Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
61
Очевидно, что события А1, А2, А3 несовместны, следовательно, можно
применить теорему 3.3. Таким образом,
1 2 3 1 2 3
30 40 10 80 20
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
84 84 84 84 21
P A P A A A P A P A P A= + + = + + = + + = =
.
Нетрудно понять, что первый способ решения намного проще.
В вышерассмотренных теоремах и примерах предполагалась несовместность соответствующих случайных событий. Естественно, может возникнуть
задача, в которой требуется найти вероятность появления хотя бы одного из
совместных событий. Теорему 3.1 в этом случае применять нельзя. Существует
более общий вид теоремы сложения вероятностей, который использует понятие
вероятности произведения событий.
3.2. Теорема умножения вероятностей событий
Пусть рассматривается некоторое испытание, в котором возможно появление случайного события А. Если, кроме условия испытания, никаких ограничений для события А не существует, то вероятность события А называют без-
условной вероятностью. Если же задаются некоторые дополнительные условия, то появляется условная вероятность этого события. Чаще всего
дополнительные условия связаны с появлением другого случайного события.
Итак, при анализе того или иного явления может возникнуть вопрос: влияет ли
на возможность появления некоторого события А наступление другого случайного события В, и если влияет, то как? Например, наступление В ведет к обязательному наступлению события А или, наоборот, исключает возможность появления события А, а может быть, лишь изменяет значение вероятности. Легко
понять, что если событие В является благоприятствующим событию А, то при
наступлении события В событие А всегда наступает, или если А и В — два
несовместных в данном испытании события, то при наступлении события В событие А никогда не будет происходить. Однако это так называемые крайние
случаи. Наибольший интерес возникает тогда, когда наступление события В
как-то изменяет (увеличивает или уменьшает) вероятность появления события
А, не превращая его в достоверное или невозможное при новых условиях событие. Характеристикой такого влияния одного события на другое служит условная вероятность.
62
Условной вероятностью
( / )P A B
события А при условии В называется
вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже
произошло.
Аналогично можно определить условную вероятность
( / )P B A
события В
при условии, что событие А уже произошло.
Пример 3.4. Пусть в урне находятся 6 белых и 8 черных шаров. Из урны
последовательно друг за другом случайным образом вынимают два шара, не
возвращая их обратно. Найти вероятность того, что второй шар окажется белым, если первым был вынут также белый шар.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что второй шар окажется белым, а событие В — что первый шар белый. В задаче требуется найти вероятность события А при условии, что событие В произошло, т. е. найти
( / )P A B
.
Если событие В произошло, то в урне осталось 13 шаров, из которых 5 белых.
Следовательно, вероятность вынуть белый шар из 13, среди которых 5 белых,
равна
5
( | )
13
P A B =
.
Отметим два момента.
Во-первых, для события А может быть найдена не только его условная
вероятность, но и так называемая полная вероятность события, т. е. вероятность
того, что второй шар окажется белым при выборе первым любого шара.
(О нахождении такой вероятности речь пойдет в пункте 3.4.)
Во-вторых, условие примера может быть так изменено, что цвет первого
выбранного шара вообще не будет влиять на вероятность появления события А.
Будем считать, что шары после фиксирования их цвета возвращаются обратно в
урну. Тогда, очевидно, вероятность события А не зависит от того, какого цвета
был выбран первый шар, т. е. от появления (или непоявления) события В. В
этом случае
63
( ) ( / )
14 7
P A P A B= = =
, т. е. вероятность события А совпадает с
условной вероятностью этого события. Сами же события А и В являются независимыми в данном испытании.
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В
противном случае события называются зависимыми.
Из определения следует, что для независимых событий А и В справедливы формулы:
( / ) ( )
( / ) ( )
P A B P A
P B A P B
=
=
. (3.5)
63
Получим формулу для нахождения условной вероятности, используя
классическое определение. Пусть испытание состоит из n равновозможных
элементарных событий. Число событий, благоприятствующих событию А, равно тА; событию В — тВ; произведению событий АВ — тАВ. Очевидно, что
()
B
m
PB
n
=
и
()
AB
m
P AB
n
=
. Так как событию В благоприятствует тВ исходов,
из которых только тА благоприятствуют А, то условная вероятность равна:
()
( / )
()
AB
AB
B
B
m
m
P AB
n
P A B
m
m P B
n
= = =
.
