Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
11
Одной из самых важных сфер применения теории вероятностей в настоящее время является экономика. Элемент случайности должен постоянно учитываться в рыночных отношениях. Планирование в условиях неопределенности, исследование и прогнозирование экономических явлений невозможны без
построения экономико-математических и эконометрических моделей, без корреляционного и регрессионного анализа и многих других методов, опирающихся на теорию вероятностей.
На теорию вероятностей опирается и математическая статистика, основной метод которой — выборочный метод — широко применяется при исследовании и решении ряда экономических задач.
Многие разделы теории вероятностей за последние десятилетия превратились в отдельные отрасли науки. Возникли такие дисциплины, как теория
случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации,
эконометрика и др.
12
РАЗДЕЛ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
И ИХ ВЕРОЯТНОСТЬ
Случай играет в мире столь большую роль,
что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места
в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе.
Александр Дюма
Для каждой науки существуют некоторые базовые или основные элементы, на которых строятся все остальные понятия, высказывания, утверждения.
Главными элементами теории вероятностей являются случайное событие и
случайная величина. Первому из этих элементов и посвящен данный раздел.
Однако прежде чем перейти к понятию случайного события и вероятности его появления, рассмотрим один из разделов дискретной математики —
комбинаторику.
Задачи комбинаторики в основном связаны с выбором различных предметов и формированием из них определенного вида соединений — перестановок, размещений и сочетаний, называемых элементами комбинаторики. Большинство этих задач решается с помощью двух основных правил комбинаторики — правила сложения и правила умножения.
Элементы и правила комбинаторики, как будет показано в дальнейшем,
успешно применяются при решении ряда задач теории вероятностей.
Практически все задачи, в которых определяется вероятность появления
некоторого случайного события по классической формуле, используют те или
иные формулы комбинаторики.
13
ГЛАВА 1. КОМБИНАТОРИКА,
ЕЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРАВИЛА
1.1. Понятие комбинаторики
В процессе своей деятельности человеку иногда приходится иметь дело с
задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторых действий. Сколько существует способов выбора трех человек
из двадцати? Сколько существует способов составления фрагмента расписания
занятий? Сколько существует способов занятия пятью претендентами пяти вакантных должностей? Задачи такого типа и подобные им называются комби-
наторными, а раздел математики, занимающийся их исследованием и решением, называется комбинаторикой1. Комбинаторика рассматривает всевозможные
соединения или комбинации элементов.
Комбинациями или соединениями назовем группы, составленные из какихлибо предметов или элементов, например, букв, чисел, людей, предприятий и т. д.
Комбинаторика — это раздел математики, изучающий вопросы о том,
сколько комбинаций (соединений) определенного вида можно составить из
данных элементов.
Комбинаторика широко применяется в математической логике, теории
чисел, теории массового обслуживания, теории управляющих систем и вычислительной технике, а также во многих других разделах науки и техники. Особое
место она занимает в теории вероятностей.
При решении ряда вероятностных задач успешно используются два основных правила комбинаторики (правило сложения и правило умножения), а
также применяются ее основные понятия — размещения, перестановки и сочетания — и их число.
Установим прежде всего два главных правила, на которых базируются
многие утверждения комбинаторики.
1.2. Основные правила комбинаторики
Основными правилами комбинаторики являются правило сложения
(суммы) и правило умножения (произведения). Рассмотрим вначале правило
умножения на примере следующей задачи.
1
Название «комбинаторика» происходит от латинского слова combination, что означа-
ет соединение.
14
Пример 1.1. Из города А в город В можно добраться теплоходом, автобусом, самолетом или поездом. Из города В в город С — либо поездом, либо самолетом, либо автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие из А в С?
Решение. Рассмотрим схему:
А
Теплоход
Автобус
Самолет
Поезд
В
Автобус
Самолет
Поезд
С
Из города А в город В можно добраться четырьмя видами транспорта,
т. е. четырьмя способами. Каждый из этих способов может быть использован с
каждым из трех способов переезда из города В в город С. Отсюда легко получить, что существует 4×3=12 различных способов путешествия из А в С.
