Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
31
ω
4
— выпало четыре очка;
ω
5
— выпало пять очков;
ω
6
— выпало шесть очков.
При определении этого пространства, конечно, предполагалось, что кубик
в определенном смысле является «идеальной фигурой», т. е. невозможна ситуация, при которой кубик падает на ребро или вершину.
Пространство элементарных событий можно рассматривать как одно случайное составное событие. Тогда для данного испытания оно будет являться
достоверным, так как в этом испытании оно всегда будет происходить.
Вернемся к примеру 2.1 и рассмотрим две пары событий С, Е и С, F. Очевидно, что при одном броске кубика события С, Е могут произойти вместе, а
события С, F произойти одновременно не могут. Рассмотренные пары образуют
совместные и несовместные события.
Два события называются совместными (или совместимыми) в данном
испытании, если появление одного из них не исключает появление другого в
этом испытании, и несовместными (или несовместимыми) в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого в этом испытании.
Понятно, что события С и Е являются совместными, а события С и F
несовместными при одном броске игрального кубика.
Геометрически элементарные случайные события можно изобразить точками на плоскости. Пространство элементарных событий Ω будет соответствовать области на плоскости, состоящей из всех точек, соответствующих элементарным событиям данного испытания.
Любое составное событие также можно представить в виде некоторых
точек области Ω. Тогда произвольные совместные и несовместные события А и
В допускают геометрическую интерпретацию, представленную соответственно
на рис. 2.1 и 2.2.
Ω • • • • • • • • • • Ω • • • • • • • • • •
• • А • • • • • • • • • • А • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • В• • • • • • • • • • В• •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Рис. 2.1 Рис. 2.2
32
Если не фиксировать элементарные события, из которых состоят Ω и события А и В, а рассматривать события как множества, то геометрическую интерпретацию можно упростить. Так, совместные события, приведенные на
рис. 2.1, можно представить иным образом (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Геометрическое представление на рисунке 2.3 называется диаграммой
Эйлера — Венна.
Диаграммами Эйлера — Венна называются плоские фигуры, иллюстри-
рующие пересечение, объединение и разность конечного числа множеств.
Понятие несовместности можно распространить на любое конечное число
случайных событий. Для трех и более событий необходимо различать понятия
попарной несовместности и несовместности в совокупности.
События А1, А2, …, Аn называются попарно несовместными, или просто
несовместными, если любые два из них несовместны.
События А1, А2, …, Аn называются несовместными в совокупности, если
одновременное появление всех этих событий невозможно.
Условие попарной несовместности является в определенном смысле более сильным, чем условие несовместности в совокупности, а именно, если события попарно несовместны, то они и несовместны в совокупности. Обратное
утверждение неверно. На рис. 2.4 приведены три несовместных в совокупности
события, которые не являются попарно несовместными.
Рис. 2.4
Ω А В
33
Нетрудно понять, что все элементарные события в одном испытании будут как несовместны в совокупности, так и попарно несовместны.
В дальнейшем при решении задач и при выводе теорем достаточно часто
будет использоваться понятие полной группы событий.
События А1, А2, …, Аn образуют полную группу событий для данного испытания, если они попарно несовместны и в результате испытания одно из этих
событий обязательно произойдет.
Геометрически это означает, что все множество, соответствующее пространству элементарных событий Ω, события А1, А2, …, Аn делят на n частей, не
имеющих между собой общих точек (см.: рис. 2.5).
Рис. 2.5
Следует отметить, что в некоторых курсах теории вероятностей в определение полной группы не входит условие несовместности событий.
Вернемся к примеру 2.1 и рассмотрим события Е — выпадение четного
числа очков — и F — выпадение нечетного числа очков при одном броске игрального кубика. Ясно, что, во-первых, в результате испытания одно из этих
событий обязательно произойдет, во-вторых, эти события несовместны в данном испытании. Такие события называются противоположными.
Два события называются противоположными в данном испытании, если
в этом испытании они несовместны и одно из них в результате испытания обязательно произойдет.
Событие, противоположное данному событию, будем обозначать той же
буквой с чертой наверху. Очевидно, что в примере 2.1 события Е и F являются
противоположными, следовательно,
EF=
или
FE=
.
Итак, в общем случае противоположное событие Ā дополняет событие А
до полной группы или до пространства элементарных событий, что наглядно
иллюстрирует рис. 2.6.
34
Рис. 2.6
Заметим, что достоверное и невозможное события в одном испытании являются противоположными событиями. Таким образом, если какое-то событие
в данном испытании достоверно, то противоположное ему событие невозможно
и наоборот.
Кроме этого, очевидно, что противоположные события А и Ā образуют
полную группу несовместных для данного испытания событий.
Полная группа несовместных событий и пространство элементарных событий для одного и того же испытания, вообще говоря, разные понятия. Если
любое пространство элементарных событий можно рассматривать и как полную группу событий данного испытания, то обратное утверждение неверно. Не
всякая полная группа несовместных событий будет являться пространством
элементарных событий. Последнее будет выполняться только в том случае, если события, входящие в полную группу, являются элементарными. Отсюда нетрудно понять, что для каждого испытания пространство элементарных событий всегда одно, а полных групп событий (несовместных событий) может быть
несколько.