Окончательно получаем:
()
( / )
()
P AB
P A B
PB
=
. (3.6)
Необходимо обратить внимание на то, что знаменатель в формуле (3.6)
отличен от нуля, так как по условию событие В может произойти, т. е. тВ не
равно нулю.
Рассуждая аналогично, можно получить формулу для условной вероятно-
сти события В:
()
( / )
()
P BA
P B A
PA
=
. Но так как событие АВ ничем не отличается
от события ВА и
( ) ( )P AB P BA=
, то условную вероятность события В можно
определить по формуле:
()
( / )
()
P AB
P B A
PA
=
. (3.7)
В наиболее полных, применяющих аксиоматический подход курсах теории вероятностей формулы (3.6) и (3.7) принимают за определение условной
вероятности, а формулы (3.5) — за определение независимых событий.
Из формул (3.6) и (3.7) непосредственно вытекает следующая теорема
умножения вероятностей.
Теорема 3.2. Вероятность одновременного появления двух случайных со-
бытий равна произведению вероятности одного события на условную вероят-
64
ность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т. е.:
( ) ( ) ( / )
( ) ( ) ( / )
P AB P A P B A
P AB P B P A B
=
=
. (3.8)
Следствие. Вероятность одновременного появления нескольких случай-
ных событий равна произведению вероятности одного события на условные вероятности всех остальных, при этом вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились, т. е.:
1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 1
( ... ) ( ) ( / ) ( / ) ... ( / ... )
n n n
P A A A A P A P A A P A A A P A A A A A
−
=
.
Пример 3.5. В лотерее находятся 20 билетов, из которых 5 выигрышных.
Случайным образом выбирают последовательно друг за другом 3 билета без
возвращения. Определить вероятность того, что первый, второй и третий билеты будут выигрышными.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что первым выберут выигрыш-
ный билет, событие В — в том, что второй билет будет выигрышным и, нако-
нец, С — третий билет выигрышный. Очевидно, что
51
()
20 4
PA==
.
Условная вероятность события В при условии, что событие А произошло,
т. е. из лотереи был выбран один выигрышный билет, равна
4
( / )
19
P B A =
(все-
го билетов осталось 19, из них 4 выигрышных).
Условная вероятность события С при условии, что события А и В про-
изошли, т. е. были выбраны два выигрышных билета, равна
31
( / )
18 6
P C AB ==
.
По следствию к теореме 3.2 вероятность произведения равна:
1 4 1 1
( ) ( ) ( / ) ( / )
4 19 6 114
P ABC P A P B A P C AB= = =
.
Необходимо отметить, что задача 3.5 может быть решена с помощью
классической формулы и формул комбинаторики:
65
3
5
3
20
5!
2 5 1
2! 3!
()
20!
3 19 20 114
3!17!
C
P ABC
C
= = = =
.
Теорема 3.2 верна для любых случайных событий А и В. В частном случае, когда события А и В являются независимыми, справедливо следующее
утверждение.
Теорема 3.3. Вероятность одновременного появления двух независимых
событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т. е.:
( ) ( ) ( )P AB P A P B=
. (3.9)
Доказательство. События А и В независимы. По теореме 3.2 с учетом
формулы (3.5) получим:
( ) ( ) ( / ) ( ) ( )P AB P A P B A P A P B= =
.
Теорема доказана.
Итак, теорема 3.3 говорит о том, что вероятность произведения независимых событий находится по формуле (3.9). Верно и обратное утверждение.
Теорема 3.4. Если для двух случайных событий верна формула (3.9), то
эти события независимы.
Приведем без доказательства несколько важных свойств, справедливых
для независимых событий:
1. Если событие В не зависит от А, то событие А не зависит от В.
2. Если события А и В независимы, то независимы и события А и B.
3. Если два события независимы, то независимы и противоположные им
события.
Теорема 3.3 может быть обобщена на конечное число событий. Однако,
прежде чем это сделать, необходимо более подробно остановиться на понятии
независимости трех и более событий.
