Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
2
41212
212121212
41212
X
P
1
)1(k
X
1
2
4
1
2
A {оба герба, т.е. герб выпал два раза}.
Тогда
;
)()0(
00
APXPp
1
1
;
)()1(
11
APXPp
1
.
)()2(
22
APXPp
Таким образом, получаем искомый закон распределения:
0 1 2
1/4 1/2 1/4 .
Очевидно,
ppp .
210
Пример 5.2. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет до первого
попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле
постоянна и равна 0,6. Построить закон распределения числа использованных патронов.
Решение. Заметим, что стрелок использует k-й патрон, если
-й и все предыдущие выстрелы закончились промахами.
Введем в рассмотрение случайную величину
число ис-
пользованных патронов и случайные события
A {попадание в цель при первом выстреле};
A {промах при первом выстреле и попадание при втором};
A {промахи при двух первых выстрелах и попадание при
3
третьем};
A {промах при первых трех выстрелах}.
Очевидно, вероятность промаха при одном выстреле равна
10,6=0,4. Применяя теорему умножения вероятностей для незави-
симых событий, получаем
;6,0)()1(
APXP
;24,06,04,0)()2(
;096,06,04,04,0)()3(
APXP
APXP
3
4
APXP
.064,04,04,04,0)()4(
Отсюда следует, что искомый закон распределения случайной
величины имеет вид:
41
X
P
X
1
2
12221
2
222
321141412141414
324414121414121414
329412121214121414121214
32441212121412
1 2 3 4
0,6 0,24 0,096 0,064 .
Заметим еще раз, что сумма вероятностей в нижней строке
таблицы равна единице.
Пример 5.3. За некоторый промежуток времени амеба может
погибнуть или выжить с одинаковой вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой не зависимо от ее «происхождения» случается то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени?
Решение. Пусть
число амеб к концу второго промежутка
времени. Возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2,
3, 4.
Рассмотрим события
A {гибель амебы};
0
По условию задачи 21)( ;41)()(
A {выживание амебы};
A {разделение амебы на две}.
APAPAP . Исполь-
210
зуя понятия суммы и произведения событий, получаем
;}0{
;}1{
;}2{
;}3{
.}4{
AAAX
AAAAAAX
002010
AAAAAAAAX
01210211
AAAAAAAAAAAX
02220211221
AAAAAAX
Применяя теперь теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий, получаем
1
;
)0( XP
1
;
)1( XP
;
)2( XP
1
1
;
42
)3( XP
.
32421212
X
P
YX
,
Y
X
Z
X
Y
Z
YXZ
X
Y
P
P
Z
Z
P
656
616
656
616
)4( XP
Закон распределения случайной величины имеет вид
1
0 1 2 3 4
11/32 4/32 9/32 4/32 4/32 .
Пусть
называют случайную величину
yxz
, где
jiij
две дискретные случайные величины. Суммой
со значениями
x и
i
все возможные значения соответственно
y
j
случайных величин X и Y, причем
)./()()(
xXyYPxXPzZP
ijiij
Пример 5.4. Испытание заключается в одновременном однократном подбрасывании двух игральных кубиков. Требуется составить закон распределения числа появлений на их верхних гранях
шестерки.
Решение. Рассмотрим следующие случайные величины:
число появлений шестерки на верхней грани первого ку-
бика;
число появлений шестерки на верхней грани второго ку-
бика;
число появлений шестерки на верхних гранях двух одновременно подбрасываемых кубиков.
Тогда
.
Составляем законы распределения случайных величин X и Y:
0 1
5/6 1/6
0 1
5/6 1/6
Теперь составляем закон распределения случайной величины
:
0+0 0+1 1+0 1+1
5
5
1
1
.
43
Окончательно получаем
Z
P
X
k
n
P
1
i
0 1 2
25/36 10/36 1/36 .
Замечание. Отметим один важный вид распределения вероятностей дискретных случайных величин биномиальное распре-
деление.
Биномиальное распределение случайной величины X, значениями которой являются возможные значения числа появлений события A при проведении n повторных независимых испытаний,
имеет вид
0 1 …
)0(
P
n
P
)1(
n
…
n
…
…
)(kP
n
,
)(nP
n
!
где
n
kP
)( вероятность на-
knk
)!(!
knk
ppqqp
а ;1 ;
ступления события A в каждом из n испытаний (вспомните формулу Бернулли!)
Математическим ожиданием (средним ожидаемым значением) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
n
....)(
2211
pxpxpxpxXM
iinn
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно са-
мой постоянной:
M(С) = C, где С = const;
44
0))(
(
XMX
M
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математи-
ческого ожидания:
M(CX) = CM(X).
3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случай-
ных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
4. Математическое ожидание произведения двух независимых
случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
Заметим, что две случайные величины называются независи-
мыми, если закон распределения одной из них не зависит от того,
какие возможные значения приняла другая величина.
5. Математическое ожидание отклонения случайной величины
Х от ее математического ожидания равно нулю:
.
