Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
81
3.26. В магазин поступили две партии костюмов. В первой партии 20 си-
них и 15 черных, во второй — 15 синих и 10 черных. Первая партия изготовлена заводом № 1, вторая — заводом № 2. Покупатель купил синий костюм.
Определить вероятность того, что костюм изготовлен заводом № 2.
3.27. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим при-
целом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела
эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из случайно выбранной
винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом
или без него?
3.28. В беспроигрышной лотерее в двух барабанах находятся хорошо пере-
мешанные красные и синие билеты. В первом — 70 красных и 30 синих; во втором — 20 красных и 40 синих. Наугад вынут один билет. Билет оказался красным.
Определить вероятность того, что билет был вынут из первого барабана.
3.29. Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки к одному из
контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6; ко второму — 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94; вторым — 0,98. Деталь при проверке
оказалась стандартной. Определить вероятность того, что эту деталь проверял
второй контролер.
3.30. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же
шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна
0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала
для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
3.31. Имеется две партии деталей. В первой — 25 доброкачественных и
5 бракованных; во второй — 20 доброкачественных и 5 бракованных. Наудачу
взяты сразу две детали из одной партии. Оказалась, что одна из них доброкачественная, а другая — бракованная. Определить вероятность того, что эти детали взяты из второй партии.
3.32. Счетчик регистрирует частицы трех типов: А, В, С. Вероятности по-
явления этих частиц равны соответственно 0,2; 0,5 и 0,3. Частицы каждого из
этих типов счетчик улавливает с вероятностями 0,8; 0,2 и 0,4 соответственно.
Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица
А или В.
82
3.33. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на
общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй — 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена
первым автоматом.
3.34. Рассматриваются акции некоторой компании. Исследования пока-
зали, что если экономика страны будет на подъеме, то вероятность роста стоимости акций этой компании в следующем году будет равна 0,7; если же развитие экономики не будет успешным, то эта вероятность равна 0,2. По мнению
специалистов, вероятность подъема экономики в следующем году равна 0,85.
Оценить вероятность того, что в следующем году акции компании поднимутся
в цене.
83
ГЛАВА 4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
4.1. Испытания и формула Бернулли
На практике часто приходится иметь дело с многократным повторением
одного и того же испытания по возможности в одних и тех же условиях.
Например, 10 выстрелов по мишени при неизменных условиях стрельбы — это
десятикратное повторение одного испытания — выстрела по мишени. Однако
об этом примере можно сказать и иначе, а именно, производится 10 одинаковых
испытаний.
Допустим, что выполняется серия из n независимых одинаковых испытаний. Испытания независимы в том смысле, что результаты одних испытаний не
влияют на результаты других. В каждом испытании может появиться или не
появиться некоторое случайное событие А. Будем предполагать, что вероятность появления события А в одном испытании одна и та же, т. е. не зависит от
номера испытания. Традиционно принято называть исход, при котором появляется событие А, «успехом», а исход, при котором не появляется событие А, —
«неудачей».
Одинаковые независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если в каждом испытании возможны только два исхода («успех» и «неуда-
ча») и вероятности каждого из этих исходов постоянны, т. е. не меняются от
испытания к испытанию.
Обозначим через:
р — вероятность «успеха», т. е. появления события А в одном испытании,
а именно, р = Р(А);
q — вероятность «неудачи», т. е. непоявления события А в одном испыта-
нии, а именно, q = Р(Ā).
Тогда, очевидно, р + q = 1 или q = 1 – р.
Итак, для того чтобы n одинаковых испытаний назывались испытаниями
Бернулли, необходимо выполнение трех условий:
1. Испытания должны быть независимыми.
2. В каждом испытании возможно только два исхода («успех» и «неудача»).
3. Вероятность «успеха» р в каждом испытании постоянна, т. е. не зависит
от номера испытания. (Очевидно, что q также не зависит от номера испытания.)
