Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов факультета ветеринарной медицины и технологии животноводства, обучающихся по специальности 36.05.01
.pdf
X
-6 -2 2 1
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
-8 -2 5.2.4.
0,3 0,3 0,2 0,2
0,4 0,6
-4 -2 -1 3
0,1 0,3 0,5 0,1
0,6 0,4
-2 8 5.2.5.
-2 0 1 4
0,5 0,1 0,3 0,1
1 3 5.2.6.
0,1 0,9
-7 -5 -1 2
0,4 0,1 0,2 0,3
1 3 5.2.7.
0,9 0,1
-1 2 4 8
-2 4 5.2.8.
0,2 0,5 0,2 0,1
0,2 0,8
-8 -5 -2 4
0,1 0,4 0,2 0,3
3 6 5.2.9.
0,3 0,7
-6 -2 4 6
0,1 0,6 0,2 0,1
4 7 5.2.10.
0,5 0,5
-3 -1 2 5
0,4 0,2 0,1 0,3
1 4 5.2.11.
0,6 0,4
-5 -2 1 3
2 5 5.2.12.
0,3 0,2 0,1 0,4
61
0,2 0,8
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
-4 -2 2 6
-5 3 5.2.13.
0,1 0,5 0,3 0,1
0,8 0,2
-2 -1 0 4
0,3 0,2 0,1 0,4
0,4 0,6
-2 1 5.2.14.
-7 -5 3 4
0,1 0,4 0,2 0,3
0,6 0,4
-4 3 5.2.15.
-2 -1 4 7
0,5 0,1 0,3 0,1
0,9 0,1
-2 3 5.2.16.
-7 -5 4 2
3 2 5.2.17.
0,1 0,4 0,4 0,1
0,2 0,8
-6 -2 1 3
0,4 0,1 0,3 0,2
2 5 5.2.18.
0,6 0,4
-5 -4 2 6
0,3 0,3 0,1 0,3
0,8 0,2
-6 4 5.2.19.
-3 -2 2 7
0,3 0,2 0,1 0,4
1 3 5.2.20.
0,1 0,9
-4 -2 1 2
-5 4 5.2.21.
0,2 0,4 0,1 0,3
62
0,7 0,3
X
-5 -3 -1 6
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
X
Y
p
p
-3 2 5.2.22.
0,1 0,2 0,5 0,2
0,3 0,7
-4 -2 4 5
0,2 0,4 0,1 0,3
0,4 0,6
-4 2 5.2.23.
-4 0 1 4
0,5 0,1 0,1 0,3
-1 2 5.2.24.
0,5 0,5
-6 -4 3 5
0,4 0,1 0,2 0,3
0,1 0,9
-2 5 5.2.25.
-7 -5 3 1
2 4 5.2.26.
0,1 0,3 0,4 0,2
0,2 0,8
-6 -4 2 3
0,2 0,4 0,1 0,3
3 5 5.2.27.
0,9 0,1
-2 -1 2 3
0,3 0,3 0,1 0,3
0,7 0,3
-5 7 5.2.28.
-3 -1 3 5
0,4 0,2 0,1 0,3
0,8 0,2
-1 -4 5.2.29.
-2 -1 4 5
-3 4 5.2.30.
0,5 0,1 0,2 0,2
63
0,6 0,4
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 5.3.1 5.3.30
)(x
F
)(x
f
)(x
Fи)(x
f
)(X
M
)(X
D
4
В задачах № 5.3.1–5.3.30 случайная величина X задана интегральной
функцией распределения вероятностей
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения
строить графики функций
ское ожидание
5.3.1.
1
)(
xF
25
5.3.3.
1
)(
xF
5.3.5.
2
5
4
5
, дисперсию
2
x
x
x
x
5.3.2.
,1 при 0
,41 при )1(
xx
.4 при 1
5.3.4.
,0 при 0
,10 при
xxx
.1 при 1
5.3.6.
.
; 2) по-
; 3) Р((a+b)/2<X<b); 4) математиче-
.
1
)(
xF
4
(
)(
xF
2
1
2
2
x
x
x
x
,1 при 0
,11 при )1(
xx
.1 при 1
,21 при 0
xx
.21 при 1
,2121 при )
)(
xF
5.3.7.
