Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
101
Рис. 5.1
В данном примере многоугольник распределения характеризует невыпуклое множество.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан
и аналитически, в виде функции
( ), 1,2,...,
kk
p x k n
==
, позволяющей нахо-
дить вероятности какого-либо значения по определенной формуле, зная само
это значение случайной величины. В зависимости от вида этой функции некоторые законы распределения получили свое название. Рассмотрению конкретных законов распределения посвящена гл. 7.
Ряд распределения для непрерывной случайной величины построен быть
не может, так как невозможно даже записать первую строку этого ряда, т. е. перечислить все возможные значения случайной величины. Более того, в дальнейшем будет показано, что вероятность отдельного значения непрерывной
случайной величины просто равна нулю. Однако, несмотря на нулевые вероятности отдельных значений случайной величины, нахождение ее возможных
значений в различных, иногда очень маленьких, интервалах обладает различными и отличными от нуля вероятностями. Поэтому закон распределения непрерывной случайной величины задают, используя не отдельные значения этой
величины, а интервалы, в которые могут попадать эти значения. С помощью
интервалов может быть задано и распределение дискретной случайной величины. Таким образом, существует особая форма закона распределения, которая
относится и к дискретной, и к непрерывной случайным величинам, т. е. является универсальным законом распределения. Этой формой является функция распределения.
0,2
0,1
0,7
50
10 0 х
Р
102
5.3. Функция распределения случайной величины
и ее свойства
Пусть Х — некоторая случайная величина. Зафиксируем произвольное
действительное число х. Под выражением «Х < х» будем понимать случайное
событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем зафиксированное число х, т. е. значения случайной величины попадут
в промежуток (-∞; х). Как известно, каждое случайное событие имеет свою вероятность, поэтому существует понятие вероятности и для рассматриваемого
события. Каждому значению х соответствует только один такой промежуток, а
каждому такому промежутку — только одно событие «-∞ < X < x» со своей вероятностью. Очевидно, что для каждой конкретной случайной величины эта
вероятность будет зависеть от числа х, т. е. будет являться функцией переменной х. Эту функцию и назовем функцией распределения.
Функцией распределения F(х) случайной величины Х называется вероят-
ность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем х, т. е.:
( ) ( )F x P X x=
. (5.2)
Функцию распределения иногда называют интегральной функцией. Такое название будет понятно из дальнейшего изложения.
Функция распределения, заданная формулой (5.2), имеет огромное значение для всей теории вероятностей. В левой части этой формулы записана функция действительного аргумента, т. е. функция, которую изучают в классическом математическом анализе. В правой части формулы — вероятность случайного события, т. е. величина, изучаемая в теории вероятностей. Таким
образом, формула (5.2) связывает два, казалось бы, совершенно разных раздела
высшей математики: математический анализ, где все строго и четко определено, и теорию вероятностей, где многое зависит от случайностей различного рода. Кроме этого, эта формула дает возможность при исследовании разных теоретических и практических вопросов теории вероятностей использовать очень
хорошо разработанный аппарат математического анализа.
Можно дать геометрическую интерпретацию функции распределения.
Каждое значение этой функции — это вероятность того, что значение случайной величины Х попадет на оси левее заданной точки х (рис. 5.2).
103
Рис. 5.2
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения лежат между нулем и единицей, т. е.:
0 ( ) 1Fx
.
Это свойство непосредственно следует из формулы (5.2) и свойства вероятности случайного события.
2. Функция F(x) является неубывающей функцией, т. е. для любых х1 < х2
выполнено неравенство F(x1) ≤ F(x2).
Доказательство. Найдем F(x2):
2 2 1 1 2 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x P X x P X x P x X x F x P x X x= = + = +
.
Второе слагаемое как вероятность неотрицательно, поэтому F(x2) ≥ F(x1).
Свойство доказано.
3. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а, b)
равна разности между значениями функции распределения в правом и левом
концах рассматриваемого полуинтервала, т. е.:
( ) ( ) ( )P a X b F b F a = −
. (5.3)
Доказательство следует из доказательства свойства 2. В нем была полу-
чена формула:
2 1 1 2
( ) ( ) ( )F x F x P x X x= +
.
Положив х1 = а и х2 = b, получим
( ) ( ) ( )F b F a P a X b= +
. Перенеся зна-
чение F(a) в другую часть равенства, получим формулу (5.3).
Свойство доказано.
4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интер-
валу (а, b), то выполнены соотношения: F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b.
Доказательство. Пусть х1 ≤ а. Тогда событие Х < x1 невозможно, так как
по условию нет значений случайной величины, меньших х1. Следовательно, вероятность этого события равна нулю.