Так как вероятность появления события А в одном испытании известна и
равна р, то, естественно, возникают вопросы: а чему равна вероятность появле-
84
ния события А, к примеру, т раз в n испытаниях или не менее т раз в n испытаниях? Попытаемся ответить на эти вопросы.
Пусть:
()
n
P A m=
— вероятность появления события А ровно т раз в n испытаниях;
()
n
P A m
— вероятность появления события А не менее т раз в n испы-
таниях.
Допустим, что интересующее нас событие А появилось в первых т испытаниях и не появилось в остальных n — т. Вероятность такой ситуации по тео-
реме умножения для независимых событий равна
m n m
pq
−
.
Разумеется, возможен и иной порядок появления события А. Например,
оно может не появиться в первых n — т испытаниях, а появиться в последних
т испытаниях. Вероятность такого варианта равна
n m m
qp
−
или, что то же са-
мое,
m n m
pq
−
.
Возможны и другие варианты. Всего таких вариантов столько, сколько
имеется сочетаний из n элементов по т, т. е.
m
n
C
. Каждый из вариантов имеет
одну и ту же вероятность
m n m
pq
−
.
Для нас безразлично, в какой последовательности появляется событие А.
Важно, чтобы оно появилось в каких-то т испытаниях и не появилось в остальных n — т испытаниях. Поэтому:
()
m m n m
nn
P A m C p q
−
= =
. (4.1)
Формула (4.1) носит название формулы Бернулли.
Рассмотрим частные случаи формулы (4.1):
1. Вероятность того, что событие А появится во всех n испытаниях, равна:
()
n n n n n
nn
P A n C p q p
−
= = =
. (4.2)
2. Вероятность того, что в n испытаниях событие А не появится ни разу,
равна:
0 0 0
( 0)
nn
nn
P A C p q q
−
= = =
. (4.3)
3. Вероятность того, что в n испытаниях событие А появится не менее т
раз, равна:
85
( ) ( ) ( 1) ... ( )
n n n n
P A m P A m P A m P A n = = + = + + + =
. (4.4)
4. Вероятность того, что в n испытаниях событие А появится не менее т1
раз и не более т2 раз, равна:
1 2 1 1 2
( ) ( ) ( 1) ... ( )
n n n n
P m A m P A m P A m P A m = = + = + + + =
. (4.5)
Заметим, что для всех n испытаний Бернулли выполнено следующее равенство:
( 0) ( 1) ( 2) ... ( ) 1
n n n n
P A P A P A P A n= + = + = + + = =
.
Пример 4.1. Расход электроэнергии на протяжении суток не превышает
установленной нормы с вероятностью р = 0,75. Найти вероятность того, что в
ближайшие 6 суток расход электроэнергии не будет превышать нормы в течение четырех суток.
Решение. Испытанием будем считать расход электроэнергии в течение
суток. Событие А означает отсутствие перерасхода энергии в течение одних суток, тогда
( ) 0,75; 1 0,25.p P A q p= = = − =
Применяя формулу (4.1), получим:
4 4 2 4 2
66
( 4) (0,75) (0,25) 15 (0,75) (0,25) 0,3P A C= = =
.
Пример 4.2. Вероятность попадания в цель для стрелка равна 0,6. Какова
вероятность из 10 выстрелов:
1) попасть ровно 4 раза;
2) попасть не менее 8 раз;
3) попасть не менее 3 раз?
Решение. Испытание — выстрел в цель. Событие А означает попадание в
цель при одном выстреле, тогда событие Ā — непопадание в цель при одном
выстреле. Отсюда
( ) 0,6; 1 0,4.p P A q p= = = − =
1. Используем формулу (4.1), получим:
4 4 6
10 10
( 4) (0,6) (0,4) 210 0,1296 0,004096 0,11P A C= = =
.
2. Используем формулу (4.4), получим:
86
10 10 10 10
8 8 2 9 9 1 10
10 10
( 8) ( 8) ( 9) ( 10)
(0,6) (0,4) (0,6) (0,4) (0,6)
45 0,047 0,16 10 0,028 0,4 0,017 0,4674
P A P A P A P A
CC
= = + = + = =
= + + =
= + +
.