)(
xF
,0 при 0
1
2
2
3
3
1
1
2
2
2
x
,10 при
xxx
x
x
.1 при 1
5.3.8.
,0 при 0
x
,10 при
xxx
.1 при 1
1
)(
xF
16
(
)(
xF
2
x
1
2
4
,1 при 0
,31 при )1(
xx
.3 при 1
,41 при 0
541 при )
xx
.45 при 1
x
x
x
64
5.3.9.
5.3.10.
)(
xF
5.3.11.
)(
xF
5.3.13.
)(
xF
,2 при 0
,52 при )2(
xx
.5 при 1
,0 при 0
,20 при
xxx
.2 при 1
,0 при 0
,10 при
xxx
.1 при 1
,0 при 0
2
1
2
3
3
1
2
2
27
9
1
(
2
5
x
,10 при
xxx
x
x
x
x
.1 при 1
5.3.12.
,0 при 0
x
,30 при
xxx
.3 при 1
5.3.14.
,51 при 0
xx
,5651 при )
.56 при 1
1
)(
xF
49
2
1
)(
xF
8
1
2
4
1
)(
xF
6
5
2
6
x
x
x
x
x
x
5.3.15.
)(
xF
5.3.17.
)(
xF
5.3.19.
)(
xF
1
9
1
16
1
9
5.3.16.
,0 при 0
,1 при 0
,21 при )1(
xx
.2 при 1
5.3.18.
,2 при 0
,22 при )2(
xx
.2 при 1
5.3.20.
,2 при 0
1
)(
xF
7
6
2
7
1
)(
xF
4
3
2
4
x
2
x
x
2
x
x
2
x
,12 при )2(
xx
.1 при 1
1
)(
xF
5
4
2
5
x
,10 при
xxx
.1 при 1
x
,0 при 0
x
,10 при
xxx
.1 при 1
x
,0 при 0
x
,10 при
xxx
.1 при 1
x
65
5.3.21.
)(
xF
5.3.22.
,0 при 0
2
x
,10 при
xx
x
.1 при 1
3
)(
xF
,0 при 0
x
,30 при 27
xx
x
.3 при 1
5.3.23.
)(
xF
5.3.25.
)(
xF
5.3.27.
)(
xF
5.3.24.
,0 при 0
,0 при 0
2
x
,40 при 16
xx
x
.4 при 1
5.3.26.
,2 при 0
x
xx
x
.3 при 1
5.3.28.
,1 при 0
x
,32 при 2
,21 при 1
xx
x
.2 при 1
)(
xF
2
)(
xF
2
)(
xF
x
,10 при
xx
.1 при 1
,0 при 0
,20 при 4
xx
.2 при 1
,0 при 0
,30 при 9
xx
.3 при 1
x
x
x
x
x
5.3.29.
)(
xF
,4 при 0
x
xx
x
.5 при 1
,54 при 4
5.3.30.
)(
xF
,0 при 0
3
x
,20 при 8
xx
x
.2 при 1
Тема 6. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Нормальное распределение играет важную роль в биологической статистике. Приведем несколько примеров случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения:
1) масса животного в определенном возрасте;
2) длина початка кукурузы;
3) жирность молока;
66
4) масса клубня картофеля.
2
)(x
f
14,3
72,2e
2
2
)(x
f
Нормально распределенной можно считать случайную величину, на формирование которой оказывают влияние множестве не
зависящих друг от друга факторов, причем отдельное влияние каждого из них мало.
Как ясно из приведенных выше примеров, нормально распределенные величины относятся к классу непрерывных. Поэтому закон распределения такой случайной величины задается с помощью
функции плотности распределения вероятностей. Общим для различных нормально распределенных случайных величин является
вид этой функции
2
)(
ax
1
)(
exf ,
2
2
а отличаются они различными значениями величин а и , называемых параметрами нормального распределения.
В выражении для
которые известны из средней школы: число
длины окружности к ее диаметру) и число
участвуют два иррациональных числа,
(отношение
(основание натуральных логарифмов).
Если случайная величина Х является нормальной с параметрами а и , то принята запись Х ~ N(а; ).
