Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
21
группа состоит из 18 чисел. Наконец, третья группа составлена из чисел, в которых все три цифры одинаковы, т. е. 333, 444, 555. Таким образом, общее количество чисел равно 6 + 18 + 3 = 27.
Для решения ряда задач бывает полезна формула, позволяющая найти
число различных комбинаций из n элементов, среди которых есть конкретное
число одинаковых элементов.
Пусть среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов
второго вида и т. д. и nk элементов k-го вида, тогда число перестановок из этих
чисел равно
12
12
!
( , ,..., )
! ! ... !
nk
k
n
P n n n
n n n
=
, (1.6)
где n1+ n2+…+ nk = n.
Пример 1.11. Сколько существует различных шестизначных чисел, в ко-
торых цифра 1 повторяется два раза, цифра 3 — один раз, цифра 5 — три раза?
Решение. Из условия задачи ясно, что n = 6, n1 = 2, n2 = 1, n3 = 3. По фор-
муле (1.6) получим
6
6!
(2,1,3) 60
2!1!3!
P ==
.
Рассмотрим два различных размещения, которые состоят из одних и тех
же элементов. Тогда они обязательно должны отличаться порядком расположения этих элементов. Однако часто бывает, что нет необходимости учитывать
этот порядок, т. е. размещения, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся друг от друга лишь порядком расположения (следования) этих элементов, можно считать равными. В этом случае полученные комбинации будут
называться сочетаниями.
1.3.3. Сочетания
Выберем из трех элементов a, b, c два элемента без учета их расположения. Получим:
ab, bc, ac.
Составленные комбинации называются сочетаниями из трех элементов по два.
22
Сочетаниями из n элементов по т в каждом называются такие комбинации т элементов, взятых из n элементов, которые отличаются друг от друга
по крайней мере одним элементом.
Очевидно, что т ≤ n.
Теорема 1.5. Число сочетаний из n элементов по т определяется по сле-
дующей формуле:
!
!( )!
m
n
n
C
m n m
=
−
, (1.7)
где
0 mn
.
Доказательство. Выведем эту формулу, используя формулы для числа
размещений (1.2) и числа перестановок (1.4). Нетрудно понять, что если сначала составить различные сочетания из n элементов по т, а потом в каждом из
сочетаний различными способами поменять порядок, т. е. произвести перестановки, то получим различные размещения из n элементов по т. Следовательно,
по правилу умножения имеет место формула:
!
mm
nn
A C m=
.
Отсюда получаем:
!
! !( )!
m
m
n
n
A
n
C
m m n m
==
−
.
Теорема доказана.
Примечание. Буква С в обозначении числа сочетаний взята от начальной
буквы слова combination, что в переводе с французского означает «сочетание».
Числа
m
n
C
называются биномиальными коэффициентами, так как они
входят в разложение формулы бинома Ньютона:
1 1 1 2 2 2
0
( ) ... ...
n
n m m n m n n n m m n m n
n n n n
m
a b C a b b C a b C a b C a b a
− − − −
=
+ = = + + + + + +
.
23
Числа
m
n
C
обладают следующими свойствами:
1)
01
1,
n
n n n
C C C n= = =
;
2)
0
2
n
mn
n
mC=
=
;
3)
m n m
nn
CC
−
=
,
где т=0, 1, …, n, удобно применять при
2
n
m
;
4)
1
11
m m m
n n n
C C C
−
−−
=+
,
где т=0, 1, …, n−1.
Пример 1.12. Решить пример 1.4, предполагая, что кандидаты выбирают-
ся на одинаковые должности.
Решение. Ввиду того что должности одинаковые, порядок выбора канди-
датов значения не имеет, поэтому при решении применяем формулу (1.7) для
числа сочетаний, получаем:
3
12
12! 12! 10 11 12
220
3!(12 3)! 3!9! 1 2 3
C
= = = =
−
.
Изменим условие примера 1.12 и будем предполагать, что один человек
может занимать не только одну, но и две или даже три должности, однако
должности остаются одинаковыми. Тогда появляются комбинации, называемые
сочетаниями с повторениями.
Сочетания с повторениями из n элементов по т могут состоять не
только из т различных элементов, но и из т каких угодно и сколько угодно раз
повторяющихся элементов, взятых из данного множества n элементов.