События называются равновозможными в данном испытании, если по
условию испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность
появления, чем другие.
Между случайными событиями могут существовать некоторые соотношения. Если из того, что произошло событие А, следует, что произошло и событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В, т. е.
АВ
.
Кроме того, если одновременно
АВ
и
ВА
, то события А и В являются
равными, т. е.
АВ=
.
Со случайными событиями можно проводить некоторые арифметические
действия, а именно, существуют понятия суммы, разности и произведения событий.
Ω Ā А
35
2.2. Основные операции над случайными событиями
Пусть имеется несколько случайных событий. Тогда из них можно строить новые случайные события, используя логические связки «ИЛИ» и «И», которым в теории множеств соответствуют операции объединения и пересечения.
В теории вероятностей эти операции называются сложением и умножением, а
результаты этих операций — суммой и произведением событий.
Рассмотрим следующий пример. Пусть проводится стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А означает, что попал в цель
первый стрелок, событие В — попал в цель второй стрелок. Введем в рассмотрение еще два события:
С — попал в цель хотя бы один стрелок;
D — попали в цель оба стрелка.
Нетрудно понять, что событие С наступит тогда, когда произойдет либо
одно из событий А или В, либо оба этих события вместе. Событие D произойдет
только тогда, когда наступят и событие А, и событие В.
Суммой событий А и В называется такое событие С=А+В, которое проис-
ходит тогда, когда произошло по крайней мере одно из событий А или В.
По определению сумма событий состоит из всех возможных исходов событий А и В, поэтому сумма случайных событий геометрически соответствует
объединению множеств, которые определяют события А и В соответственно.
Таким образом, для суммы (или объединения) случайных событий А и В имеет
место геометрическая интерпретация, где суммой С=А+В является заштрихованная часть плоскости, представленной на рис. 2.7.
Рис. 2.7
Особое значение для решения примеров имеет следующий очевидный
факт: сумма двух противоположных событий для данного испытания является
достоверным событием, т. е.:
36
А+Ā = U.
Сумма событий может состоять не из двух, а из большего числа слагаемых. Тогда суммой конечного числа событий А1, А2, …, Аn называется событие, которое происходит тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А1,
А2, …, А
n
.
Произведением событий А и В называется такое событие D = А ‧ В, которое
происходит тогда и только тогда, когда произошли и событие А, и событие В.
Для совместных событий А и В можно дать геометрическую интерпретацию произведения событий как пересечения двух множеств, соответствующих
событиям А и В (рис. 2.8).
Рис. 2.8
Очевидно, что для несовместных событий А и В их произведение есть невоз-
можное событие, которое в теории множеств соответствует пустому множеству.
Произведение противоположных событий также является невозможным
событием, т. е.:
А ‧ Ā = Λ.
Произведение событий так же, как и сумма событий, может состоять не
из двух, а из конечного числа сомножителей.
Произведением конечного числа случайных событий А1, А2, …, Аn называется случайное событие, которое происходит тогда и только тогда, когда
произошли все события А1, А2, …, Аn.
Для решения задач бывает полезно использовать следующие простые соотношения:
А или В <=> А + В;
37
А и В <=> А ‧ В.
Операции сложения и умножения случайных событий обладают следующими свойствами:
1) А + В = В + А — коммутативность сложения;
2) А + (В + С) = (А + В) + С — ассоциативность сложения;
3) А ‧ В = В ‧ А — коммутативность умножения;
4) А ‧ (В ‧ С) = (А ‧ В) ‧ С — ассоциативность умножения;
5) А ‧ (В + С) = А ‧ В + А ‧ С — дистрибутивность.
Используя операции сложения и умножения, можно сложные (составные)
события разложить на менее сложные или простые события, что будет существенно упрощать решение задачи.
Кроме суммы и произведения, существует понятие разности событий.
Разностью событий А и В называется событие А\В, которое происходит
тогда, когда произошло событие А и не произошло событие В.
2.3. Понятие вероятности случайного события
При рассмотрении различных случайных событий можно заметить, что
каждое из них обладает некой характеристикой или мерой, связанной с возможностью своего появления. При этом эта мера для различных событий может
быть разной, а может быть и равной. Для того чтобы уметь сравнивать между
собой случайные события по возможности их появления, естественно определить некоторое число, которое характеризовало бы эту возможность. Это число
и будем называть вероятностью появления случайного события, или просто вероятностью события.
Вероятностью появления случайного события называется численная
мера объективной возможности его появления.
Очевидно, что самая большая вероятность должна быть у достоверного
события, а самая маленькая — у невозможного. Если положить вероятность достоверного события равной 1, а невозможного — 0, то для любого другого случайного события, не являющегося ни достоверным, ни невозможным, вероятность определится как число, заключенное между нулем и единицей.
