Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
41
В настоящее время эта формула является следствием аксиом из общепринятого
аксиоматического определения вероятности.
Формула (2.2) будет верна и в том случае, если вместо пространства элементарных событий рассматривать полную группу несовместных равновозможных событий.
Пример 2.2. Найти вероятность того, что при одном броске игрального
кубика выпадет число очков, делящееся на 3.
Решение. Пусть событие А означает, что при одном броске выпало число
очков, делящееся на 3. Применим формулу (2.2). Очевидно, что n = 6; тА = 2
(выпало 3 и 6 очков). Отсюда:
21
()
63
PA==
.
В данной задаче числа n и тА подсчитываются достаточно просто. В более сложных задачах для нахождения числителя и знаменателя в классической
формуле широко используются рассмотренные ранее формулы комбинаторики.
Пример 2.3. Пусть из урны, содержащей 7 белых и 13 черных шаров, вы-
нимают наугад 3 шара. Каковы вероятности следующих событий:
А — все три шара белые;
В — все три шара черные;
С — два шара черные и один шар белый?
Решение. Для нахождения вероятностей каждого из событий будет ис-
пользоваться формула (2.2). Причем очевидно, что знаменатель n будет одним
и тем же для всех трех случаев. Найдем его. Величина n определяет число всех
возможных способов выбора трех шаров из 20(7+13). Цвет шаров при нахождении числа n не учитывается. Число таких возможных способов дает формула
(1.7). Таким образом,
3
20
20! 18 19 20
3 19 20 1140
3!17! 1 2 3
nC
= = = = =
.
Найдем тА — число всех событий, благоприятствующих событию А. Так
как событие А произойдет только тогда, когда все три шара будут белыми, то
эти 3 шара нужно выбирать из совокупности белых шаров, т. е. из 7. Применив
формулу (1.7), получим
42
3
7
7! 5 6 7
5 7 35
3! 4! 1 2 3
A
mC
= = = = =
.
По формуле (2.2) имеем
35
( ) 0,03
1140
PA=
.
Аналогично можно найти тВ, выбирая 3 шара из совокупности черных
шаров, т. е. из 13:
3
13
13! 11 12 13
11 2 13 286
3!10! 1 2 3
B
mC
= = = = =
.
Далее по формуле (2.2) получаем
286
( ) 0,25
1140
PB =
.
Подсчитаем теперь число тС.
Для наступления события С необходимо, чтобы два шара были черные,
т. е. их надо выбрать из 13 черных шаров. Число способов такого выбора равно:
2
13
13! 12 13
6 13 78
2!11! 1 2
C
= = = =
.
Однако для наступления события С требуется еще, чтобы один шар был
белый, т. е. один шар надо выбрать из 7 числом способов, равным
1
7
7C =
. Каж-
дая комбинация двух черных шаров может сочетаться с каждым из белых шаров, поэтому общее число событий, благоприятствующих событию С, в соот-
ветствии с правилом умножения будет равно
21
13 7
78 7 546
C
m C C= = =
.
Отсюда
546
( ) 0,48
1140
PC =
.
Пример 2.4. Из пяти цифр 1, 2, 3, 4 и 5 (без повторения) случайным обра-
зом образуется двузначное число. Какова вероятность того, что полученное
число четное?
Решение. Для подсчета числа n в данном примере формулу (1.7) приме-
нять нельзя, так как в образовании числа важен порядок записи цифр. Например, 32 и 23 — это разные числа, хотя и составлены из одинаковых цифр. Поэтому число сочетаний заменяем на число размещений, т. е.
2
5
5!
4 5 20
3!
nA= = = =
.
т
А
= 8 (12, 32, 42, 52, 14, 24, 34, 54).
43
Следовательно,
8
( ) 0,4
20
PA==
.