Для группы, состоящей из трех и более событий, существует понятие попарной независимости и независимости в совокупности.
События А1, А2, …, Аn называются попарно независимыми, если любые
два из этих событий независимы.
66
События А1, А2, …, Аn называются независимыми в совокупности (или
просто независимыми), если они попарно независимы, а также независимы
каждое событие и все возможные произведения всех остальных.
Например, три события А1, А2, А3 независимы в совокупности, если независимы следующие события:
А
1
и А2, А1 и А3, А2 и А3,
А
1
и А
2А3
, А2 и А
1А3
, А3 и А
1А2
.
Теорема 3.5. Если события А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, то
вероятность их одновременного появления вычисляется по формуле:
1 2 1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( )
nn
P A A A P A P A P A =
.
Доказательство. Покажем, что формула верна для трех событий. Если
событий больше трех, то справедливость формулы доказывается методом математической индукции.
Итак, покажем, что
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A =
. По условию тео-
ремы события А1, А2, А3 независимы в совокупности. Следовательно, независимыми являются, например, два события А1А2 и А3. По формуле (3.9) получим
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )P A A A P A A P A =
. По условию события А1 и А2 также независимы.
Применив к первому сомножителю формулу (3.9), окончательно получим
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A =
.
Теорема доказана.
Необходимо отметить, что если события попарно независимы, то отсюда
не следует, что они будут и независимы в совокупности. И наоборот, если события независимы в совокупности, то они, очевидно, по определению будут и
попарно независимы.
Рассмотрим пример событий попарно независимых, но зависимых в совокупности.
Пример 3.6. Пусть в коробке лежат 4 одинаковые карточки с написанны-
ми на них числами (рис. 3.1).
67
Рис. 3.1
Случайным образом выбираем одну карточку. Событие А означает, что
выбрали карточку, на которой есть число 1, событие В предполагает, что на выбранной карточке есть число 2, событие С — число 3. Выяснить, являются ли
события А, В и С попарно независимыми или независимыми в совокупности.
Решение. Вероятность каждого из событий А, В и С можно найти по клас-
сической формуле (всего карточек 4, на двух из них есть числа 1, 2, 3 соответ-
ственно):
2 1 2 1 2 1
( ) ; ( ) ; ( )
4 2 4 2 4 2
P A P B P C= = = = = =
.
Покажем, что события А, В и С попарно независимы. Выберем любые два
события, например А и В. Вероятность их произведения
1
()
4
P AB =
, так как од-
новременное появление чисел 1 и 2 может быть только на одной карточке из
четырех.
Таким образом, справедливо равенство
1 1 1
( ) ( ) ( )
4 2 2
P AB P A P B= = =
.
По теореме 3.4 события А и В независимы. Аналогично можно показать независимость событий В и С, а также событий А и С. Попарная независимость доказана.
Покажем, что эти события не являются независимыми в совокупности.
Вероятность одновременного появления всех трех событий, т. е. появления всех
трех чисел, равна
1
4
, так как только на одной карточке из четырех есть все три
числа. Произведение вероятностей событий равно
1 1 1 1
2 2 2 8
=
. Таким образом,
11
( ) ( ) ( ) ( )
48
P ABC P A P B P C= =
, следовательно, независимость в совокуп-
ности отсутствует.
Из теоремы умножения вероятностей и теоремы сложения вероятностей
несовместных событий непосредственно следует теорема сложения вероятностей совместных событий.
1 2 3
1
2
3
68
3.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Пусть в некотором испытании рассматриваются два совместных случайных события А и В, вероятности которых известны или могут быть найдены.
Теорема 3.6. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е.:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB+ = + −
. (3.10)
Доказательство. Очевидно, что сумма случайных событий А+В про-
изойдет тогда, когда произойдет одно из следующих трех несовместных собы-
тий:
, , AB AB AB
, т. е.
A B AB AB AB+ = + +
. По теореме 3.1 получим:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P AB P AB P AB+ = + +
. (*)
Событие А состоит из суммы двух несовместных событий:
, AB AB
, т. е.
