Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
151
х
т
= т — событие А не появилось в первых т-1 испытаниях, а появилось
в т-ом испытании.
Найдем вероятности этих значений, используя теорему умножения вероятностей, получим:
р
1
= Р(Х = 1) = р;
р
2
= Р(Х = 2) = qр;
р
3
= Р(Х = 3) = q2 р;
р
4
= Р(Х = 4) = q3 р;
р
т
= Р(Х = т) = q
т–1
р.
Геометрическим законом распределения называется распределение
дискретной случайной величины Х, для которой возможными значениями являются целые положительные числа, а вероятности рт этих значений находятся
по формуле:
р
т
= Р(Х = т) = q
т–1
р,
где 0 < р < 1; q = 1 − р; т = 0,1,2,…
Вероятности рт для последовательных значений т образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q, от чего и происходит
название данного распределения.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по геометрическому закону, имеет вид:
Х 1 2
3 … т
… Р р
рq
pq2
…
pq
m–1
…
Легко убедиться, что сумма вероятностей второй строки равна 1, как
сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Действительно,
11
1 1 1
11
1
1
mm
m
m m m
p p q p q p p
qp
−−
= = =
= = = = =
−
.
Пример 7.3. Производится стрельба по цели до первого попадания. Веро-
ятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Построить ряд распределения
случайной величины Х, равной числу произведенных выстрелов.
Решение. Случайная величина может принимать следующие значения:
152
х
1
= 1 — попали при первом выстреле;
х
2
= 2 — попали при втором выстреле;
х
3
= 3 — попали при третьем выстреле;
х
т
= т — попали при т-ом выстреле;
Вероятности этих значений равны:
р
1
= 0,8; р2 = 0,2×0,8; р3 = 0,22×0,8; …, рт = 0,2
т–1
×0,8; ….
Итак, ряд распределения имеет следующий вид:
Х 1 2
3 … т
…
Р
0,8
0,2×0,8
0,22×0,8
…
0,2
т–1
×0,8
…
Теорема 7.4. Пусть случайная величина Х распределена по геометриче-
скому закону. Тогда ее математическое ожидание определяется по формуле
Доказательство. По определению математического ожидания, используя ряд распределения случайной величины, распределенной по геометрическому закону, получим:
( )
( )
1 1 2 3 4
11
2 3 4 2 3 4 2 3 4
2
234
( ) 1 2 3 4 5 ...
(1 ...) ( ...) ( ...) ...
1 1 1
... (1 ...)
1 1 1 1 1
mm
mm
M X mpq p mq p q q q q
p q q q q q q q q q q q
q q p p
p q q q q
q q q q p q p
−−
==
= = = + + + + + =
= + + + + + + + + + + + + + + + =
= + + + = + + + + + = =
− − − − −
.
При выводе использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Теорема доказана.
Приведем без доказательства следующие формулы для дисперсии, асимметрии и эксцесса случайной величины, распределенной по геометрическому
закону:
2
()
q
DXp=
;
2 p
As
q
−
=
и
2
9
k
p
Eq=+
.
153
7.1.4. Гипергеометрическое распределение
Пусть имеется множество, состоящее из N элементов. М из этих элементов обладают некоторым признаком А. Случайным образом из этого множества
извлекаются n элементов (без возвращения). Пусть случайная величина Х определяет число элементов из выбранных n, которые обладают признаком А. Будем вначале считать, что n < M. Очевидно, что тогда случайная величина может
принимать следующие значения:
х
1
= 0 — из выбранных элементов нет ни одного с признаком А;
х
2
= 1 — из выбранных элементов только один с признаком А;
х3 = 2 — из выбранных элементов только два с признаком А;
х
n
= n−1 — из выбранных элементов только n−1 с признаком А;
х
n+1
= n — все выбранные элементы с признаком А.
Если не предполагать выполнение условия n < M, то последнее значение
случайной величины будет равно min (n, M).
Для нахождения вероятностей этих значений можно воспользоваться
классической формулой, получим:
( 0) ;
n
NM
n
N
C
PX
C
−
==
11
( 1) ;
n
M N M
n
N
CC
PX
C
−
−
==
22
( 2) ;
n
M N M
n
N
CC
PX
C
−
−
==
( ) .
n
M
n
N
C
P X n
C
==
Гипергеометрическим распределением называется распределение дис-
кретной случайной величины Х, которая может принимать значения т =
= 0, 1, 2, … , min (n, M), а вероятности этих значений находятся по формуле:
()
m n m
M N M
n
N
CC
P X m
C
−
−
==
,
где величины N, M, n — параметры данного распределения.
