Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
71
1 2 3 4
A A A A
, состоящее в том, что все четыре стрелка промахнутся. Так как
вероятности промаха для каждого стрелка равны,
1
( ) 1 0,7 0,3PA = − =
;
2
( ) 1 0,6 0,4PA = − =
;
3
( ) 1 0,8 0,2PA = − =
;
4
( ) 1 0,4 0,6PA = − =
,
то
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) 1 ( ) 1 0,3 0,4 0,2 0,6 0,9856P A A A A P A A A A+ + + = − = − =
.
Обобщая все вышеизложенное, можно сформулировать следующее правило: если требуется найти вероятность суммы конечного числа совместных
событий, при этом известно, что противоположное к сумме событие состоит из
меньшего числа исходов, то лучше вначале найти вероятность противоположного события, а затем прямого. Один из признаков, по которому можно почти
безошибочно заключить, что стоит перейти к противоположному событию, —
это если в вопросе задачи есть слово «хотя бы».
Основные теоремы теории вероятностей существенно используются при
выводе очень важных утверждений, носящих названия формулы полной вероятности и формул Байеса.
3.4. Формула полной вероятности
Рассмотрим следующую задачу.
Пример 3.9. В трех одинаковых ящиках находятся: в первом — 3 белых и
2 черных шара, во втором — 6 белых и 4 черных шара, в третьем — 2 белых и
3 черных шара. Из случайно выбранного ящика наугад вынимается шар. Какова
вероятность того, что этот шар белый?
Решение. Пусть событие А означает, что вынутый шар белый. Нетрудно
видеть, что вероятность этого события зависит от того, из какого ящика вынимается шар, так как количество белых и черных шаров в ящиках различно. В
связи с этим введем в рассмотрение следующие предположения:
Н
1
— шар вынут из первого ящика;
Н
2
— шар вынут из второго ящика;
Н
3
— шар вынут из третьего ящика.
72
Так как ящиков только три, то ясно, что события Н1, Н2 и Н3 образуют
полную группу (события несовместны, так как выбирается один шар, и в результате испытания — выбор одного шара, одно из этих событий обязательно
произойдет). Кроме этого, эти события равновероятны, так как возможность
выбора ящика с последующим взятием из него шара одинакова для всех трех
ящиков. Таким образом,
1 2 3
1
( ) ( ) ( )
3
P H P H P H= = =
.
Событие А по условию задачи должно произойти с одним из событий Н1,
Н
2
или Н3 (шар должен быть вынут либо из первого, либо из второго, либо из
третьего ящика). Используя алгебру событий, можно событие А записать в следующем виде:
1 2 3
A H A H A H A= + +
.
Последнее равенство по сути означает, что событие А произойдет тогда,
когда белый шар будет вынут из первого ящика (Н1А), или белый шар будет
вынут из второго ящика (Н2А), или белый шар будет вынут из третьего ящика
(Н3А). Найдем вероятность события А, применяя теорему сложения вероятностей, получим:
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P H A H A H A P H A P H A P H A= + + = + +
.
Последнее равенство следует из очевидной несовместности событий Н1А,
Н
2
А и Н3А. Применим далее теорему умножения вероятностей, тогда
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P A P H P A H P H P A H P H P A H= + +
.
Так как событие А/Н1 означает, что выбран белый шар при условии, что
его выбирают из первого ящика, то вероятность этого события по классической
формуле равна
1
3
( / )
5
P A H =
. Аналогично можно найти
2
6
( / )
10
P A H =
и
3
2
( / )
5
P A H =
. Окончательно получаем
1 3 1 6 1 2 8
()
3 5 3 10 3 5 15
PA= + + =
.
73
В рассмотренном примере по существу приведен вывод так называемой
формулы полной вероятности. Дадим математическую формулировку и доказательство этой формулы.
Теорема 3.7. Пусть Н1, Н2, …, Нn — полная группа событий для некоторого испытания и событие А может произойти вместе с одним из событий полной группы. Тогда справедлива формула
1 1 2 2
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )
nn
P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + +
. (3.12)
Доказательство. Напомним, что по определению полной группы собы-
тия Н1, Н2, …, Нn являются несовместными.
По условию теоремы событие А происходит с одним из событий полной
группы, следовательно,
1 2 1 2
( ... ) ...
nn
A H H H A H A H A H A= + + + = + + +
.
Последнее равенство легко понять из геометрической интерпретации,
представленной на рис. 3.2. Этот рисунок позволяет понять также тот факт, что
из несовместности событий Н1, Н2, …, Нn следует и несовместность событий
Н
1
А, Н2 А, …, Нn А.
