Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
161
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, обратно его параметру λ.
По формуле (6.6) найдем дисперсию, получим:
2
2
2
00
11
( ) ( ( )) ( )
x
D X x M X f x dx x dx
+ +
−
= − = − =
.
Для нахождения дисперсии, т. е. соответствующего интеграла, формула
интегрирования по частям применялась дважды.
Среднеквадратическое отклонение равно:
1
( ) ( )X D X
==
.
Итак, для показательного распределения среднеквадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием.
Чтобы найти асимметрию показательного распределения, найдем его третий центральный момент, при этом для нахождения интеграла формулу интегрирования по частям приходится применить трижды.
3
3
3
3
00
12
( ( )) ( )
x
x M X f x dx x dx
+ +
−
= − = − =
,
следовательно, коэффициент асимметрии
3
3
2
()
s
A
X
==
.
Как и следовало ожидать, асимметрия показательного распределения положительна.
Для нахождения эксцесса поступаем аналогично, но находим четвертый
центральный момент, после преобразований получим Еk = 6.
Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной
величины Х, распределенной по показательному закону. Для этого будем использовать функцию распределения и формулу (5.3):
( ) ( ) ( ) 1 (1 )
b a a b
P a X b F b F a
− − − −
= − = − − − = −
.
162
Значения функции
x−
находят по соответствующей таблице.
Показательное распределение имеют, например, величины срока службы
различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих
устройств при выполнении определенных условий. Показательное распределение играет большую роль в теории марковских случайных процессов, теории
массового обслуживания и теории надежности.
Исключительно важное, особое положение среди всех законов распределения непрерывной случайной величины занимает так называемый нормальный
закон распределения.
7.3. Нормальный закон распределения
непрерывной случайной величины
Нормальный закон распределения, или закон Гаусса, играет огромную
роль в теории вероятностей и ее приложениях. Этот закон является при определенных условиях предельным законом распределения для некоторых других
законов.
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
называется нормальным, или законом Гаусса, если функция плотности этой
величины имеет вид:
2
2
()
2
1
()
2
xm
fx
−
−
=
, (7.6)
где т и σ — некоторые постоянные, называемые параметрами нормального
распределения.
Найдем функцию распределения нормального закона. На основании формулы (5.8) получим:
22
22
( ) ( )
22
11
( ) ( )
22
t m t m
x x x
F x f t dt dt dt
−−
−−
− − −
= = =
.
Найдем числовые характеристики нормально распределенной случайной
величины. По определению:
163
2
2
()
2
1
( ) ( )
2
xm
M X x f x dx x dx
−
+ +
−
− −
= =
.
Введем новую переменную по формуле
xm
z
−
=
. Тогда
x z m
=+
, а
dx dz
=
, причем очевидно, что пределы интегрирования остаются теми же.
Итак, получаем:
2 2 2
2 2 2
1
( ) ( )
2 2 2
z z z
m
M X z m dz z dz dz
+ + +
− − −
− − −
= + = +
.
Первый из интегралов в правой части полученного равенства равен нулю
как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй интеграл — это интеграл Пуассона, который равен
2
. Следовательно,
( ) 2
2
m
M X m
= =
.
Таким образом, параметр т нормального распределения равен математическому ожиданию соответствующей случайной величины, т. е. т = М(Х).
Учтем полученный результат при нахождении дисперсии:
2
2
()
2
2
1
( ) ( ( )) ( ) ( )
2
xm
D X x M X f x dx x m dx
−
+ +
−
− −
= − = −
.
Введем новую переменную по формуле
xm
z
−
=
. В результате чего по-
лучим:
22
2
2 2 2
22
1
()
22
zz
D X z dz z dz
+ +
−−
− −
= =
.
Далее, после применения формулы интегрирования по частям, получим:
22
2
22
()
2
zz
D X z dz
+
+
−−
−
−
= − +
.
164
Первое слагаемое в скобках равно нулю, так как
2
2
lim 0
z
z
z
−
→
=
по пра-
вилу Лопиталя, а второе слагаемое — уже известный интеграл Пуассона —
равно
2
.
Отсюда:
2
2
( ) 2
2
DX
= =
.
Итак, дисперсия нормально распределенной случайной величины Х равна
квадрату второго параметра, т. е.
2
()DX
=
, а, следовательно, сам второй пара-
метр определяет среднеквадратическое отклонение. В дальнейшем для нормально распределенной случайной величины будем использовать следующие
обозначения:
()M X m=
и
2
()DX
=
.