Соображения, которые были приведены при решении примера 1.1, лежат
в основе следующего правила комбинаторики.
Правило умножения. Предположим, что требуется выполнить одно за
другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе — n2 способами, третье — n3 способами и так до k-го действия, которое
может быть выполнено nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены числом способов, равным n1 ‧ n2 ‧ n3 ‧ … ‧ nk.
Пример 1.2. В первой группе учится 20 человек, во второй — 25 человек.
Для участия в конференции необходимо выбрать по одному человеку из каждой группы. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Из 20 учащихся первой группы может быть выбран любой учащийся, т. е. первое действие может быть совершено 20 способами. Аналогично
из 25 учащихся второй группы также может быть выбран любой человек, т. е.
второе действие может быть выполнено 25 способами. Следовательно, по правилу умножения оба действия — выбор из первой и второй групп по одному
человеку — могут быть осуществлены 20×25=500 способами.
Изменим условие примера 1.2 и посмотрим его решение.
Пример 1.3. В первой группе учится 20 человек, во второй — 25 человек.
Произвольно выбирают одного человека из какой-то группы. Сколькими разными способами это можно сделать?
Решение. Из первой группы человека можно выбрать 20 способами, из
второй группы — 25 способами. Всего способов 20+25=45.
15
При решении примера 1.3 существенным оказывается то, что оба действия (выбор человека из первой и выбор человека из второй групп) не могут
быть выполнены одновременно, поскольку они взаимно исключают друг друга.
В данном случае должно быть выполнено либо первое действие, либо второе, а
не первое, а затем второе. Рассуждения при решении примера 1.3 лежат в основе второго правила комбинаторики.
Правило сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга,
причем одно из них может быть выполнено т1 способами, а другое — т2 способами, то выполнить одно любое из этих действий можно т1 + т2 способами.
Это правило распространяется на любое конечное число действий.
1.3. Основные элементы комбинаторики
Комбинации элементов могут быть составлены различными способами, а
именно: в виде перестановок, размещений и сочетаний. Эти три вида соединений (комбинаций) являются основными понятиями комбинаторики. Прежде
чем перейти к рассмотрению этих понятий, познакомимся с понятием факториала натурального числа.
Факториалом натурального числа n называется произведение всех нату-
ральных чисел до n включительно, т. е.
! 1 2 3 ...nn=
.
Например, 1! = 1;
2! = 1 ‧ 2 = 2;
3! = 1 ‧ 2 ‧ 3 = 6;
4! = 1 ‧ 2 ‧ 3 ‧ 4 = 24 и т. д.
По определению принято, что 0! = 1.
Пусть имеется три различных элемента a, b, c. Будем составлять из этих
элементов различные комбинации.
1.3.1. Размещения
Выберем из трех элементов a, b, c два элемента с учетом их расположения. Получим:
ab, ba, bc, cb, ac, ca.
16
Составленные комбинации называются размещениями из трех элементов
по два.
Размещениями из n элементов по т в каждом называются такие комбинации из т элементов, взятых из n элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Например, размещения ab и ba отличаются порядком расположения элементов, а размещения
ab и cb — элементами a и c.
Очевидно, что т ≤ n.
На практике чаще представляют интерес не сами размещения, а их число.
Для того чтобы понять формулу для числа размещений, рассмотрим следующий пример.
Пример 1.4. Руководство некоторого банка должно выбрать трех человек
из 12 на три различные должности. Все 12 кандидатов имеют равные шансы на
занятие той или иной должности. Сколько существует всевозможных вариантов
для выбора?
Решение. Используем правило умножения. Первого человека нужно выбрать из 12 кандидатов, следовательно, существует 12 способов выбора, второго человека выбирают из оставшихся 11, поэтому для осуществления второго
действия имеется 11 способов. И, наконец, третьего человека выбираем из
оставшихся десяти. Очевидно, что число способов осуществления третьего
действия равно 10. По правилу умножения можно составить 12 ‧ 11 ‧ 10=1320
различных вариантов по 3 человека в каждом.