3. Данную задачу легче решить, если перейти к противоположному собы-
тию, т. е.
( )
10 10 10 10
( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2) 0,97P A P A P A P A = − = + = + =
.
Пример 4.3. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника четыре
партии из пяти или семь партий из девяти?
Решение. Пусть событие А означает, что выиграет, например, первый игрок. Так как противники равносильны, то вероятности выигрыша и проигрыша
для каждого игрока одинаковы, т. е.
0,5.pq==
Получим:
4 4 1
55
7 7 2
99
( 4) (0,5) (0,5) 0,15625
( 7) (0,5) (0,5) 0,07031
P A C
P A C
= =
= =
.
Таким образом, вероятнее выиграть 4 партии из 5, чем 7 из 9.
Рассмотрим n испытаний Бернулли с вероятностью успеха р.
Число т0 наступлений события А называется наивероятнейшим, если
вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях т0 раз, превышает
или, по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов
испытаний.
Можно показать, что наивероятнейшее число определяется из двойного
неравенства:
0
np q m np p− +
, (4.6)
причем если:
1) число
np q−
— дробное, то существует одно наивероятнейшее число,
которое равно ближайшему целому, большему
np q−
;
2) число
np q−
— целое, то существуют два наивероятнейших числа,
равных
np q−
и
1np q−+
.
87
Пример 4.4. Отдел технического контроля проверяет партию, состоящую
из 20 деталей. Вероятность того, что выбранная случайным образом деталь будет стандартной, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.
Решение. По условию задачи n = 20, p = 0,7; q = 0,3.
Отсюда np — q = 20 0,7 — 0,3 = 13,7 и np + p = 20 0,7 + 0,7 = 14,7.
Итак, по формуле (4.6) получим 13,7 ≤ т0 ≤ 14,7; следовательно, наивероятнейшее число равно т0 = 14.
Решение задач с применением формулы Бернулли не вызывает особых
трудностей, если число испытаний n невелико. При больших значениях n целесообразно для определения соответствующей вероятности применять приближенную формулу, о которой идет речь в локальной предельной теореме.
4.2. Локальная предельная теорема
Как уже было отмечено, при больших значениях n нахождение вероятности
()
n
P A m=
превращается в технически достаточно сложную задачу. Это об-
стоятельство было отмечено еще в 18 в. математиками, занимающимися демографическими проблемами. Возникла необходимость получения приближенной
формулы для нахождения соответствующей вероятности. Эта задача была решена для частного случая при р = 0,5 в 1730 г. английским математиком Абрахамом де Муавром и обобщена в 1783 г. французским математиком Пьером
Лапласом.
Введем в рассмотрение следующую функцию:
2
2
1
()
2
x
x
−
=
. (4.7)
Приближенные значения функции
()x
для любого аргумента х можно
получить, разложив ее в степенной ряд, однако проще найти эти значения из
соответствующей таблицы (см. прил. 1). При использовании этой таблицы
необходимо учитывать, что функция
()x
четная, т. е.
( ) ( )xx
−=
.
Теорема 4.1. (локальная теорема Муавра — Лапласа). Если вероят-
ность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и
отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероят-
88
ность того, что в n испытаниях событие А наступит т раз, приближенно равна
значению функции:
1
( ) ( )y x x
npq
=
при
m np
x
npq
−
=
.
Нетрудно понять, что чем больше значение n, тем точнее получим значение вероятности.
Итак, вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно т
раз, приближенно равна:
1
()
n
m np
P A m
npq npq
−
=
. (4.8)
Пример 4.5. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь окажется
бракованной, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 600 деталей, сошедших
с конвейера, 87 деталей окажутся бракованными.
Решение. Событие А означает, что взятая с конвейера деталь окажется
бракованной. Тогда по условию задачи
600; 87; 0,1; 0,9n m p q= = = =
.
Отсюда
87 600 0,1 27
3,67
7,35
600 0,1 0,9
x
−
=
и окончательно получаем по
формуле (4.8) с применением таблицы прил. 1:
( )
600
11
( 87) 3,67 0,0005 0,000068
7,35 7,35
PA
=
.
