимыми
1.19. Из каждой из двух колод вынимают по одной карте. События А –
«карта из первой колоды красной масти» и В – «карта из второй колоды
бубновой масти» являются …
1.20. Бросают 2 кубика. События А –
«на первом кубике выпала трой
В – «на втором кубике выпала шестерка» являются …
1) несовместными и зависимыми
2) совместными и зависимыми
3) совместными и независимыми
4) несовместными и
независимыми
1) несовместными и зависимыми
2) совместными и зависимыми
3) совместными и независимыми
4) несовместными и
1.21. При бросании точки на плоскость
достоверно ее попадание в круг площадью S; попадание в любую точку
круга равновероятно. Вероятность
p(A) ее попадания в концентрический
круг площади s равна …
1.22. А – случайное событие, Н1 и Н2
образуют полную группу событий.
Верным является утверждение …
независимыми
s
1)
2)
3)
4)
1) p(A)=p(A/H
+p(A/H2)
2) p(A)=1 – p(A/H1) +
+p(A/H2)
3) p(A)=p(H1)∙p(A/H1) +
+ p(H2)∙p(A/H2)
Ap
Ap
1Ap
sSAp
s
s
1
4) p(A)=p(A/H1)∙p(A/H2)
89
1.23. По мишени производится три
выстрела. Значение вероятности ни
одного попадания при всех трех выстрелах равно 0,5; значение вероятно-
1) 0,05
2) 0,95
3) 0,15
сти ровно одного попадания 0,3; значение вероятности ровно
1.24. Имеются две одинаковые на вид
урны. В первой урне находятся 4
красных и 3 черных шара. Во второй
урне – 2 белых и 1 черный шар. Из
наудачу взятой урны вынимают один
шар. Тогда вероятность того этот шар
черный, равна …
1.25. С первого станка на сборку поступает 45%, а со второго – 55% всех
деталей. Среди деталей с первого
станка 90% стандартных, а со второго
– 80%. Тогда вероятность того, что
наугад взятая деталь окажется нестан-
4) 0,45
1) 1/7
2) 8/21
3) 2/5
4) 1/3
1) 0,135
2) 0,155
3) 0,215
4) 0,225
дартной, равна …
1.26. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 15%,
вторая – 25%, третья – 60% всех изделий. Брак продукции составляет соответственно 2, 4 и 5%. Вероятность того, что оказавшийся бракованным болт
произведен на первой машине, равна
…
1.27. Игральную кость бросают 8 раз.
Вероятность того, что ровно 4 раза
выпадет грань с четным числом очков,
равна …
1.28. Вероятность попадания стрелка в
1) 5/61
2) 2/27
3) 1/30
4) 14/259
5) 3/43
1) 1/256
2) 35/128
3) 27/128
4) 1/8
1) 0,0512
цель равна 0,9. вероятность того, что
из четырех выстрелов он попадет в
2) 0,0240
3) 0,0486
цель 2 раза, равна …
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]