Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
91
31
5000
11
( 3) 0,061
3! 6
PA
−
= =
.
Найдем ту же вероятность по формуле (4.8), используя локальную теорему Муавра — Лапласа, получим:
Нетрудно видеть, что расхождение в ответах существует. Проверим, какая из формул дает более точный результат. Для этого найдем ту же вероятность по формуле Бернулли (4.1), получим:
3 3 4997 12
5000 5000
( 3) (0,0002) (0,9998) 20820835000 8 10 0,368
0,061297
P A C
−
= =
.
Очевидно, что формула Пуассона дает практически такой же результат,
что и формула Бернулли, поэтому в этих условиях вместо формулы Муавра —
Лапласа рекомендуется применять формулу Пуассона.
Локальная теорема Муавра — Лапласа и теорема Пуассона дают формулу, которая является приближением формулы (4.1). Аналогичную формулу
можно предложить и для равенства (4.5).
4.4. Интегральная предельная теорема
Вновь предположим, что проводится n испытаний Бернулли и надо найти
вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее т1 раз и
не более т2 раз, при этом будем предполагать, что число испытаний достаточно
велико.
Введем в рассмотрение следующую функцию.
Функцией Лапласа называется функция вида:
2
2
0
1
()
2
x
t
Ф x dt
−
=
. (4.10)
92
Неопределенный интеграл
2
2
t
dt
−
не выражается через элементарные
функции, поэтому для нахождения соответствующего определенного интеграла
и значений самой функции Лапласа пользуются специальными таблицами (см.
прил. 2). В таблице даны значения для положительных аргументов и нуля. Для
отрицательных значений х используют ту же таблицу, учитывая, что функция
Лапласа является нечетной, т. е.
( ) ( )Ф x Ф x− = −
.
Теорема 4.3 (интегральная теорема Лапласа). Вероятность того, что в
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события
А равна р (0 < p < 1), событие А наступит не менее т1 раз и не более т2 раз,
приближенно равна:
12
( ) ( ) ( )
n
P m A m Ф x Ф x
−
, (4.11)
где
21
;
m np m np
xx
npq npq
−−
==
.
Пример 4.8. Вероятность того, что деталь не прошла проверку отдела
технического контроля (ОТК), равна 0,1. Найти вероятность того, что среди
случайно отобранных 500 деталей проверку не пройдут от 70 до 100 деталей.
Решение. Событие А означает, что одна деталь не прошла проверку ОТК.
Тогда по условию
12
500; 70; 100; 0,1; 0,9n m m p q= = = = =
. Воспользуемся
интегральной теоремой и формулой (4.11), получим:
500
100 500 0,1 70 500 0,1
(70 100)
500 0,1 0,9 500 0,1 0,9
PA ФФ
− −
−
(7,45) (2,98) 0,5 0,4987 0,0013ФФ − − =
.
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,9. Найти веро-
ятность того, что из пяти последовательно прибывших поездов четыре прибудут без опоздания.
4.2. Монета бросается 6 раз. Определить вероятность того, что герб по-
явится ровно 3 раза.
93
4.3. В цехе имеется 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что
он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный
момент:
1) включены 4 мотора;
2) включены все моторы;
3) выключены все моторы.
4.4. Вероятность выиграть по одной облигации за весь срок займа равна
0,25. Какова вероятность, имея 8 облигаций,
1) выиграть по двум облигациям;
2) выиграть по крайней мере по двум облигациям?
4.5. Вероятность того, что лампа останется исправной после 100 ч рабо-
ты, равна 0,3. Какова вероятность того, что хотя бы одна из четырех ламп останется исправной после 100 ч работы?
4.6. Вероятность попадания в цель равна 0,5. Определить вероятность то-
го, что будет не менее трех попаданий при четырех выстрелах.
4.7. Вероятность того, что отобранная для проверки деталь будет стан-
дартной, равна 0,9. Берут наудачу пять деталей. Если из этих пяти деталей две
или более будут нестандартными, то вся партия бракуется. Какова вероятность
того, что вся партия будет забракована?
4.8. Некоторое устройство состоит из пяти узлов. Вероятность выхода из
строя в течение времени Т для каждого узла равна 0,2. Устройство не работает,
если выйдут из строя не менее трех узлов. Найти вероятность того, что устройство прекратит работу за время Т, если выход из строя каждого узла не зависит
от состояния работы в других узлах.