Пример 4.6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном вы-
стреле р = 0,7. Найти вероятность того, что при 20 выстрелах стрелок поразит
мишень 15 раз.
Решение. Событие А означает, что стрелок попадет в мишень при одном
выстреле. Тогда по условию
20; 15; 0,7; 0,3n m p q= = = =
. По формуле (4.8)
получаем:
20
1 15 20 0,7 1 1
( 15)
2,05 2,05
20 0,7 0,3 20 0,7 0,3
PA
−
=
0,49 0,3538 0,1734
.
89
Найдем ту же вероятность, применяя формулу Бернулли (4.1), получим:
15 15 5
20 20
( 15) (0,7) (0,3) 15504 0,004748 0,00243 0,1783P A C= =
.
В примере 4.6 вероятности одного и того же события, найденные по разным формулам, имеют разные значения, так как формула (4.8) дает лишь приближенное значение этой вероятности. Однако очевидно, что расхождение в
ответах не очень велико. Неплохую точность ответа, найденного по формуле
(4.8), обеспечило, в частности, то, что вероятность р появления события А не
является слишком малой. При малых значениях вероятности р рекомендуется
применять для решения выше рассмотренных задач формулу Пуассона.
4.3. Формула Пуассона
Предположим, что вероятность р появления события А в отдельном испытании близка к нулю. Такие события А называются редкими. Тогда даже при
большом числе испытаний, но небольшой величине произведения np (меньше
10) вероятность, полученная по формуле (4.8), будет недостаточно близка к
своему истинному значению. В таких случаях применяют другую приближенную формулу, называемую формулой Пуассона.
Теорема 4.2 (теорема Пуассона). Если вероятность р появления события
А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испы-
таний Бернулли достаточно велико, то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно т раз, приближенно равна:
()
!
m
n
P A m
m
−
=
, (4.9)
где
np
=
.
Доказательство. Для вычисления интересующей нас вероятности воспользуемся формулой Бернулли, получим:
( 1)( 2) ( ( 1))
( ) (1 ) .
!
m m n m m n m
nn
n n n n m
P A m C p q p p
m
−−
− − − −
= = = −
90
Из условия nр = λ следует, что
p
n
=
, следовательно,
( 1)( 2) ( ( 1))
( ) 1
!
( 1)( 2) ( ( 1))
1
!
1 2 1
1 1 1 ... 1 1
!
12
1 1 1
!
m n m
n
nm
m
nm
m
nm
m
n n n n m
P A m
m n n
n n n n m
m n n n n n
m
m n n n n
m n n n
−
−
−
−
− − − −
= = − =
− − − −
= − =
−
= − − − − =
= − − −
1
... 1
1 2 1
1 1 1 1 ... 1
!
nm
m
m
n
m
m n n n n n
−
−
−=
−
= − − − − −
.
В последнем выражении при больших n второй сомножитель приближен-
но равен
−
(второй замечательный предел), а все остальные сомножители
начиная с третьего приближенно равны единице, поэтому:
()
!
m
n
P A m
m
−
=
.
Теорема доказана.
Отметим, что имеются специальные таблицы, пользуясь которыми, можно найти вероятность
()
n
P A m=
для конкретных значений n и т.
Формула (4.9) называется формулой Пуассона.
Пример 4.7. Завод отправил в магазин 5 000 исправных телевизоров. Вероятность того, что во время пути произойдет повреждение телевизора, равна
0,0002. Какова вероятность того, что во время пути произойдут повреждения у
трех телевизоров? Найти вероятность по разным формулам и сравнить полученные результаты.
Решение. Событие А означает, что во время пути один телевизор получил
повреждение. Тогда по условию примера
5000; 3; 0,0002n m p= = =
. Вероят-
ность появления события А — поломка в пути одного телевизора — очень мала.
Произведение
5000 0,0002 1np = =
также мало. Применим формулу (4.9), по-
лучим:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]