С другой стороны, число всевозможных вариантов выбора равно числу
размещений из 12 человек по три. Очевидно, что комбинации, состоящие из
трех человек, будут размещениями, так как они будут отличаться либо самими
людьми, либо расположением этих людей соответственно их должностям (по
условию примера должности разные). Таким образом, число размещений из
12 человек по 3 равно 12 ‧ 11 ‧ 10=1320.
Теорема 1.1. Число размещений из n элементов по т вычисляется по сле-
дующей формуле
( 1)( 2) ... ( 1)
m
n
A n n n n m= − − − +
, (1.1)
где
0 mn
.
Доказательство. Для доказательства воспользуемся правилом умножения. Чтобы составить какое-либо размещение, нужно выбрать т элементов из n
17
элементов, при этом учитывать порядок выбора. Это означает, что нужно заполнить т мест элементами рассматриваемого множества следующим образом. На
первое место может быть поставлен любой из n элементов, т. е. существует n
способов выполнить первое действие. После этого останется n−1 элементов,
каждый из которых может быть помещен на второе место, т. е. второе действие
может быть совершено n−1 способами. Рассуждая аналогично, получим, что занятие третьего места может быть совершено n−2 способами, четвертого — n−3
способами и т. д. Последнее т-ое место —(n−(т−1)) способами. Таким образом,
( 1)( 2) ... ( ( 1)) ( 1)( 2) ... ( 1)
m
n
A n n n n m n n n n m= − − − − = − − − +
.
Теорема доказана.
Примечание. Для обозначения числа размещений используется буква А. С
этой буквы начинается французское слово arrangement, что означает «размеще-
ние, приведение в порядок».
Формула (1.1) может быть приведена к более удобному виду.
Теорема 1.2. Число размещений из n элементов по т может быть вычис-
лено по следующей формуле:
!
( )!
m
n
n
A
nm
=
−
. (1.2)
Доказательство. Для доказательства умножим и разделим правую часть
формулы (1.1) на выражение (n−т)!. Оно не равно нулю, так как при т= n справедлива формула 0!=1. Получим:
( 1)( 2) ... ( 1)( )!
( 1)( 2) ... ( 1)
( )!
( 1)( 2) ... ( ( 1))( )( 1) ... 3 2 1 !
( )! ( )!
m
n
n n n n m n m
A n n n n m
nm
n n n n m n m n m n
n m n m
− − − + −
= − − − + = =
−
− − − − − − −
==
−−
.
Теорема доказана.
Пример 1.5. Сколько можно записать трехзначных чисел, используя без
повторения все девять (кроме нуля) цифр?
Решение. Необходимо составить различные размещения из девяти цифр
по три и найти их число. Итак,
18
3
9
9! 9!
7 8 9 504
(9 3)! 6!
A = = = =
−
.
Таким образом, можно составить 504 различных числа.
Изменим условие примера 1.5 и предположим, что при составлении чисел
цифры могут повторяться, например, будем считать, что возможны числа 121,
144, 555 и т. д. Понятно, что в этом случае количество различных чисел будет
значительно больше. Новые полученные комбинации чисел будут называться
размещениями с повторениями.
Размещения с повторениями из n элементов по т называются размещения из n элементов по т, которые могут содержать любой из n элементов и
любое (не большее т) число раз.
Таким образом, каждое размещение с повторением может состоять не
только из различных т элементов, но и из т каких угодно и сколь угодно повторяющихся элементов.
Теорема 1.3. Число размещений с повторениями из n элементов по т вы-
числяется по следующей формуле:
(повт.)
mm
n
An=
. (1.3)
Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству
теоремы 1.1 с учетом того, что на любое из т мест может быть поставлен любой из n элементов, поэтому число способов занятия любого из т мест равно n.
Теорема доказана.
Пример 1.6. Сколько можно записать трехзначных чисел, используя все
девять (кроме нуля) цифр? Цифры могут повторяться.
Решение. Число размещений с повторениями из девяти цифр по три равно
33
9(повт.)
9 729A ==
.