4.9. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найти наивероятнейшее число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.
4.10. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет
30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно
отобранной партии из 75 изделий?
4.11. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероят-
нейшее число выпадения четверки было равно 32?
4.12. Какова вероятность наступления события А в каждом из независи-
мых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события А в 120 испытаниях равно 32?
4.13. Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,25. Найти вероят-
ность того, что при 300 испытаниях успех наступит:
1) ровно 75 раз;
2) ровно 85 раз.
94
4.14. Производство дает 1 % брака. Какова вероятность того, что из взя-
тых на исследование 1 100 изделий бракованных изделий будет не больше 17?
4.15. Вероятность появления некоторого события в каждом из независи-
мых испытаний равна 0,7. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что рассматриваемое событие появится не
менее 75 раз?
4.16. Как показывает практика, при контроле бракуется 10 % изделий
определенного вида. Для проверки изделий на стандартность отобрано
625 штук. Найти вероятность того, что среди отобранных будет не менее 550 и
не более 575 стандартных изделий.
4.17. Производится 600 выстрелов. Вероятность промаха при одном вы-
стреле равна 0,015. Найти вероятность того, что число промахов будет не
меньше 7 и не больше 9.
4.18. В поселке 1 900 жителей. Какова вероятность того, что в году есть
4 дня, когда ни один житель города не отмечает свой день рождения?
4.19. Исследуется работа фирмы, заключающей договор страхования
жизни. За определенный период времени Т застраховано 10 000 клиентов одного возраста и из одной социальной группы. По статистическим данным прошлых лет известно, что вероятность смерти клиента в течение года равна 0,007.
Каждый клиент 1 января платит страховой взнос в размере 10 евро. Если в течение года наступит смерть клиента, то фирма обязана выплатить его родственникам 1 000 евро. Чему равна вероятность того, что:
1) фирма разорится;
2) фирма получит не менее 40 000 евро прибыли?
4.20. Продукция кондитерской фабрики имени Н. К. Крупской бывает
высшего и первого сортов, при этом 80 % — высшего сорта. Какова вероятность того, что среди 1 000 изделий этой фабрики высшего сорта будет не менее 653 и не более 850 изделий?
4.21. Предположим, что вероятность встретить на улице незнакомого го-
рода своего приятеля равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1 200 случайных прохожих вы встретите не более трех своих приятелей.
4.22. Бракованные изделия составляют 2 % всей продукции некоторой
фирмы. Изготовленные изделия упаковывают в ящики по 100 штук. Какова вероятность того, что:
1) в ящике не окажется бракованных изделий;
2) в ящике окажется не больше 3 бракованных изделий?
4.23. 80 % изделий, поступающих в магазин со склада, высшего сорта.
Какое число изделий придется наугад взять со склада для контрольной проверки, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать, что в магазине имеется изделий высшего сорта от 75 % до 85 %?
95
РАЗДЕЛ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В горячку времени стремглав!
В разгар случайностей с разбегу!
Иоганн Вольфганг Гёте
Понятия случайного события и его вероятности, выработанные на уровне
интуитивных представлений на протяжении XVI–XVII столетий, сразу же стали действенной силой при изучении жизненно важных процессов. С течением
времени значение понятия случайного события стремительно возрастало. Одновременно выяснилось, что даже для простейших ситуаций одного этого понятия недостаточно. Действительно, в демографии, практике страхования, при
рассмотрении разного рода модельных задач неизбежно встречались не только
случайные события, но и некоторые величины, значения которых менялись
случайным образом.
Даже в теоретических вопросах самой теории вероятностей еще на
начальных стадиях ее развития появилась необходимость рассмотрения не случайных событий, а некоторых величин, значения которых появлялись с некоторыми вероятностями. Например, в задачах, связанных с испытаниями Бернулли, уже можно было бы рассмотреть величину, равную числу появлений конкретного события при заданном числе испытаний.
Так постепенно в науку входило новое понятие — понятие случайной величины, которое самим ходом развития знаний становилось необходимым.