Параметры нормального распределения имеют простую геометрическую
интерпретацию. Для того чтобы это понять, исследуем функцию плотности и
построим ее график. Исследование будем проводить по общей схеме из классического математического анализа.
Итак, исследуется функция:
2
2
()
2
1
()
2
xm
fx
−
−
=
.
1. Областью определения функции f(x) является вся вещественная прямая.
2. Функция f(x) может принимать только положительные значения, так
как показательная функция не может принимать отрицательные значения, а
среднеквадратическое отклонение и арифметический корень также отрицательными быть не могут.
3. Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, так как:
2
2
2
2
()
2
()
2
1 1 1 1
lim ( ) lim lim 0 0
2 2 2
xm
xm
x x x
fx
−
−
−
→ → →
= = = =
.
4. Функция f(x) в точке х = т имеет экстремум, равный:
2
2
()
0
2
1 1 1
()
2 2 2
mm
fm
−
−
= = =
.
165
Для доказательства возьмем первую производную и приравняем ее к нулю, получим:
2
2
()
2
2
1 ( )
( ) 0
2
xm
xm
f x x m
−
−
−
= − = =
.
При переходе через точку х = т производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке х = т функция f(x) имеет максимум. Кроме этого,
очевидно, что на промежутке
( )
;m−
функция f(x) возрастает, а на промежутке
( )
;m +
функция f(x) убывает.
5. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = т.
6. График функции f(x) в точках
xm
=
имеет перегиб.
Для доказательства возьмем вторую производную и приравняем ее к нулю, получим:
22
22
( ) ( )
2
22
22
3
1 ( ) 1 ( )
( ) 1 0
22
x m x m
x m x m
f x x m
−−
−−
−−
= − = − = =
.
При переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно,
xm
=
являются точками перегиба.
На основании полученного исследования строим график функции плотности нормального распределения f(x).
Кривая нормального распределения имеет симметричный холмообразный
вид, представленный на рис. 7.5.
Рис. 7.5
166
Выясним, как влияют параметры нормального распределения на график
функции плотности.
При изменении величины т и постоянном значении σ кривая f(x), не изменяя своей формы, будет смещаться вдоль оси абсцисс влево или вправо
(рис. 7.6), в зависимости от того будет уменьшаться или увеличиваться число
т: т1 < т < т2.
Рис. 7.6
При изменении σ и постоянном значении т будет меняться масштаб кривой по обеим осям. При этом график функции будет либо вытягиваться вверх
(при уменьшении σ), либо кривая будет становиться более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс (при увеличении σ), что видно из рис. 7.7.
Рис. 7.7
167
Используя определение центральных моментов для нормального распределения и метод замены переменной при нахождении интегралов, можно получить следующее рекуррентное соотношение:
2
2
( 1)
ss
s
−
=−
.
Данная формула позволяет выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные моменты более низких порядков. Так, например, очевидно, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю,
так как μ1=0. Таким образом, асимметрия, равная центральному моменту, равна
нулю, следовательно, распределение симметрично относительно своего математического ожидания, что и было использовано при построении графика
функции плотности. Выше было найдено значение дисперсии D(X) = σ2. Так как
дисперсия — это второй центральный момент, то μ2 = σ2. Используя рекуррентную
формулу, найдем центральный момент четвертого порядка: μ4 = 3σ2μ2 = 3σ4, а за-
тем эксцесс:
4
4
44
3
3 3 3 3 0
k
E
= − = − = − =
.
В шестой главе было рассмотрено понятие стандартной случайной величины и доказана теорема о том, что математическое ожидание стандартной величины равно 0, а дисперсия — 1. Для нормального распределения тоже можно
указать стандартную случайную величину, т. е. величину, параметры которой
равны т = 0 и σ = 1. Функция плотности стандартной нормально распределенной случайной величины равна:
2
2
1
()
2
x
fx
−
=
. (7.7)
Итак, формула (7.7) определяет функцию плотности распределения случайной величины
Xm
U
−
=
, где Х — случайная величина, распределенная по
нормальному закону с параметрами т и σ. Значения функции
2
2
1
()
2
u
fu
−
=
приведены в прил. 1.
Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины на некоторый интервал (а, b). Но прежде напомним определение некоторой специальной функции.
168
Функцией Лапласа или интегралом вероятностей Ф(х) называется
следующий определенный интеграл:
2
2
0
1
Ф( )
2
x
t
x dt
−
=
. (7.8)
Интеграл в формуле (7.8) не выражается через элементарные функции, но
для нахождения значений функции Ф(х) существует специальная таблица
(прил. 2).
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1. Ф(0) = 0.
2. Ф(–х) = – Ф(х) — функция нечетная.