Конечно, вышеприведенные рассуждения не совсем точно определяют
вероятность случайного события и, самое главное, не дают правило или формулу для нахождения этого числа. На протяжении всей истории развития теории
вероятностей определение вероятности постоянно менялось и уточнялось.
38
Как уже отмечалось, общепринятое сегодня аксиоматическое определение вероятности было разработано советским математиком академиком
А. Н. Колмогоровым. Однако значительно раньше появились статистическое и
классическое определения вероятности.
2.3.1. Статистическое определение вероятности
случайного события
Статистическое определение вероятности события связано с понятием
относительной частоты появления события в некоторой серии испытаний.
Пусть в одинаковых условиях проводят N испытаний, в каждом из которых следят за появлением некоторого события А. Обозначим через МА число
появлений события А в N испытаниях.
Относительной частотой (или частостью) случайного события А в
серии из N испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это
событие произошло, к общему числу произведенных испытаний, т. е.:
*
()
A
M
PA
N
=
. (2.1)
При малом числе испытаний относительная частота события в значительной мере случайна. Однако было замечено одно удивительное свойство относительной частоты. Оказывается, при увеличении числа испытаний относительная
частота событий постепенно теряет свой случайный характер. Случайные обстоятельства, сопровождающие каждое отдельное испытание, в массе испытаний взаимно погашаются, и частота постепенно стабилизируется, приближаясь
с незначительными колебаниями к некоторой постоянной величине. Естественно предположить, что эта постоянная величина и есть не что иное, как вероятность события А.
Вероятностью случайного события А называется число, около которого
устойчиво колеблется относительная частота этого события, наблюдаемая при
неограниченном увеличении числа испытаний.
Данное определение носит название статистического определения ве-
роятности события.
Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с
его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огром-
39
ный опытный материал по проверке этого утверждения. В качестве иллюстрации рассмотрим данные табл. 2.12.
В ней помещены результаты, экспериментально полученные различными
исследователями начиная с XVIII в.
Таблица 2.1
Экспериментатор
Число бросков
монеты N
Относительная частота
выпадения герба Р*
Бюффон
4 040
0,507
Де Морган
4 092
0,5005
Романовский
80 640
0,4923
Пирсон
24 000
0,5005
Феллер
10 000
0,4979
По данным этой таблицы можно сделать вывод о том, что относительные
частоты выпадения герба незначительно отклоняются от числа 0,5, т. е. можно
считать, что вероятность появления герба равна 0,5.
Утверждение о близости относительной частоты появления события и его
вероятности установлено не только опытным путем, но и теоретически законом
больших чисел в форме теоремы Бернулли.
Очевидно, что статистическое определение вероятности события мало
пригодно для решения практических задач. В некоторых испытаниях, пользуясь
элементарными приемами или чисто интуитивно, нетрудно указать конкретное
число, характеризующее вероятность появления того или иного события.
Например, на вопрос, чему равна вероятность выпадения герба при броске монеты, почти все, не задумываясь, отвечают: 50 %, или 0,5. И это верный ответ,
если считать, что монета симметричная, правильной формы, а исход «монета
встает на ребро» можно отбросить как практически невозможный.
Столь же легко можно получить вероятность выпадения четырех очков
при броске игрального кубика —
1
6
, разумеется, с теми же оговорками насчет
симметричности кубика и практической невозможности его остановки на ребре
или вершине.
2
См.: Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятно-
стей. М.: Наука, 1982.
40
Рассмотрение этих примеров подводит нас вплотную к другому определению вероятности события — к классическому определению.
2.3.2. Классическое определение
вероятности случайного события
Классическое определение вероятности, или, иначе, классическая формула нахождения вероятности случайного события, было предложено еще в
XVII в., когда главное применение теория вероятностей находила в азартных
играх. Долгое время эта формула являлась основным определением вероятности события. Однако она обладает существенным недостатком, так как она может быть применена, только если будут выполнены определенные условия
опыта, т. е. будет иметь место так называемая классическая схема. Рассмотрим
ее более подробно.
События А1, А2, …, Аn называются равновозможными или равновероят-
ными, если вероятности этих событий одинаковы, т. е.:
Р(А1) = Р(А2) = … = Р(Аn).
Пусть событие А состоит из одного или нескольких элементарных событий ω из пространства элементарных событий Ω данного испытания.
Случайное событие ωk называется благоприятствующим событию А,
если наступление события ωk влечет за собой наступление события А.
Например, для испытания — одного броска игрального кубика — событие ω1 — выпадение одного очка — является благоприятствующим для события А — выпадения нечетного числа очков.
Пусть пространство Ω состоит из n равновозможных элементарных событий. Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:
()
A
m
PAn=
, (2.2)
где тА — число элементарных событий из Ω, благоприятствующих событию А;
n — число всех равновозможных элементарных событий из Ω.
Формула (2.2) называется классической формулой определения вероят-
ности случайного события (или классическим определением вероятности).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]