96
ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА,
ЕЕ ВИДЫ И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5.1. Понятия случайной величины
и закона распределения вероятностей
В различных научных исследованиях, да и просто в жизни часто приходится сталкиваться с величинами, которые принимают различные значения в
зависимости от случайных обстоятельств. Например, количество звонков, поступивших на телефонную станцию в течение ближайшего часа, величина
спроса на некий товар в течение определенного промежутка времени, число очков, выпавших при одном броске игрального кубика, и т. д. При попытке хотя
бы приближенно оценить значения этих величин или подобных им можно
столкнуться с некоторыми, а иногда и достаточно большими трудностями. Величины, значения которых зависят от некоторых случайностей, естественно
назвать случайными.
Случайной величиной называется величина, которая в результате испы-
тания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.
Студент идет сдавать экзамен. Оценка, которую он получит, — случайная
величина, множество возможных значений которой — числа 2, 3, 4, 5.
Случайные величины будем обозначать большими буквами латинского
алфавита: Х, У, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими маленькими буквами с индексами. Например, для случайной величины Х ее возможные значения — х1, х2, ….
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Х — число очков, набранных при одном выстреле в мишень.
Пример 2. Х — число очков, выпавших при одном броске игрального кубика.
Пример 3. Х — число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную
станцию в течение определенного промежутка времени.
Пример 4. Х — время работы компьютера до первого сбоя.
Пример 5. Х — расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из некоторого орудия.
Пример 6. Х — вес яблока, сорванного со случайно выбранной яблони.
В первых трех примерах случайная величина Х может принимать отдельные изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Так, для
случайной величины Х из примера 2 ее возможными значениями будут числа 1,
2, 3, 4, 5, 6. Для случайной величины из примера 3 возможными значениями
97
будут числа 1, 2, 3, 4, … и т. д. Таким образом, значения этих величин можно
перечислить или записать в виде некоторой последовательности чисел. Такие
величины будем называть дискретными.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина,
множество возможных значений которой конечно или счетно, или иначе, представимо в виде конечной или бесконечной последовательности чисел.
Заметим, что значения дискретной случайной величины отделены друг от
друга промежутками, в которых нет других возможных ее значений, поэтому
дискретную случайную величину иногда называют прерывной.
В примерах 4, 5 и 6 значения случайной величины не отделены друг от
друга, а заполняют некоторый интервал. Границы этого интервала могут быть
приблизительно найдены из смыслового содержания величины (пример 6) или
не определены (пример 4).
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина,
множество значений которой сплошь заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток вещественной оси.
Очевидно, что для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, одно значение нельзя отделить от другого некоторым промежутком.
Отметим, что данное определение непрерывной случайной величины является не совсем точным. Более строгое определение будет дано позже, после
рассмотрения понятия так называемой функции распределения.
Случайная величина непосредственно связана со случайными событиями.
Появление тех или иных значений случайной величины можно рассматривать
как случайные события одного испытания. Предположим, что производится некоторое испытание, в результате которого может произойти случайное событие. Если пространство элементарных событий этого испытания (или полная
группа событий) состоит из событий, которые имеют числовое значение, то это
пространство можно рассматривать как множество значений некоторой случайной величины, связанной с данным испытанием.
Например, испытание — один бросок игрального кубика. Пространство
элементарных событий состоит из шести событий, определяемых числами, —
один, два, три, четыре, пять и шесть очков. Тогда, очевидно, это пространство
будет являться множеством значений для случайной величины Х, определяемой
как число очков, выпавших при одном броске игрального кубика.
Если элементарные события не связаны с каким-либо числом, то можно
искусственно дополнить эту связь. Например, испытание состоит в одном броске монеты. Пусть одна сторона монеты, к примеру, герб, будет соответствовать
числу ноль, а решка — числу один. Тогда пространство элементарных событий
98
данного испытания: выпал герб, т. е. число 0, и выпала решка, т. е. число 1, —
будет являться множеством значений случайной величины Х, равной числу, которое соответствует стороне монеты, выпавшей при одном броске.
Так как разные значения случайной величины можно рассматривать как
события, а, как известно, случайные события имеют вероятность, то и значения
случайной величины имеют также свои вероятности. В этом и проявляется
«случайный» характер случайной величины. Например, случайная величина Х,
равная числу очков, выпавших при одном броске игрального кубика, принима-
ет значение, равное 1 (выпало одно очко) с вероятностью
1
6
, а значение, равное
9 (невозможное событие), — с вероятностью, равной 0. Таким образом, для
полного определения случайной величины необходимо указать какое-либо правило нахождения вероятностей значений этой случайной величины, т. е. задать
ее закон распределения.