3. Ф(–∞) = – 0,5; Ф(+∞) = 0,5.
Необходимо отметить, что в некоторых учебниках по теории вероятностей за функцию Лапласа принимают не функцию (7.8), а другую, отличающуюся от нее постоянным множителем.
Перейдем теперь к нахождению вероятности попадания случайной величины на интервал. Используем формулы (5.7) и (7.6), получим:
2
2
()
2
1
( ) ( )
2
xm
bb
aa
P a X b f x dx dx
−
−
= =
.
Сделав в последнем интеграле замену переменной
xm
t
−
=
и применив
формулу (7.8), получим:
2
2 2 2
2
2 2 2 2
()
0
2
2 2 2
0
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1
()
2 2 2
1 1 1
ФФ
2 2 2
b m b m
xm
b
t t t
a m a m
a
a m b m b m a m
t t t t
P a X b dx dt dt dt
b m a m
dt dt dt dt
−−
−
−
− − −
−−
− − − −
− − − −
= = = + =
−−
= − + = − = −
.
Итак, вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х на интервал (а; b) может быть вычислена по формуле:
169
()ФФ
b m a m
P a X b
−−
= −
. (7.9)
С помощью формулы (7.9) можно функцию распределения F(x) выразить
через функцию Лапласа, а именно:
( )
11
( ) ( ) Ф Ф Ф Ф
22
x m x m x m
F x P X x
− − −
= − = − − = − − = +
.
Пример 7.5. Завод изготавливает шарики для подшипников, номинальный
диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен
по нормальному закону с т = 10 мм и σ = 0,4 мм. При контроле бракуются все
шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром d1 = 10,7 мм, и
все, проходящие через круглое отверстие с диаметром d2 = 9,3 мм. Найти процент брака.
Решение. Пусть Х — фактический диаметр. Так как по условию задачи Х
распределена по нормальному закону, то можно применить формулу (7.9) и
найти вероятность того, что шарик не попадет в брак, т. е. диаметр окажется в
допустимых пределах:
( )
10,7 10 9,3 10 0,7 0,7
(9,3 10,7) Ф Ф Ф Ф
0,4 0,4 0,4 0,4
0,7
2Ф 2Ф 1, 75 2 0, 459 0,918
0,4
PX
− − −
= − = − =
= = =
.
При нахождении значения функции Ф (1,75) использовалась таблица значений функции Лапласа (прил. 2). Отсюда вероятность того, что шарик окажется бракованным, равна 1− 0,918 = 0,082. Следовательно, 8,2 % шариков будут
забракованы.
Пример 7.6. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному
закону с параметрами т = 20 и σ= 10. Найти вероятность того, что отклонение
значений этой случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине будет меньше трех.
Решение. По условию задачи необходимо найти следующую вероятность:
( 3) ( 20 3) ( 3 20 3) (17 23)P X m P X P X P X− = − = − − =
.
170
Применяя формулу (7.9), получим:
23 20 17 20
( 20 3) (17 23) Ф Ф 2Ф(0,3) 0,2358
10 10
P X P X
−−
− = = − =
.
Решение примера 7.6 дает следующий частный случай формулы (7.9).
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины
с параметрами т и σ на участок длиной 2h, симметричный относительно центра
рассеивания, вычисляется по формуле:
( ) 2Ф
h
P X m h
− =
. (7.10)
Пример 7.7. Пусть случайная величина Х распределена нормально с параметрами т и σ. Найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не больше, чем 3σ.
Решение. По условию задачи нужно найти вероятность
( 3 ).P X m
−
Применим формулу (7.10), получим:
3
( 3 ) 2Ф 2Ф(3) 2 0,49865 0,9973P X m
− = =
.
Вероятность, полученная при решении примера 7.7, достаточно велика.
Кроме этого, она не зависит от величины математического ожидания. На основе этого результата можно предположить, что почти все значения случайной
величины не отступают от математического ожидания на величину, большую,
чем 3σ. Иначе говоря, вероятность того, что то или иное значение величины Х
не попадает в интервал с границами т ± 3σ, равна 0,0027, т. е. близка к нулю.
Это означает, что лишь в 0,27 % случаев такое может произойти. Такие события практически можно считать невозможными. По сути, здесь было выведено
одно из очень важных правил, относящихся к нормально распределенным случайным величинам, так называемое «правило трех сигм».
Правило трех сигм. Пусть случайная величина Х распределена по нор-
мальному закону. Тогда отклонение этой величины от своего математического
ожидания по абсолютной величине практически не превышает утроенного
среднеквадратического отклонения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]