Число сочетаний с повторениями из n элементов по т может быть вычислено по формуле:
(повт.) 1
( 1)!
!( 1)!
mm
n n m
nm
CC
mn
+−
+−
==
−
. (1.8)
24
Необходимо обратить внимание на то, что в формуле (1.8) число т может
быть и больше n. Например, число способов выбора 6 авторучек, если в продаже имеется 4 вида авторучек, может быть определено по формуле:
6 6 6
4(повт.) 4 6 1 9
9!
84
6! 3!
C C C
+−
= = = =
.
Очевидно, что в этом примере т = 6, а n = 4.
Задачи для самостоятельного решения
1.1. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может
подняться на гору и спуститься с нее? Дайте ответ на тот же вопрос в предположении, что подъем и спуск осуществляются разными путями.
1.2. Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
1.3. В розыгрыше первенства страны по футболу принимают участие
16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?
1.4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если
каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
1.5. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, если
цифры могут повторяться, а само число должно быть четное?
1.6. Сколько существует различных номеров телефона, которые отлича-
ются друг от друга только двумя последними цифрами? Дайте ответ на тот же
вопрос в предположении, что две последние цифры в каждом номере не могут
быть одинаковыми.
1.7. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,
3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
1.8. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,
5, если:
1) ни одна из цифр не повторяется;
2) цифры могут повторяться;
3) числа должны быть нечетными (цифры могут повторяться)?
1.9. Сколькими способами могут разместиться 4 покупателя в очереди в
кассу? 5 покупателей? 6 покупателей?
1.10. Сколькими способами можно расставить на полке десять различных
книг?
25
1.11. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, со-
стоящую из трех человек?
1.12. Сколькими способами можно рассадить четырех курсантов на 25 местах?
1.13. В турнире принимали участие 25 шахматистов, и каждые два шах-
матиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире?
1.14. Преподаватель отдал учащимся 60 вопросов для зачета. Сколько он
может составить билетов, если выполнены два условия:
1) каждый билет содержит три разных вопроса;
2) любые два билета отличаются друг от друга хотя бы одним вопросом?
1.15. В турнире принимают участие 7 команд. Сколько можно сделать
различных предсказаний о распределении первых трех призовых мест?
1.16. Партия состоит из 8 изделий. Из партии выбирается для контроля 3
изделия. Сколькими способами это можно сделать?
1.17. В группе из 30 человек нужно выбрать старосту, профорга и физор-
га. Сколькими способами это можно сделать, если любой из учащихся может
быть выбран на любую, но только одну должность? Дайте ответ на тот же вопрос в предположении, что любому из учащихся могут быть предложены две и
даже все три должности.
1.18. В бригаде из 26 человек нужно выделить четырех для работы на
определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
1.19. Группа учащихся изучает 9 различных учебных дисциплин. Сколь-
кими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот
день недели должно быть 4 различных урока?
1.20. На базе имеется некоторое количество деталей. При этом известно,
что 100 деталей 1-го сорта, 20 деталей второго сорта, остальные 3-го сорта.
Сколько существует способов выбора одной детали первого или второго сорта?
1.21. Сколькими способами 8 различных книг можно расставить на одной
полке так, чтобы:
1) две определенные книги оказались рядом;
2) две определенные книги не оказались рядом?
1.22. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из урны
можно вынимать наугад три шара так, чтобы
1) все три шара оказались белыми;
2) все три шара оказались черными;
3) два шара оказались белыми, один — черным;
4) два шара оказались черными, один — белым?
26
1.23. В розыгрыше личного первенства института по шахматам было сыг-
рано 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?
1.24. В группе 20 юношей и 20 девушек. Сколькими способами можно
избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов?
1.25. Три студента и три студентки садятся на 6 расположенных подряд
стульев, причем студенты садятся на места с четными номерами, а студентки —
на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать?
1.26. Имеются р дорог, ведущих от С до Д через А, и х дорог, ведущих от
С до Д через В. Пункты А и В дорогами не связаны. Сколько можно создать ав-
тобусных маршрутов, связывающих Д и С?