A AB AB=+
и, следовательно,
( ) ( ) ( )P A P AB P AB=+
. Выразим из последнего
равенства
()P AB
, получим:
( ) ( ) ( )P AB P A P AB=−
. (**)
Аналогично событие В состоит из суммы двух несовместных событий:
, BA BA
, т. е.
B BA BA=+
и, следовательно,
( ) ( ) ( )P B P BA P BA=+
. Выразим
из последнего равенства
()P BA
, получим:
( ) ( ) ( )P BA P B P BA=−
. (***)
Подставим (**) и (***) в формулу (*), получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P A B P AB P AB P AB P AB P B P BA P A P AB
P A P B P AB
+ = + + = + − + − =
= + −
.
Теорема доказана.
69
Замечание 1. Формулу (3.10) можно использовать не только для совместных, но и для несовместных событий. Если события А и В несовместны, то очевидно, что их произведение является невозможным событием, вероятность невозможного события равна нулю. Таким образом, формула (3.10) преобразуется
в уже известную формулу (3.1):
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
.
Замечание 2. Формула 3.10 применяется как для независимых, так и для
зависимых событий. Отличие состоит в нахождении вероятности произведения
событий, а именно:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B+ = + −
,
если А и В — независимые события;
( ) ( ) ( ) ( ) ( / )P A B P A P B P A P B A+ = + −
,
если А и В — зависимые события.
Пример 3.7. Два футболиста делают независимо друг от друга по одному
удару по воротам. Вероятность попадания первого равна 0,8; второго — 0,9.
Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.
Решение. Пусть событие А означает попадание первого футболиста, событие В — попадание второго футболиста. Тогда событие А+В означает, что
произойдет хотя бы одно попадание. По теореме 3.6 получим:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,9 0,8 0,9 1,7 0,72 0,98P A B P A P B P AB+ = + − = + − = − =
.
Пример 3.7. может быть решен и по-другому. Пусть С=А+В. Тогда, очевидно, что событие, противоположное событию С, будет
C A B=
. По формуле
(3.4) вероятность суммы событий А и В равна:
( ) 1 ( )P A B P A B+ = −
. (3.11)
Для примера 3.7 получим
( ) 1 ( ) 1 0,8 0,2P A P A= − = − =
и
( ) 1 0,9 0,1PB = − =
. Тогда
( ) 1 ( ) 1 0,2 0,1 1 0,02 0,98P A B P A B+ = − = − = − =
.
70
Существует более общая формула для нахождения вероятности суммы
трех и большего числа совместных событий. Например, для трех событий А, В
и С она имеет вид:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC+ + = + + − − − +
.
Если число событий больше трех, то формула вероятности суммы событий еще более усложняется, поэтому стараются обойтись без нее. Для этого
существует два пути:
− последовательно складывать события с применением формулы (3.10),
т. е. вычислять
12
()P A A+
, затем
1 2 3
(( ) )P A A A++
и т. д.
− перейти к противоположному событию, т. е. использовать формулу,
аналогичную формуле (3.11).
Пример 3.8. Каждый из четырех стрелков независимо друг от друга про-
изводит по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания стрелков равны
0,7; 0,6; 0,8 и 0,4. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно
попадание.
Решение. Введем в рассмотрение следующие события:
А
1
— попадет первый стрелок;
А
2
— попадет второй стрелок;
А
3
— попадет третий стрелок;
А
4
— попадет четвертый стрелок.
По условию примера необходимо определить
1 2 3 4
()P A A A A+ + +
.
Найдем эту вероятность двумя способами.
В первом случае будем последовательно складывать события и применять
формулу (3.10), получим:
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,6 0,7 0,6 0,88P A A P A P A P A P A+ = + − = + − =
;
1 2 3 1 2 3 1 2 3
(( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,88 0,8 0,88 0,8 0,976
P A A A P A A P A P A A P A+ + = + + − + =
= + − =
;
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
(( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,976 0,4 0,976 0,4 0,9856
P A A A A P A A A P A P A A A P A+ + + = + + + − + + =
= + − =
.
Во втором случае перейдем к противоположному событию. Очевидно,
что для события
1 2 3 4
A A A A+ + +
противоположным является событие
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]