Пример 2.5. В игре «Спортлото» есть 49 чисел (номеров). Вначале участ-
вующий в игре фиксирует свои 6 чисел. Затем случайный механизм выбирает
из 49 свои 6 чисел. Требуется найти вероятность того, что участвующий в игре
отгадал ровно три числа (номера), т. е. три выбранных им номера совпадают с
тремя номерами, выбранных случайным механизмом.
Решение. Испытание, которое проводится в данном примере, состоит в
зачеркивании 6 номеров из 49. Следовательно, величина n равна числу способов выбора 6 номеров из 49, т. е.:
6
49
49! 44 45 46 47 48 49
11 46 47 12 49
6! 43! 1 2 3 4 5 6
nC
= = = =
.
По условию примера событие А, вероятность которого надо найти, означает, что из шести выбранных номеров три отгадано верно и три не отгадано.
Таким образом, три необходимо взять из шести выпавших номеров и три — из
оставшихся невыпавших 43 номеров, т. е.:
33
6 43
6! 43!
4 5 41 7 43
3! 3! 3! 40!
A
m C C= = =
.
Следовательно,
4 5 41 7 43
( ) 0,0176
11 46 47 12 49
A
m
PA
n
= =
.
2.3.3. Геометрическое определение вероятности
При рассмотрении классической формулы предполагалось, что пространство элементарных событий состоит из конечного числа событий. В противном случае формула не применима. Однако на практике встречаются испыта-
ния, для которых имеется бесконечное множество возможных исходов. Например, испытание состоит в изготовлении линеек определенной длины.
Невозможно получить абсолютно точные по длине линейки. Очевидно, что
множество возможных исходов этого испытания, т. е. множество всевозможных длин, которые как угодно близки к требуемой длине, состоит из бесконечного числа элементов.
44
Для решения задач, в которых пространство элементарных событий состоит из бесконечного числа исходов, часто используют геометрическое определение вероятности события. Это определение основано на предположении о
том, что вероятность попадания точки в любую часть области пропорциональна
ее геометрической мере (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее
формы и расположения.
Геометрической вероятностью события А называют число, определяе-
мое по формуле:
()
A
M
PA
M
=
, (2.3)
где М — геометрическая мера всей области;
М
А
— геометрическая мера той части области, попадание в которую бла-
гоприятствует появлению данного события А.
Например, предположим, что летящий снаряд может попасть в любую
точку плоской области (рис. 2.9). Событие А — попадание снаряда в область
К, содержащуюся в области . Тогда по формуле 2.3:
()
k
S
PAS=
,
где Sk — площадь области К; S — площадь всей области .
Рис. 2.9
Рассмотрим следующую задачу.
Пример 2.6. Два лица условились встретиться в определенном месте меж-
ду 17 и 18 ч. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего
уходит. Требуется определить вероятность встречи, если время прихода каждого лица независимо и равновозможно в течение указанного часа.
Решение. Пусть х — это количество минут, характеризующих приход
первого лица, у — второго лица. Например, если х = 24, то первое лицо пришло
К
45
на встречу в 17 ч 24 мин. Очевидно, что областью различных возможных значений х и у является квадрат площадью 602 = 3600 кв. ед. (рис. 2.10).
Рис. 2.10
Встреча состоится, если
15xy−
. Данная область лежит между прямы-
ми
15xy−=
и
15xy− = −
. Ее площадь равна:
22
60 (60 15)
L
S = − −
.
Искомая вероятность равна отношению этой площади к площади всего
квадрата, т. е.
22
2
60 (60 15) 7
0,4375
60 16
L
S
P
S
−−
= = = =
.
Классическая, статистическая и геометрическая формулы не единственные и далеко не главные для нахождения вероятности случайного события. Гораздо большее значение в теории вероятностей имеют не прямые, а косвенные
методы вычисления вероятностей. Они позволяют выражать вероятности интересующих нас событий через вероятности других событий, с ними связанных:
вероятности сложных событий через вероятности простых. А те в свою очередь — через вероятности еще более простых и т. д. Цепочка тянется до тех
пор, пока не доходит до элементарных событий, а их вероятности чаще всего
уже можно вычислить по классической формуле или, что значительно реже, исходя из определения относительной частоты, используя экспериментальные
данные. Приемы вычисления вероятностей сложных событий через вероятности простых будут рассмотрены в следующей главе. В заключение рассмотрим
еще одно определение вероятности, которое на сегодняшний день является основным для полных курсов теории вероятностей.