1.27. В некоторой газете 10 страниц. Необходимо на страницах этой газе-
ты поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни
одна страница не должна содержать более одной фотографии?
1.28. В ящике находятся 8 белых и 5 черных шаров. Сколькими способа-
ми можно выбрать 6 шаров, чтобы среди них было только 2 черных?
1.29. Имеется группа, состоящая из 11 человек. Сколькими способами ее
можно разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более четырех человек, а во второй не более восьми человек?
1.30. В розыгрыше первенства по футболу участвуют девять команд,
лучшие из которых занимают первое, второе и третье места. В следующем таком же первенстве не будут участвовать две команды, занявшие последние места. Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать положение первых трех и последних двух команд?
1.31. В группе учатся 12 человек. Предположим, что на одном занятии мо-
жет быть опрошено любое количество учащихся, но ни один из них не может
быть опрошен дважды. Сколько существует вариантов опроса учащихся на одном
занятии, если порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен и при
этом возможна ситуация, при которой ни один из учащихся не будет опрошен?
1.32. На студенческий вечер собрались юноши и девушки восьми факуль-
тетов университета, в том числе математического и филологического. Для исполнения народных танцев приглашаются 10 студентов. Сколькими способами
можно выбрать эту десятку при условии участия в ней хотя бы одного студента
математического и хотя бы одного студента филологического факультетов?
1.33. В магазине имеются конфеты трех наименований. Конфеты упако-
ваны в коробки трех видов — для каждого наименования своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор из пяти коробок?
27
1.34. Сколько автомашин можно обеспечить шестизначными номерами?
1.35. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов
распределения оценок, если известно, что так или иначе все они экзамен сдали?
1.36. Для организации для своих сотрудников трех различных туристиче-
ских поездок руководство фирмы рассматривало шесть туристических агентств.
Определить число способов распределения трех заявок между шестью
агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки.
1.37. Для открытия своего сейфа руководителю необходимо набрать па-
роль из четырех цифр. Он забыл необходимый код. Сколько всевозможных
комбинаций он может составить для набора пароля, если
1) цифры в коде не повторяются;
2) цифры в коде могут повторяться?
1.38. Необходимо шесть книг расставить по трем полкам. Сколькими спо-
собами это можно сделать? Сколько существует способов расставить книги так,
чтобы ни одна полка не пустовала?
1.39. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комис-
сию в составе 8 человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в неё должен входить хотя бы один математик?
1.40. В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от
других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го)
этаже. Сколькими способами:
1) пассажиры могут выйти на одном этаже;
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий — на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?
28
ГЛАВА 2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
И ЕГО ВЕРОЯТНОСТИ
2.1. Понятие и виды случайных событий
Как было отмечено ранее, одним из основных понятий теории вероятно-
стей является понятие случайного события. Случайность или случай — это повседневные понятия, с которыми связан целый ряд обычных слов: наугад, риск,
шанс, неопределенность, верить, ожидать и т. д. Со случайностями мы встречаемся повсюду. Традиционное отношение к ним — отрицательное. Конечно,
случай может оказаться и счастливым, например, выигрыш в Спортлото. Однако счастливые исходы происходят так редко, что рассчитывать на них не имеет
смысла. В основном считается, что случайности нам мешают, путают наши
планы. Лучше от них не зависеть и стараться по возможности исключить из
нашей практики. Однако, как правило, это сделать не удается. Более того, можно привести сколь угодно примеров, где не только нецелесообразно отбросить,
исключить случайность, а наоборот, необходимо изучить ее и учесть.
Например, работа станции скорой помощи. Ясно, что нельзя заранее
предвидеть, когда именно потребуется скорая помощь, куда надо будет ехать,
сколько времени придется затратить на того или иного больного. А ведь от этого зависит ответ на один практический вопрос: сколько дежурных врачей надо
иметь, чтобы, с одной стороны, им не приходилось бы долго бездействовать в
ожидании вызова, а с другой — больным не приходилось бы долго ждать помощи. Исключить такую случайность невозможно, следовательно, нужно не отгораживаться от нее, а постараться учесть наилучшим образом.
Итак, поскольку случайности или случайные события врываются в нашу
жизнь помимо нашего желания и постоянно окружают нас, необходимо изучить
их и попытаться использовать при решении тех или иных задач.