Х < х
104
Пусть теперь х2 ≥ b. Тогда событие Х < x2 достоверно, так как по условию
все значения случайной величины меньше х2. Следовательно, вероятность этого
события равна 1.
Свойство доказано.
Из последнего свойства вытекает утверждение.
Утверждение. Для функции распределения непрерывной случайной величины справедливы следующие предельные соотношения:
( ) lim ( ) 0; ( ) lim ( ) 1
xx
F F x F F x
→− →
− = = = =
.
5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-
нибудь одно конкретное значение, равна нулю, т. е. для непрерывной случайной величины Х выполнено Р(Х = а) = 0.
Доказательство. Положим в формуле (5.3): b = а + h. Тогда:
( ) ( ) ( )P a X a h F a h F a + = + −
.
Перейдя в последнем равенстве к пределу при h→0, получим:
( ) ( ) ( ) 0P X a F a F a= = − =
.
Свойство доказано.
Итак, для непрерывной случайной величины не имеет смысла говорить о
вероятности ее отдельного значения (она все равно равна нулю), а имеет смысл
рассматривать вероятность попадания ее значений в некий интервал. Этот факт
полностью согласуется с решением практических задач. Например, при изготовлении детали рабочий не стремится к тому, чтобы определенный размер был
абсолютно точен (практически это невозможно), но он следит за тем, чтобы
размер не вышел за пределы допуска.
Используя свойство 5 для непрерывной случайной величины, можно доказать справедливость следующих формул:
( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b = = =
.
Докажем, например, первую. Для этого применим теорему сложения вероятностей, получим:
( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )P a X b P X a P a X b P a X b P a X b = = + = + =
.
Таким образом, формула (5.3) для непрерывной случайной величины может быть записана в следующем виде:
105
( ) ( ) ( )P a X b F b F a = −
. (5.4)
Рассмотрим более конкретно построение функции распределения для
дискретной случайной величины.
5.3.1. Функция распределения
дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина имеет закон распределения, записанный в виде ряда распределения:
Х
х1 х
2
…
х
n
Р
р1 р
2
…
р
n
Функция распределения данной случайной величины может быть вычислена по формуле:
( ) ( ) ( )
kk
kk
x x x x
F x P X x P X x p
= = = =
, (5.5)
где неравенство х
k
< х под знаком суммы означает, что суммирование ведется
по всем хk, значение которых меньше х.
Из формулы (5.5) видно, что функция F(x) представляет собой ступенчатую неубывающую функцию, растущую только в точках хk скачками, равными
по величине рk; k=1, 2, …, n; график функции распределения будет иметь вид,
представленный на рис. 5.3.
Рис. 5.3
Пример 5.2. Построить функцию распределения случайной величины Х,
заданной следующим законом:
F(x)
1 p1+p2
p1 хn х3 х2 х1 х
106
и найти следующую вероятность
(2 4,5)PX
.
Решение. Если:
х ≤ 1, то F(x) = 0;
1 < х ≤ 2, то F(x) = Р(Х = 1) = 0,2;
2 < х ≤ 3, то F(x) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,2 + 0,3 = 0,5;
3 < х ≤ 4, то F(x) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) = 0,2 + 0,3 + 0,2= 0,7;
4 < х ≤ 5, то F(x) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,2 + 0,3 +
+ 0,2 + 0,2 = 0,9;
х > 5, то F(x) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4) + Р(Х = 5) = 0,2+
+ 0,3 + 0,2 + 0,2 + 0,1 = 1.
Построим график, представленный на рис. 5.4.
Рис. 5.4
Найдем
(2 4,5)PX
, используя формулу 5.3, получим
(2 4,5) (4,5) (2) 0,9 0,2 0,7P X F F = − = − =
.
Х 1 2 3 4 5 Р 0,2 0,3 0,2
0,2
0,1
0,5
0,2
0,7
1
0,9
F(х)
5 4 3 2 1 0 х
107
5.3.2. Функция распределения
непрерывной случайной величины
Рассмотрим график функции распределения дискретной случайной величины (рис. 5.3). Будем увеличивать число значений этой величины, тогда, очевидно, число ступенек будет также увеличиваться, их длина — уменьшаться и
также будут уменьшаться расстояния между ступеньками.
При неограниченном увеличении числа значений ступенчатая фигура будет приближаться к некой плавной непрерывной линии (рис. 5.5). В пределе в
идеальном варианте такого положения появляется функция F(x), которая является непрерывной.
Рис. 5.5
Теперь можно уточнить определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек, где она терпит излом.