154
В тех случаях, когда n значительно меньше N, гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.
Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных, например, с контролем продукции.
Пример 7.4. В партии из 12 деталей 3 детали бракованные. Случайным
образом выбирается две детали. Случайная величина Х определяет число бракованных деталей в выбранных двух. Построить ряд распределения данной
случайной величины.
Решение. Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2. Вероят-
ности этих значений можно вычислить по классической формуле:
2
9
1
2
12
9!
9! 2!10! 8 9 6
2! 7!
( 0)
12!
2! 7!12! 11 12 11
2!10!
C
p P X
C
= = = = = = =
;
11
93
2
2
12
9 3 9 3 2!10! 9 3 2 9
( 1)
12!
12! 11 12 22
2!10!
CC
p P X
C
= = = = = = =
;
2
3
3
2
12
3!
3! 2!10! 6 1
2!1!
( 2)
12!
2!1!12! 11 12 22
2!10!
C
p P X
C
= = = = = = =
.
Итак, ряд распределения имеет следующий вид:
Х 0 1
2
Р
6
11
9
22
1
22
Для случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, приведем без доказательства формулы для математического ожидания и
дисперсии:
()
nM
MX
N
=
;
2
( )( )
()
( 1)
n M N M N n
DX
NN
− −
=
−
.
Рассмотренные выше законы распределения дискретных случайных величин — биномиальный, Пуассона, геометрический и гипергеометрический —
иногда, особенно в англоязычной литературе, называют специальными законами распределения вероятности.
155
Перейдем теперь к конкретным видам законов распределения непрерывной случайной величины.
7.2. Виды законов распределения
непрерывной случайной величины
Основное отличие законов распределения дискретной случайной величины друг от друга состоит в формуле, по которой находится вероятность появления того или иного значения дискретной величины. Аналогом вероятности для
непрерывной случайной величины является функция плотности. В зависимости
от формы функции плотности существует несколько видов законов распределения непрерывной случайной величины. Одним из самых простых является
равномерный закон распределения.
7.2.1. Равномерный закон распределения
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
называется равномерным законом, если все значения этой величины принадлежат некоторому конечному промежутку и функция плотности распределения
на этом промежутке постоянна, а вне его равна нулю.
Если закон распределения случайной величины является равномерным,
то говорят, что эта величина равномерно распределена на соответствующем
промежутке или имеет равномерное распределение.
Иногда этот закон называют законом равномерной плотности.
Итак, пусть Х — равномерно распределенная на отрезке [a, b] случайная
величина. Тогда по определению этого распределения функция плотности будет иметь следующий вид:
где с — некоторая постоянная.
Естественно предположить, что величина с не просто произвольная постоянная, а она как-то связана с границами отрезка [a, b]. Это действительно так.
Найдем формулу для этой постоянной, используя второе свойство плотности, а именно формулу:
156
( ) 1
b
a
f x dx =
.
Получим
1
( ) 1 1 1 ( ) 1
bb
b
a
aa
f x dx cdx c x c b a c
ba
= = = − = =
−
.
Таким образом, случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [a, b], имеет следующую функцию плотности:
1
при [ , ]
()
0 при [ , ]
x a b
fx
ba
x a b
=
−
. (7.4)
В формуле (7.4) границы отрезка [a, b] могут быть открытыми или полуоткрытыми. Это не принципиально, так как для непрерывной случайной величины вероятность появления одного ее значения равна нулю.
График функции плотности равномерного распределения представлен на
рис. 7.1.
Рис. 7.1
Найдем функцию распределения равномерно распределенной случайной
величины. Используем формулу (5.8) и прежде всего найдем выражение F(x) на
промежутке [a, b]:
1
( ) ( )
x
xx
a
a
t x a
F x f t dt dt
b a b a b a
−
−
= = = =
− − −
.
1
ba−
f(х)
0 a b
х
157
При х < a функция F(x) =0, при х > b функция F(x) =1. Таким образом,
0 при
( ) при
1 при
xa
xa
F x a x b
ba
xb
−
=
−
.