Законом распределения случайной величины называется любое правило,
по которому можно находить вероятности произвольных событий, связанных
со случайной величиной.
Это правило может быть задано в виде таблицы, формулы, графика,
функции и т. д. Чаще всего это бывает формула нахождения вероятности того,
что случайная величина примет какое-то значение или что случайная величина
попадет на какой-нибудь интервал.
Существуют стандартные формы задания закона распределения случайной величины, причем эти формы, кроме одной, являются различными для дискретных и непрерывных случайных величин. Наиболее простые формы закона
распределения имеет дискретная случайная величина.
5.2. Формы законов распределения
дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным набором ее
возможных значений х1, х2, …, хn. В результате некоторого испытания случайная величина Х примет одно из этих значений. Иначе говоря, произойдет одно
из следующих несовместных событий, образующих полную группу:
Х = х1, Х = х2, …, Х = хn.
Обозначим вероятности этих событий через:
р
1
=Р(Х=х1), р2=Р(Х=х2), …, рn=Р(Х=хn).
99
Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому сумма ве-
роятностей этих событий или, иначе, сумма вероятностей появления всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е.:
11
( ) 1
nn
ii
ii
P X x p
==
= = =
. (5.1)
Таким образом, каждому возможному значению случайной величины хк
поставлено в соответствие число рк — вероятность появления этого значения,
т. е. получена зависимость между возможными значениями случайной величины и вероятностями появления этих значений. Эта зависимость определяет основные формы закона распределения дискретной случайной величины. Она
может быть представлена таблично, графически и аналитически. Простейшее
представление такой зависимости в виде таблицы называется рядом распределения.
Рядом распределения вероятностей дискретной случайной величины
называется ее закон распределения, записанный в виде таблицы, в первой строке которой приведены все возможные значения случайной величины (обычно в
порядке возрастания), а во второй строке — соответствующие этим значениям
вероятности.
Ряд распределения для дискретной случайной величины с конечным
множеством значений имеет вид:
Х
х1 х
2
…
х
n
Р
р1 р
2
…
р
n
Для значений второй строки данной таблицы должна быть выполнена
формула (5.1). Таким образом, само название этой таблицы — ряд распределения вероятностей — говорит о том, что единица как бы распределена между
всеми значениями случайной величины согласно имеющимся вероятностям.
Если множество значений дискретной случайной величины бесконечно
(счетно): х1, х2, …, хn, …, то ряд распределения будет представлен бесконечной
таблицей, а формула (5.1) примет вид:
1
1
i
i
p
=
=
.
100
В дальнейшем в основном будут рассматриваться дискретные случайные
величины с конечным множеством значений.
Ряд распределения является табличной формой задания закона распределения. Однако он может быть задан, как и функция в математическом анализе,
графическим способом. Если по оси абсцисс отложить возможные значения
случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений, то, соединив точки (хк, рк) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая является графической формой закона распределения дискретной
случайной величины и называется многоугольником распределения вероятно-
стей. Иногда многоугольником распределения вероятностей называют, по аналогии с геометрическими фигурами, саму фигуру (многоугольник), расположенную под ломаной линией.
Покажем на конкретном примере, как, используя формулы первой главы,
найти закон распределения случайной величины.
Пример 5.1. В денежной лотерее разыгрывается 10 выигрышей в 50 руб. и
20 выигрышей по 10 руб. при общем числе билетов 100. Найти закон распределения в виде ряда распределения и многоугольника распределения выигрыша Х
для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Возможные значения для случайной величины Х — это 0 руб.,
10 руб. и 50 руб. Вероятности этих значений могут быть найдены по классической формуле, т. е.:
3
2
1 2 3
10
( 50) 0,1;
100
20
( 10) 0,2;
100
( 0) 1 ( ) 1 0,3 0,7
p P X
p P X
p P X p p
= = = =
= = = =
= = = − + = − =
Таким образом, ряд распределения имеет вид:
Х
0 10
50
Р
0,7 0,2 0,1
Построим многоугольник распределения (рис. 5.1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]