Предположим, что при определенном комплексе условий происходит какой-либо процесс, приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Сам
этот процесс со своим комплексом условий будем называть опытом или испы-
танием. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения. Сам
процесс может происходить и без участия человека. Будем также предполагать,
что имеется возможность проводить каждое такое испытание неоднократно со
своим неизменным (или почти неизменным) комплексом условий.
Представим теперь, что производится некоторый опыт или некоторое испытание, результат (или исход) которого не может быть заранее предсказан.
Например, при броске монеты заранее нельзя сказать, как она упадет: гербом
29
или цифрой вверх. Невозможно абсолютно точно предсказать, каков будет курс
доллара по отношению к рублю через 6 месяцев. Другой пример: мы выходим к
автобусной остановке, не зная расписание движения. Сколько времени нам
придется ждать нужного автобуса? Заранее число минут предсказать точно
нельзя.
Все эти примеры относятся к области случайных явлений. В каждом из
них исход испытания заранее точно непредсказуем. Этот исход и называется
случайным событием.
Случайным для испытания называется событие, которое в результате
этого испытания может произойти или не произойти.
В тех случаях, когда понятно, о чем идет речь, вместо слов «случайное
событие» будем использовать одно слово «событие».
Студент покупает билет «Спортлото» и отмечает в нем 6 номеров из 49.
Через некоторое время публикуется список «выигравших» номеров. В этом испытании могут произойти (или не произойти), например, следующие события:
А — угадано 3 номера;
В — угадано 4 номера;
С — не угадано ни одного номера.
Конечно, приведенными событиями не исчерпываются все возможные
исходы (события) данного испытания.
В рассмотренном примере были введены обозначения событий, которых в
основном будем придерживаться и в дальнейшем. Таким образом, случайные события будем обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, … и т. д.
Случайные события бывают разных видов. Рассмотрим следующий пример.
Пример 2.1. Пусть испытание состоит в том, что производится один бро-
сок игрального кубика. Выделим несколько событий, возможных в данном испытании:
А — выпало не более шести очков;
В — выпало семь очков;
С — выпало четыре очка;
D — выпало не менее четырех очков;
Е — выпало четное число очков;
F — выпало нечетное число очков.
Очевидно, что в данном испытании (1 бросок игрального кубика) событие
А всегда произойдет, а событие В, наоборот, произойти не может. Такие события для конкретного испытания не являются случайными и носят названия достоверного и невозможного.
30
Достоверным событием для данного испытания называется событие, ко-
торое в этом испытании обязательно произойдет. Достоверные события будем
обозначать буквой U.
Следовательно, для рассматриваемого примера А = U.
Невозможным событием для данного испытания называется событие,
которое в этом испытании никогда не произойдет. Невозможные события будем обозначать буквой Λ (лямбда).
Следовательно, для рассматриваемого примера В = Λ.
Необходимо отметить, что достоверным и невозможным события являются именно для данного испытания. Изменив условия испытания, можно добиться того, что эти события превратятся в случайные. Например, если предположить, что будет два броска игрального кубика, и рассматривается сумма очков, выпавших на этих кубиках, то очевидно, что событие А не всегда будет
происходить в новом испытании, т. е. не будет достоверным, а событие В может появиться в этом испытании, т. е. не является невозможным.
События, содержащие только один исход, называются элементарными
(или простыми).
События, содержащие более одного исхода, называются сложными (или
составными).
Будем считать, что сложное событие наступило в результате испытания,
если испытание закончилось одним из исходов, входящих в это событие.
Для примера 2.1 событие С является элементарным, а событие D —
сложным.
Если для испытания указаны все элементарные события, которые могут в
нем произойти, то говорят о том, что задано пространство элементарных событий.
Пространством элементарных событий для данного испытания назы-
вается совокупность всех элементарных событий, возможных в данном испытании.
Элементарные события будем обозначать буквами ω1, ω2, …, а пространство элементарных событий — буквой Ω.
Пространство элементарных событий для испытания в примере 2.1 может
быть записано следующим образом:
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6,},
где ω1 — выпало одно очко;
ω
2
— выпало два очка;
ω
3
— выпало три очка;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]