Н1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Н2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .А . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Н3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Н
4
Рис. 3.2
Применяя теорему сложения несовместных событий, а затем теорему
умножения вероятностей, получим:
1 2 1 2
1 1 2 2
( ) ( ... ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )
nn
nn
P A P H A H A H A P H A P H A P H A
P H P A H P H P A H P H P A H
= + + + = + + + =
= + + +
.
Теорема доказана.
74
Формула (3.12) носит название формулы полной вероятности, а события Н1, Н2, …, Нn называются гипотезами.
Формула полной вероятности применяется в тех случаях, когда само испытание как бы распадается на два этапа: на первом этапе определяются возможные условия опыта, т. е. гипотезы, на втором происходит сам опыт одновременно с какой-то гипотезой.
Пример 3.10. Для приема зачета преподаватель подготовил 50 задач:
20 задач по дифференциальному и 30 задач по интегральному исчислению. Для
получения зачета студент должен решить первую попавшуюся ему задачу. Какова вероятность для студента получить зачет, если он знает решение 18 задач
по дифференциальному и 15 по интегральному исчислению?
Решение. Пусть событие А означает, что студент получит зачет, т. е. решит
предложенную ему задачу. Задача может быть по одной из двух тем, поэтому гипотезами будут следующие события: Н1 — получена задача по дифференциальному исчислению; Н2 — получена задача по интегральному исчислению.
Так как по условию задачи имеется 20 задач по дифференциальному и
30 задач по интегральному исчислению, то:
1
20
( ) 0,4
50
PH ==
и
2
30
( ) 0,6
50
PH ==
.
Событие А/Н1 означает, что студент решит задачу, если эта задача по
дифференциальному исчислению, следовательно,
1
18
( / ) 0,9
20
P A H ==
.
Событие А/Н2 означает, что студент решит задачу, если эта задача по интегральному исчислению, следовательно,
2
15
( / ) 0,5
30
P A H ==
.
По формуле (3.12) получим:
( ) 0,4 0,9 0,6 0,5 0,36 0,3 0,66PA= + = + =
.
75
3.5. Формулы Байеса
Обратимся к примеру 3.9 и несколько изменим его условие.
Пример 3.11. В условиях примера 3.9 предположим, что шар вынут и из-
вестно, что он оказался белым, т. е. событие А произошло. Какова вероятность
того, что шар был вынут из первого ящика?
Таким образом, требуется найти вероятность того, что шар был вынут из
первого ящика, если он оказался белым, т. е. вероятность Р(Н1/А). Необходимо
различать две вероятности: Р(Н1) и Р(Н1/А). Уточним их смысл.
Р(Н1) — вероятность того, что шар будет вынут из первого ящика, т. е.
вероятность события Н1, вычисленная до испытания.
Р(Н1/А) — вероятность того, что шар был выбран из первого ящика, если
он оказался белым, т. е. вероятность события Н1, вычисленная при условии, что
событие А уже произошло, или, иначе, вероятность, вычисленная после опыта.
Аналогичные вероятности могут быть получены и для остальных гипотез
Н
2
и Н3 в примере и для Нi , i = 1, 2, …, n в общем случае.
Вероятности гипотез Р(Нi), i = 1, 2, …, n называются априорными веро-
ятностями, т. е. «доопытными».
Условные вероятности гипотез Р(Нi/A) , i = 1, 2, …, n называются апо-
стериорными вероятностями, т. е. «послеопытными».
Итак, в результате решения подобного рода задач известные до опыта
априорные вероятности гипотез Р(Нi) подвергаются переоценке после того, как
в результате испытания произошло событие А, т. е. происходит переход к апостериорным вероятностям гипотез Р(Нi/A).
Выведем общую формулу для условных вероятностей гипотез.
Пусть Н1, Н2, …, Нn — полная группа событий (гипотезы) для некоторого
испытания. Событие А может произойти вместе с одним из событий полной
группы, следовательно,
( ) 0PA
. По теореме умножения вероятностей (фор-
мулы (3.8)) получим:
( ) ( ) ( / )
( ) ( ) ( / )
ii
i i i
P A H P A P H A
P A H P H P A H
=
=
, i = 1, 2, …, n.
Левые части последних равенств равны, следовательно, равны и их правые части, т. е.:
( ) ( / ) ( ) ( / )
i i i
P A P H A P H P A H =
.
76
Отсюда, с учетом того, что
( ) 0PA
, получаем:
( ) ( / )
( / ) , 1,2,...,
()
ii
i
P H P A H
P H A i n
PA
==
, (3.13)
или, применяя к знаменателю формулу (3.12):
1
( ) ( / )
( / ) , 1,2,...,
( ) ( / )
ii
i
n
ii
i
P H P A H
P H A i n
P H P A H
=
==
. (3.14)
Формулы (3.13) и (3.14) называются формулами Байеса.