46
2.3.4. Аксиоматическое построение теории вероятностей
Теория вероятностей долгое время не имела четких и строгих математических определений. Ее применение иногда приводило к известным в истории
парадоксам (парадоксы Бертрана). В связи с этим эта наука стала подвергаться
резкой и вполне обоснованной критике. Развитие многих наук и прежде всего
естествознания потребовало от теории вероятностей не только более четких
определений, но и предъявления более точных условий, при которых возможно
применение ее результатов. Поэтому возникла необходимость построения строгой математической науки, которая, как и любая другая математическая наука,
должна строиться на основе аксиом. Такая точка зрения впервые была высказана в 1917 г. советским математиком С. Н. Бернштейном. Несколькими десятилетиями позже академик А. Н. Колмогоров предложил связать теорию вероятностей с современной метрической теорией функций и теорией множеств и на
основе выделенных аксиом дать определение вероятности случайного события.
Как было отмечено ранее, каждое событие можно трактовать как некое
множество. Если каждому случайному событию поставить в соответствие некоторое число, то получим некую функцию на множестве случайных событий.
Обозначим эту функцию через Р(А) и назовем ее вероятностью события А,
если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1. Вероятность любого события (значение функции Р(А)) есть число, за-
ключенное между нулем и единицей, т. е.:
0 ( ) 1PA
.
2. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий, т. е. если А и В несовместные события, то:
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
.
3. Вероятность суммы конечного или счетного числа несовместных собы-
тий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А1, А2, …, Аn, … несовместные события, то:
11
()
ii
ii
P A P A
==
=
.
47
Условия 1–3 называются аксиомами. Аксиому 2 иногда называют теоремой сложения, или правилом сложения, несовместных событий.
Из сформулированных аксиом следует несколько важных элементарных
свойств вероятности, а именно:
− вероятность невозможного события равна нулю:
( ) 0P =
;
− для любого события А и ему противоположного Ā выполне-
но
( ) 1 ( )P A P A=−
;
− если событие А влечет за собой событие В, т. е.
AB
, то
( ) ( )P A P B
.
Из вышеописанных аксиом легко получается классическая формула
определения вероятности события. Приведем вывод для общего случая.
Пусть для событий А1, А2, …, Аn, которые являются результатами некоторого опыта, выполнены три условия:
1) они несовместны;
2) они образуют полную группу;
3) они равновозможны.
Напомним, что для более полных курсов теории вероятностей, где как раз
и используется аксиоматический подход, в определение полной группы не входит условие несовместности событий, поэтому первое условие выделено отдельно.
Событие Аi благоприятствует некоторому случайному событию А, если
i
AA
. Найдем Р(А).
События А1, А2, …, Аn образуют полную группу, следовательно,
1
n
i
i
A
=
=
.
События А1, А2, …, Аn несовместны, следовательно, к ним можно применить аксиому сложения:
11
( ) ( )
nn
ii
ii
P P A P A
==
= =
.
Так как
( ) 1P =
, а события А1, А2, …, Аn равновозможны, то
( )
12
1
( ) ... ( )
n
P A P A P A
n
= = = =
.
48
Если тА — число событий Аi, благоприятствующих А, то очевидно, что
.
Классическая формула доказана.
При выводе классической формулы было также доказано следующее
утверждение: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна
единице, т. е.:
1
( ) 1
n
i
i
PA
=
=
,
если
1
,
n
i i j
i
A A A
=
= =
при
ij
.
Задачи для самостоятельного решения
2.1. Случайный эксперимент состоит в трехкратном бросании монеты.
Построить пространство элементарных исходов.