Отметим вероятностный смысл параметров нормального распределения: а = М(Х),
=
(Х), т.е. параметр а является математи-
ческим ожиданием, а параметр средним квадратическим отклонением нормальной случайной величины. Пусть, например, М(Х) =
7, (Х) = 2, и случайная величина Х распределена нормально. Тогда
соответствующая ей плотность распределения вероятностей имеет
вид
2
)7(
x
)(
1
exf .
8
Если исследовать функцию
известными методами диф-
ференциального исчисления, то окажется, что ее график имеет характерную колоколообразную форму, симметричен относительно
67
прямой
a
x
axax и
a
x
2
)(x
f
)(xfy
)3 ;3
(
a
a
3
) ;
(
)
(
X
P
, а при
имеет точки перегиба.
При
функция достигает максимума, причем
4,0
.
1
f
max
Из последнего равенства ясно, что чем больше , тем меньше
значение
f . Наоборот, при малых
max
значение
f велико
max
(график при этом имеет иглообразную форму). Таким образом, очевиден геометрический смысл параметров нормального распределения: параметр а определяет ось симметрии графика функции
, а параметр пологость кривой и точки перегиба графика.
График функции
называется нормальной кривой или
кривой Гаусса (см. рисунок 6.1). Отметим, что при изображении
нормальной кривой масштабы по вертикали и горизонтали не совпадают.
То, что нормальная кривая вне интервала
практически сливается с осью абсцисс, является следствием замечательного факта, известного под названием правила трех сигм:
практически достоверно, что распределенная по нормальному закону случайная величина Х принимает свои значения в интервале с
центром в точке а и радиуса
.
Рисунок 6.1. Нормальная кривая.
Обозначим вероятность попадания случайной величины Х в
интервал
68
через
. С помощью плотности вероят-
ностей
)(x
f
)(x
f
) ;
(
)
(
X
P
) ;
(
)
(
X
P
) ;
(
0
соотношение между возможными значениями случай-
ной величины и соответствующими им вероятностями выражается
следующим образом: площадь, лежащая под кривой
тервалом
ной величины Х в интервал
это вероятность
попадания случай-
(см. рисунок 6.2).
Рисунок 6.2. Геометрический смысл вероятности
, над ин-
.
Как известно, обсуждаемая площадь может быть вычислена с
помощью интеграла
.)( dxxfS
Преобразование этого интеграла приводит к следующей формуле для вычисления вероятности попадания значений нормально
распределенной случайной величины Х с параметрами а и в заданный интервал
:
XP (*)
aa
,)(
где
2
z
x
)(
1
2
2
dzex
69
функция Лапласа, для которой имеются специальные таблицы зна-
)()(x
x
5,0)(
x
5
x
)
(
X
P
3
a
3
а
.
9973
,0)3(2)3()3()33
(
aXa
P
)3 ;3
(
a
a
300
,3200
,3500
,3000
a
.59,02454
,03413
,0)66,0()1()66,0()1
(
.
4100
900
3200
3 ,
2300
900
3200
3
a
a
4100
2300
X
чений (см. Приложение 1). При использовании этих таблиц необходимо учитывать, что функция Лапласа обладает свойством нечетности (
го
.
Если в формуле для
), а также тот факт, что
положить
для любо-
и
, то
Это означает, что вероятность попадания нормальной случайной величины в трехсигмовый интервал
составляет
99,73%, т.е. практически 100%. В связи с этим интервал
(а – 3σ; а + 3σ) называют диапазоном изменения значений нормально распределенной случайной величины.
Пример. Для коров некоторой породы удой за лактацию является случайной величиной Х, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 3200 кг и средним квадратическим отклонением 300 кг. Каков процент животных, удои которых
за лактацию заключены в пределах от 3000 кг до 3500 кг? Каков
диапазон изменения удоев?
Решение. Воспользуемся приведенной выше формулой (*)
при
)35003000( XP
300
:
300
32003000
32003500
Полученный результат означает, что примерно 59% коров будут иметь за период лактации удои в пределах от 3000 кг до 3500
кг.
Чтобы определить диапазон значений случайной величины Х,
воспользуемся правилом «трех сигм» и вычисляем
Таким образом,
. Иначе говоря, практически
достоверно, что для коров данной породы удои за лактацию колеблются в пределах от 2300 кг до 4100 кг.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]