Формулы Байеса позволяют определить для любого события А, вероятность которого не равна нулю, условную вероятность Р(Нi/A), когда известно,
что событие А уже произошло в результате испытания.
Заметим, что имеет место формула:
12
( / ) ( / ) ... ( / ) 1
n
P H A P H A P H A+ + + =
,
так как события, вероятности которых суммируются в левой части предлагаемой формулы, образуют полную группу событий для данного испытания.
Вернемся к примеру 3.11 и найдем вероятность того, что шар был вынут
из первого ящика:
11
1
13
( ) ( / )
3
35
( / )
8
( ) 8
15
P H P A H
P H A
PA
= = =
.
Пример 3.12. 30 % кинескопов, имеющихся на складе, изготовлены на заво-
де № 1, остальные — на заводе № 2. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный на заводе № 1, не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,9; для кинескопов с завода № 2 эта вероятность равна 0,8. Случайным образом для проверки со склада выбрали кинескоп, который выдержал гарантийный
срок. Определить вероятность того, что его изготовили на заводе № 2.
Решение. В условиях примера известно, что опыт произошел, т. е. кине-
скоп выбран со склада и исследована его работа в течение гарантийного срока
службы. Обозначим через А событие, состоящее в том, что кинескоп выдержит
гарантийный срок службы. Гипотезами будут следующие события:
77
Н
1
— кинескоп изготовлен на заводе № 1;
Н
2
— кинескоп изготовлен на заводе № 2.
Так как 30 % кинескопов изготовлены на заводе № 1 и, следовательно,
70 % изготовлены на заводе № 2, то Р(Н1) = 0,3 и Р(Н2) = 0,7.
По условию Р(A/Н1) = 0,9 и Р(A/Н2) = 0,8, следовательно, полная вероятность события А равна:
( ) 0,3 0,9 0,7 0,8 0,27 0,56 0,83PA= + = + =
.
И, наконец,
22
2
( ) ( / )
0,7 0,8
( / ) 0,67
( ) 0,83
P H P A H
P H A
PA
= =
.
Нетрудно сообразить, что
1
( / ) 1 0,67 0,33P H A − =
.
Формулы Байеса находят широкое применение, например, в артиллерийской практике, где производится так называемая пристрелка, имеющая цель
уточнить знания об условиях стрельбы3. На основе результатов нескольких
пробных выстрелов ставится задача о вычислении новых вероятностей гипотез,
связанных с поражением некоторой цели. Однако формулы Байеса широко применяются и при решении многих других, в том числе и экономических, задач.
В общем случае формулы Байеса могут применяться в следующей ситуации. Пусть рассматривается некоторое событие или явление, которое может
происходить при некоторых условиях-предположениях (гипотезах). Предположений несколько, и они взаимно исключают друг друга. Как правило, до опыта
возможность появления тех или иных условий, того или иного предположения
неизвестна. Поэтому вероятность каждого предположения или гипотезы до
опыта определяется интуитивно или на основе каких-то общих рассуждений.
После проведения опыта эти интуитивно найденные вероятности уточняются
на основании результата опыта. Необходимо отметить, что опыт можно повторить и провести дальнейшее уточнение вероятностей гипотез. Так, например,
если решается какая-то экономическая задача с недостаточной информацией, то
по мере расширения информации может быть проведена и корректировка
найденного ранее решения.
3
См.: Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчин. Элементарное введение в теорию вероятностей.
М.: Наука, 1982.
78
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из цен-
трального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг
и кольца соответственно равны 0,1; 0,3 и 0,4. Определить вероятность попадания в мишень.
3.2. В двух группах имеется по 25 студентов. В первой 5 отличников, во
второй — 8. Из каждой группы выбирается по одному студенту. Какова вероятность того, что они отличники?
3.3. Партия из 200 деталей содержит 150 деталей первого сорта, 30 —
второго сорта, 16 — третьего сорта и 4 — четвертого. Какова вероятность того,
что наугад взятая деталь окажется первого или второго сорта?
3.4. Вероятность того, что стрелок, сделав выстрел, выбьет 10 очков, равна
0,2; 9 очков — 0,4; 8 очков — 0,2; 7 очков — 0,16; 6 очков и менее — 0,1. Найти
вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 8 очков.
3.5. Имеется три ящика, содержащих соответственно 9, 12 и 10 стандарт-
ных деталей. Всего же в каждом ящике по 15 деталей. Из каждого ящика случайным образом вынимается по одной детали. Какова вероятность того, что все
три детали стандартные?
3.6. Вероятности вынуть белый шар из двух ящиков равны соответствен-
но 0,8 и 0,6. Из обоих ящиков вынимается по одному шару. Какова вероятность
того, что хотя бы один из вынутых шаров белый?