График функции распределения представлен на рис. 7.2.
Рис. 7.2
Найдем основные числовые характеристики равномерно распределенной
случайной величины.
По формуле (6.2) находим математическое ожидание:
2 2 2
11
( ) ( )
2 2( ) 2
b
bb
aa
a
x b a b a
M X x f x dx x dx
b a b a b a
−+
= = = = =
− − −
.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке, совпадает с серединой этого отрезка.
Моды равномерное распределение не имеет. Иногда, правда, говорят, что
все точки промежутка [a, b] являются модой.
Медиана равномерного распределения из соображения симметрии равна
2
ab+
.
По формуле (6.6) с учетом конечного промежутка [a, b] найдем дисперсию, получим
1
F(х)
0 a b
х
158
3
2
2
33
32
11
2
( ) ( ( )) ( )
23
1 1 2( ) ( )
3( ) 2 2 3( ) 8 12
b
bb
aa
a
ba
x
ba
D X x M X f x dx x dx
b a b a
b a a b b a b a
b a b a
+
−
+
= − = − = =
−−
− − − −
= − = =
−−
.
Среднеквадратическое отклонение равно
( ) ( )
23
ba
X D X
−
==
.
Равномерное распределение симметрично относительно своего математического ожидания, следовательно, все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, а, следовательно, коэффициент симметрии также равен нулю, т. е. Аs=0. Этот же результат можно получить, находя асимметрию по соответствующей формуле.
Для определения эксцесса найдем четвертый центральный момент:
4
4
4
4
1 ( )
( ( )) ( )
2 80
bb
aa
a b b a
x M X f x dx x dx
ba
+−
= − = − =
−
,
откуда эксцесс равен:
4
4
44
( ) 144
3 3 1,2
( ) 80( )
k
ba
E
X b a
−
= − = − = −
−
.
Как и следовало ожидать, эксцесс имеет отрицательное значение.
Найдем вероятность попадания равномерно распределенной на отрезке
[a, b] случайной величины Х на некоторый промежуток [α, β], принадлежащий
целиком отрезку [a, b], получим:
( ) ( )
dx x
P X f x dx
b a b a b a
−
= = = =
− − −
.
Таким образом, эта вероятность равна отношению длины отрезка [α, β] к
длине отрезка [a, b]. Геометрически эта вероятность определяет площадь соответствующего прямоугольника.
159
Числа а и b называются параметрами равномерного распределения и
полностью его определяют.
В качестве примера случайной величины, распределенной по равномерному закону, можно привести случайную величину Х — ошибку измерения при
следующих условиях. Прибор, с помощью которого производится измерение
некоторой величины, имеет шкалу, проградуированную в некоторых единицах.
В качестве приближенного значения измеряемой величины берется ближайшее
целое. Так как ни одно из значений случайной величины Х ничем не предпочтительнее других, понятно, что случайная величина Х равномерно распреде-
лена на промежутке (−0,5; 0,5).
7.2.2. Показательное распределение
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
называется показательным или экспоненциальным, если функция плотности
этой величины имеет вид:
при 0
()
0 при 0
x
x
fx
x
−
=
, (7.5)
где λ — постоянная положительная величина, называемая параметром данного распределения.
График показательного распределения представлен на рис. 7.3.
Рис. 7.3
λ
f(x)
0
х
160
Одним из преимуществ показательного распределения является то, что
оно зависит только от одного параметра λ.
Найдем функцию распределения показательного закона. Используем
формулу (5.8) и прежде всего найдем выражение F(x) для положительных х:
0
0
( ) ( ) 1 1
x
xx
t
t x x
F x f t dt dt
−
− − −
−
= = = = − + = −
−
.
При х ≤ 0 функция F(x) = 0. Таким образом,
0 при 0
()
1 при 0
x
x
Fx
x
−
=
−
.
График функции распределения представлен на рис. 7.4.
Рис. 7.4
Найдем основные числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону.
По формуле (6.2) находим математическое ожидание:
00
1
( ) ( )
x
M X x f x dx x dx
+ +
−
= = =
.
При нахождении интеграла использовалась формула интегрирования по
частям и учитывалось, что при х→+∞ функция
x−
стремится к нулю быстрее,
чем возрастает любая степень х.
F(х)
1 0 х
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]