Таким образом, можно составить 729 различных чисел.
Рассмотрим пример 1.4 с дополнительным условием.
Пример 1.7. Руководство некоторого банка должно выбрать трех человек
из 12 на три различные должности. Все 12 кандидатов имеют равные шансы на
занятие той или иной должности, при этом допускается занятие одним человеком не только одной, но и двух и даже трех должностей. Сколько существует
всевозможных вариантов для выбора?
19
Решение. Как и в примере 1.4, речь идет о размещениях. Однако в этом
случае допускается занятие одним человеком нескольких должностей, поэтому
здесь используются размещения с повторениями. Таким образом,
33
12(повт.)
12 1728A ==
,
т. е. существует 1 728 вариантов выбора.
В условии всех предыдущих примеров предполагалось, что
mn
. Рас-
смотрим отдельно случай, когда
mn=
. Соответствующие этому случаю раз-
мещения называются перестановками.
1.3.2. Перестановки
Выберем из трех элементов a, b, c три элемента с учетом их расположения. Получим:
abс, acb, baс, bcа, cbа, cab.
Составленные комбинации называются перестановками из трех элементов.
Перестановками из n элементов называются комбинации, которые состоят из всех n элементов и отличаются лишь порядком расположения этих
элементов.
Иначе, перестановки — это размещения из n элементов по n. Нетрудно
получить формулу для числа перестановок.
Теорема 1.4. Число перестановок из n различных элементов равно:
!
n
Pn=
. (1.4)
Доказательство. Используем то, что перестановки — частный случай
размещений. По формуле (1.2) получим:
!!
!
( )! 0!
n
nn
nn
P A n
nn
= = = =
−
.
Теорема доказана.
20
Примечание. Для обозначения числа перестановок используется буква Р.
С этой буквы начинается французское слово permutation, что в переводе означает «перестановка».
Пример 1.8. Представитель торговой фирмы ежедневно просматривает
5 изданий, в которых исследуются спрос и предложение на определенные товары. Сколько существует способов просмотра, если выбор изданий случаен?
Решение. Каждый день все 5 изданий должны быть просмотрены, может
меняться лишь порядок просмотра, поэтому число способов просмотра равно
Р
5
= 5! = 120.
Пример 1.9. На полке стоят 7 учебников, 3 из которых по эконометрике.
Сколько существует способов расстановки семи различных книг на полке так,
чтобы 3 учебника по эконометрике стояли рядом?
Решение. Зафиксируем расположение трех учебников по эконометрике и
будем рассматривать их как единое целое. Тогда получаем пять учебников, которые можно расставить на полке Р5 = 5! = 120 различными способами. В свою
очередь, учебники по эконометрике также можно переставить между собой
Р
3
= 3! = 6 способами. По правилу умножения число способов соответствую-
щей расстановки семи книг равно Р5 ‧ Р3 = 5! ‧ 3! = 120×6 = 720.
Во всех рассмотренных ранее примерах предполагалось, что элементы в
одной перестановке все различны. Если допустить наличие одинаковых элементов в перестановке, то получим перестановки с повторениями. Как было
отмечено ранее, перестановки — это частный случай размещений, в связи с
чем, учитывая (1.3), можно получить следующую формулу для числа перестановок с повторениями:
(повт.) (повт.)
nn
nn
PAn==
. (1.5)
Пример 1.10. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из
трех цифр 3, 4, 5?
Решение. Применяя формулу (1.5), получим
3
3(повт.)
3 27P ==
.
Решим пример 1.10 другим способом, без применения формулы (1.5).
Числа, состоящие из трех предложенных цифр, можно разделить на три
группы. В первую группу входят числа, в которых все цифры разные, например
345, 534 и т. д. Очевидно, что их число равно 3! = 6. Вторая группа состоит из
чисел, в которых имеется две одинаковых цифры, например, с двумя цифрами 3
существует 6 различных чисел: 334, 343, 433, 335, 353, 533. Аналогично существует по 6 различных чисел с двумя цифрами 4 и 5. Следовательно, вторая
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]