Дисперсией случайной величины называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
2
XMXMXD
).))((()(
Для вычисления дисперсии дискретной случайной величины
можно пользоваться одной из двух формул:
45
1
i
)(XMm
0)(C
D
)()()(YDXDYXD
.)(
,)(npq
XDnpXM
2
1
1
n
22
,)()(...)()(
pmxpmxpmxXD
iinn
где
то есть
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
, или, так называемой, универсальной формулой
22
XMXMXD
,))(()()(
2
1
1
n
i
iinn
1
2222
.)...()(
mpxmpxpxXD
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак диспер-
сии, возведя его при этом в квадрат:
3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных
величин равна сумме их дисперсий.
Отметим, что если случайная величина X имеет биномиаль-
ное распределение вероятностей, то
2
)()(
XDCCXD .
.
46
Наряду с математическим ожиданием, дисперсия является
X
X
p
).( ),( ),(XXDXM
i
1
X
X
p
важнейшей числовой характеристикой случайной величины. Она
характеризует разброс, рассеяние значений случайной величины
относительно ее математического ожидания. Однако дисперсия
имеет одно не совсем удобное качество: ее размерность равна размерности квадрата случайной величины. Поэтому в качестве показателя рассеяния значений случайной величины относительно ее
математического ожидания рассматривают чаще среднее квадра-
тичное отклонение случайной величины (с.к.о.):
.)()( XDX
Эта величина имеет ту же размерность, что и случайная величина
.
Пример 5.5. Случайная величина X задана следующим зако-
ном распределения вероятностей:
2 5 8 9
0,1 0,4 0,3 0,2 .
Найти
Проиллюстрировать исходные
данные и полученные результаты геометрически.
Решение. Применяя формулу для вычисления математиче-
ского ожидания дискретной случайной величины, получаем
n
pxXM
ii
.4,62,093,084,051,02)(
Чтобы найти дисперсию случайной величины, используя универсальную формулу для ее вычисления, составим сначала закон
распределения вероятностей случайной величины
2
:
2
4 25 64 81
0,1 0,4 0,3 0,2 .
Теперь находим
47
i
1
Тогда
)(XMm
)(X
Y
X
и
n
22
pxXM
ii
222
XMXMXD
.8,452,0813,0644,0251,04)(
;84,4)4,6(8,45))(()()(
.2,284,4)()( XDX
Чтобы геометрически представить исходные данные и полученные результаты вычислений, отложим на оси абсцисс значения
случайной величины X, а на оси ординат соответствующие им вероятности. Соединим отрезками прямых точки ) ;(
px . Полученная
ii
фигура называется многоугольником распределения (или полигоном
вероятностей). На оси абсцисс изобразим также точку
а влево и вправо от нее отложим отрезок величины
,
(см.
рисунок 5.1).
Рисунок 5.1. Геометрическое представление исходных данных
и результатов решения примера 5.5.
Пример 5.6. Заданы законы распределения двух независи-
мых случайных величин
48
:
X
-4 2 6 8
Y
p
p
Y
X
и
1
ni
4,44,083,061,02
и
Y
X
X
Y
p
p
X
Y
i
1
404,0642,0361,042,016
X
1 3
0,2 0,1 0,3 0,4
Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 3X 5Y.
Решение. Найдем математические ожидания случайных величин
:
pxXM
ii
1
mj
Напишем законы распределения случайных величин
22
:
0,2 0,8
2,04)(
pyYM
jj
.6,28,032,01)(
,
2
16 4 36 64
0,2 0,1 0,3 0,4
Найдем математические ожидания для случайных величин
2
и
2
:
n
22
)(
pxXM
i
i
Найдем дисперсии случайных величин
универсальной формулы:
2
mj
2
1 9
0,2 0,8
;
22
pyYM .
jj
1
4,78,092,01)(
и Y с помощью
2
2
XMXMXD ;
64,20)4,4(40)()()(
2
49
2
2
YMYMYD
.64,0)6,2(4,7)()()(
Пользуясь свойствами математического ожидания и диспер-
2,06,254,43)(5)(3)53()(
YMXMYXMZM
)(25)(9)53()(YDXDYXDZD
.76,
201
64,02564,20
9
)
100
(n
)05,0(p
.75,4)05,01(05,0
100
)( ;505,0100
)
(
npq
XDnpXM
)(x
F
сии, а также независимостью случайных величин X и Y, окончательно получим
;
Пример 5.7. Найти математическое ожидание и дисперсию
числа лотерейных билетов, на которые выпадет выигрыш, если
приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый из
них равна 0,05.
Решение. Обозначим через X число лотерейных билетов, на
которые выпадут выигрыши. Эта случайная величина имеет биномиальное распределение (проводится 100 независимых повторных
испытаний с двумя исходами каждое
«успеха» равна 0,05
). Поэтому
, причем вероятность
Для непрерывных случайных величин закон распределения
вероятностей, очевидно, не может быть задан в виде таблицы подобно тому, как это было сделано для дискретной случайной величины, так как нельзя перечислить все ее возможные значения в силу их структурных особенностей (кроме того, вероятность каждого
отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю).
Представление о распределении вероятностей непрерывной
случайной величины получают с помощью функции распределения
(интегральная функция распределения) либо плотности распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения).
================================================
Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется непрерывная функция
, рав-
ная вероятности того, что случайная величина Х приняла значение,
меньше действительного х.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]