3.7. В двух коробках лежат по 20 одинаковых по форме карточек, из них
в первой 5 карточек зеленого цвета, во второй — 10. Наугад выбирают из каждой коробки по одной карточке. Какова вероятность того, что обе карточки будут зеленого цвета? Какова вероятность того, что хотя бы одна карточка будет
не зеленого цвета?
3.8. Представитель фирмы при приеме двух партий некоторой продукции
для контроля случайным образом выбирает по одному изделию из каждой партии. Вероятность выбора бракованного изделия из первой партии равна 0,1; из
второй партии — 0,05. Найти вероятность того, что
а) оба выбранных изделия будут без брака;
б) хотя бы одно выбранное изделие будет без брака.
3.9. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в тече-
ние некоторого времени. За это время первый узел оказывается неисправным с
вероятностью 0,1; второй — с вероятностью 0,2; третий — с вероятностью 0,17.
Найти вероятность того, что за время работы хотя бы один узел технического
устройства станет неисправным.
79
3.10. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работа-
ющих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 — для второго. Найти вероят-
ность того, что при аварии сработает
а) хотя бы один сигнализатор;
б) только один сигнализатор.
3.11. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения
брака на первой операции равна 0,02; на второй — 0,03; на третьей — 0,02.
Найти вероятность получения детали без брака после трех операций, если события, состоящие в том, что будет получен брак на отдельных операциях, независимы.
3.12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность отве-
тить на первый вопрос — 0,8; на второй — 0,9; на третий — 0,7. Найти вероятность того, что курсант ответит
а) на все вопросы;
б) только на два вопроса;
в) хотя бы на два вопроса.
3.13. Строительная организация претендует на два заказа от двух крупных
фирм. Эксперты организации считают, что вероятность получения заказа от фирмы А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если организация получит заказ от
фирмы А, то вероятность того, что и фирма В обратится к ним, равна 0,9. Какова
вероятность того, что строительная организация получит оба заказа?
3.14. Вероятность того, что преподаватель, собирающийся приобрести
учебное пособие по эконометрике и экономическому анализу, купит только пособие по эконометрике, равна 0,2, только по экономическому анализу — 0,3.
Вероятность того, что будут куплены оба пособия, равна 0,1. Чему равна вероятность того, что преподаватель хотя бы что-нибудь купит (либо пособие по
эконометрике, либо по экономическому анализу, либо и то, и другое)?
3.15. В общем количестве изделий имеется 2 % брака. В числе годных
изделий имеется 80 % первого сорта. Определить вероятность того, что наудачу
выбранное изделие будет первого сорта.
3.16. В партии из 100 деталей имеются 10 бракованных. Вынимаются
подряд 10 деталей и обратно не возвращаются. Если среди этих десяти деталей
окажется хотя бы одна бракованная, партия не принимается. Какова вероятность для этой партии быть не принятой?
80
3.17. В ящике имеется 60 одинаковых деталей, из них 50 стандартных.
Взяты последовательно две детали. Вычислить вероятности всех возможных
исходов, если:
а) первая деталь возвращается обратно;
б) первая деталь не возвращается обратно.
3.18. Имеется два набора открыток. В первом наборе находится 13 стан-
дартных и 2 нестандартных по размеру открытки; во втором — 8 стандартных и
2 нестандартных открытки. Определить вероятность того, что взятая наудачу
открытка (из случайно выбранного набора) — стандартная.
3.19. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и
4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета
автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна
0,8. Курсант производит расчет на случайно выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
3.20. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела
эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена,
если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
3.21. В группе 30 спортсменов: 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горно-
лыжника. Вероятности выполнить норму мастера спорта равны: для лыжника — 0,9; для конькобежца — 0,8; для горнолыжника — 0,75. Определить веро-
ятность того, что наудачу взятый спортсмен выполнит норму мастера спорта.
3.22. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из пер-
вой урны извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй
урны извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того,
что шар, извлеченный из третьей урны, окажется белым.
3.23. Вероятности того, что во время работы компьютера произойдет
сбой на диске А, диске D, диске С, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя на диске А, диске D, диске С соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
3.24. В тире 5 мишеней № 1 и 15 мишеней № 2. Вероятность попадания в
мишень № 1 — 0,25; в мишень № 2 — 0,1. Для стрельбы выбрана наугад одна
из мишеней и произведен выстрел. Выстрел дал попадание. Определить вероятность того, что стрельба произведена по мишени № 1.
3.25. В группе 30 студентов. 12 из них имеют шансы получить отличную
оценку на экзамене с вероятностью 0,8; 8 человек — с вероятностью 0,6; остальные — с вероятностью 0,4. Взятый наугад из группы студент получил отличную
оценку. Определить вероятность того, что он из третьей части группы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]