Пример5.3. Случайная величина Х задана функцией распределения:
0 при 1
1
( ) при 1 2
33
1 при 2
x
x
F x x
x
−
= + −
.
Построить график этой функции и найти вероятность того, что в результате
испытания случайная величина примет значение, попадающее в интервал (0, 1).
F(x)
1 0 х
108
Решение. Отметим на оси абсцисс точки перехода одного вида функции в
другой, а именно: х = −1 и х = 2. Тогда вся вещественная ось разобьется на три
промежутка, для каждого из которых функция распределения имеет свой вид.
Общий график функции представлен на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Найдем Р(0 < X < 1). Применим формулу (5.3), получим:
1 1 0 1 2 1 1
(0 1) (1) (0)
3 3 3 3 3 3 3
P X F F
= − = + − + = − =
.
Функция распределения является неубывающей и непрерывной слева
(или просто непрерывной) функцией. Кроме этого, справедливы равенства:
F(–∞) = 0 и F(+∞) = 1.Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
Необходимо отметить, что каждая случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, но не наоборот. Можно указать сколько
угодно различных случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения.
Итак, функция распределения является законом распределения для любой
случайной величины. Однако так же, как для дискретной величины существует
своя форма закона распределения — ряд распределения, так и для непрерывной
случайной величины существует своя особая форма закона распределения —
функция плотности.
−1 2 F(x)
1
0
х
109
5.4. Плотность распределения вероятностей и ее свойства
Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной
величины Х называется первая производная от ее функции распределения, т. е.:
( ) ( )f x F x
=
. (5.6)
Из формулы (5.6) следует, что функция распределения, в свою очередь,
является первообразной от функции плотности. Именно поэтому функцию
плотности иногда называют дифференциальной функцией распределения, а
функцию распределения, как было отмечено ранее, — интегральной.
Функция плотности является в некотором смысле более «удобной» функцией для характеристики распределения непрерывной случайной величины. По
функции распределения трудно судить о характере распределения случайной
величины в небольшой окрестности той или иной точки вещественной оси. Эта
задача более успешно может быть решена с помощью функции плотности.
К понятию функции плотности можно прийти через механическую интерпретацию. Для этого вначале вспомним дискретную случайную величину и
ее ряд распределения:
Х
х1 х
2
…
х
n
Р
р1 р
2
…
р
n
Так как р1 + р2 + … + рn = 1, то можно, например, предположить, что некая
масса в один килограмм распределена между точками х1, х2, …, хn в количествах, равных соответствующим вероятностям р1, р2, …, рn.
Пусть теперь общая масса не сосредоточена в отдельных точках х1, х2, …,
х
n
, а как-то непрерывно «размазана» по вещественной оси в общем случае с не-
равномерной плотностью.
Рассмотрим некоторый участок [x, x + Δх) вещественной оси. Вероятность
Р(х ≤ Х < x + Δх) попадания случайной величины на данный участок может интер-
претироваться как количество общей массы, приходящейся на этот участок. Средняя плотность — это отношение рассмотренной массы к длине участка, т. е.:
()P x X x x
x
+
.
110
В связи с тем, что вероятность попадания значений случайной величины
на некоторый участок равна приращению функции распределения на этом
участке, то средняя плотность будет равна:
( ) ( ) ( )P x X x x F x x F x
xx
+ + −
=
.
Для определения плотности в какой-то точке х необходимо в правой части последнего равенства перейти к пределу при Δх→0, т. е. предположить, что
длина рассматриваемого участка стремится к нулю, получим:
0
( ) ( )
lim ( )
x
F x x F x
Fx
x
→
+ −
=
.
Последнее равенство вытекает из определения производной. Эта производная существует, так как в определении непрерывной случайной величины
было введено условие дифференцируемости функции распределения.
Еще раз подчеркнем, что функция плотности существует только для непрерывных случайных величин и является одной из наиболее часто применяемых на практике форм закона распределения вероятностей этих величин.
Если непрерывная случайная величина Х имеет функцию плотности (или
просто плотность) f(х), то говорят, что эта величина имеет распределение (или
просто распределена) с плотностью f(х).
График функции плотности называется кривой распределения.
Из формулы (5.6) ясно, что функция распределения, в свою очередь, является первообразной для функции плотности. Следовательно, эти функции связывает
формула Ньютона — Лейбница нахождения определенного интеграла:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a=−
.
Так как правая часть этой формулы по свойству функции распределения
равна вероятности попадания случайной величины на интервал (a, b), то имеет
место следующая формула:
( ) ( ) ( ) ( ).
b
a
f x dx F b F a P a X b= − =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]