2.2. Игральный кубик бросается дважды. Описать, из каких элементар-
ных событий состоят:
1) пространство элементарных событий;
2) событие А: сумма выпавших очков — четная;
3) событие В: первое выпавшее число — четное;
4) событие А+В;
5) событие АВ;
6) события
,AB
.
2.3. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз игрального кубика.
Обозначим через Х число очков, выпавших на верхней грани. Нужно:
1) описать пространство элементарных событий;
2) указать элементарные события, из которых состоят следующие события:
A — Х кратно 3;
B — Х — нечетное число;
С — Х > 3;
D — Х < 7;
Е — Х — правильная дробь;
49
K — 0,5 < Х < 1,5;
M — 1 < Х < 4;
3) для событий из пункта 2 указать пары совместных и несовместных со-
бытий, полную группу событий, описать следующие события:
, , , , ,B C AB A B E D EK++
.
2.4. Стреляют два стрелка по некоторой цели. Событие А1 — первый
стрелок попал, событие А2 — второй стрелок попал. Построить пространство
элементарных событий и выразить через А1 и А2 следующие события:
В — оба стрелка попали;
С — попал хотя бы один стрелок;
D — попал только один стрелок.
2.5. Производится 3 выстрела из орудия по цели. События Ak — не попа-
дание при k-ом выстреле (k = 1, 2, 3).
1) выяснить состав пространства элементарных событий, записав соответ-
ствующие элементарные события через Ak;
2) записать через события Ak следующие события:
А — ровно одно попадание;
В — хотя бы одно попадание;
С — хотя бы один промах;
D — не менее двух попаданий;
Е — попадание не раньше, чем при третьем выстреле.
2.6. Событие A — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракован-
ный, событие В — все приборы исправные. Что означают события А+В и АВ?
2.7. Электрическая цепь составлена по схеме, представленной на рис. 2.11.
Рис. 2.11
Выход из строя элемента а — событие А, элемента b — событие В, элемента с — событие С. Записать события D и D, если D означает разрыв цепи.
2.8. Пусть А, В, и С — произвольные случайные события. Выразить через
А, В, С и события, им противоположные, следующие события:
а
b
c
50
D1 — произошли все три события А, В, С;
D2 — произошло хотя бы одно из этих трех событий;
D3 — произошли хотя бы два из этих трех событий;
D4 — произошли два и только два из этих трех событий;
D5 — произошло только одно из этих трех событий;
D6 — не произошло ни одно из этих трех событий;
D7 — произошли не более двух из этих трех событий.
2.9. Стреляют три стрелка. Событие А — первый стрелок попал, событие
В — второй стрелок попал, С — третий стрелок попал. Что означают события:
, , , , ,ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C ABC+ + + + + + + + −
?
2.10. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков вто-
рого типа. События Ai (i =1, 2, 3) — исправлен i-ый блок первого типа, Вj (j =1,
2, 3, 4) — исправлен j-ый блок второго типа. Прибор работает, если исправлены
хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Выразить
через определенные выше события Ai (i =1, 2, 3) и Вj (j =1, 2, 3, 4), событие С —
прибор работает.
2.11. В каждом из следующих примеров определить, являются ли несов-
местными в данном испытании предложенные события:
1) испытание: два выстрела по цели;
А — ни одного попадания;
В — одно попадание;
С — два попадания.
2) испытание: бросание двух монет;
А — герб на первой монете;
В — герб на второй монете.
3) испытание: передача трех сообщений по радио;
А — в первом сообщении есть ошибка;
В — во втором сообщении есть ошибка;
С — в первом сообщении есть ошибка, а в третьем нет ошибки.
2.12. В каждом из следующих примеров указать, образуют ли предлагае-
мые события в данном испытании полную группу. Если нет, то определить, какое условие нарушено или каких событий не хватает до полной группы:
1) испытание: один бросок монеты;
А — выпал герб;
В — выпала цифра.
2) испытание: один бросок двух игральных кубиков;
А — на обоих кубиках выпало три очка;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]