Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы
pj
A
один нулевой корень
корней
()
,1
kk
(0)
p
, а все остальные корни имеют отрицательные
или хотя бы одна пара чисто мнимых
k
вещественные части, то считается, что система находится на границе
устойчивости. Причем в случае нулевого корня граница устойчивости
называется апериодической, а при паре чисто мнимых корней – колебательной.
Если изобразить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис. 4.2), можно получить графическую интерпретацию общего условия устойчивости: для устойчивости линейной
системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости плоскости
корней.
Рис. 4.2. Пример распределения
корней устойчивой системы
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости плоскости корней, то система будет неустойчива. Мнимая ось представляет
собой границу устойчивости системы, т. е. при расположении хотя бы
одного корня на этой оси система находится на границе устойчивости
(при условии, что все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть).
Для устойчивой системы автоматического управления все коэффициенты характеристического полинома положительны. В этом
нетрудно убедиться, если при известных корнях
рактеристический полином в виде произведения:
4.2.2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
представить ха-
p
k
() ( )( ) ( )
p apppp pp
nn
12
81
.
Будем считать, что система устойчива, т. е. все корни
p
отрицательные вещественные части:
имеют
p
k
pp j p
112,3 22
,,,,0
nnk
.
Тогда характеристический полином принимает вид
() ( )( )( ) ( )
Ap a p p j p j p
n n
122 22
,
Объединяя комплексно-сопряженные сомножители, получим
() ( )( ) ( )
Ap a p p p
nn
122
22
.
Раскрывая скобки, получим полином с положительными коэффициентами, так как все постоянные в скобках исходного выражения положительны.
Таким образом, если система устойчива, то коэффициенты характеристического полинома всегда будут положительными. При наличии
хотя бы одного отрицательного коэффициента система будет неустойчива и дополнительных исследований на устойчивость не требуется.
В то же время следует помнить, что положительность всех коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивости системы, необходима ее дополнительная проверка.
Только в частных случаях, когда характеристический полином
имеет первый или второй порядок, положительность коэффициентов
является необходимым и достаточным условием устойчивости (это
легко проверить).
Пример 4.1
Проверить устойчивость системы, передаточная функция которой
имеет вид
10 2
p
()
Wp
32
ppp
0,2 0,5 3
.
Необходимое условие устойчивости не выполняется, так как характеристический полином содержит отрицательный коэффициент
2
при
. Следовательно, система неустойчива.
0,2
Пример 4.2
Проверить устойчивость системы, передаточная функция которой
имеет вид
82
10 2
p
()
Wp
p
32
pp
551
.
Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты характеристического полинома положительны. Следовательно, необходима дополнительная проверка по общему условию устойчивости.
Определение корней полинома третьей степени и выше – трудоемкая задача. Однако в данном примере характеристический полином может быть разложен на сомножители путем следующих преобразований:
() 5 5 1 4 4 1Ap p p p p p p p p
32 3 2 2
22 2
(41)(41)(1)(41).pp p p p p p p
Определим корни характеристического полинома:
,
1p
1
2
444
ppp
2,3 1 2
2
2 1, 732 0,268, 3,732
.
Все корни вещественные отрицательные. Следовательно, система
устойчива.
Пример 4.3
Проверить устойчивость системы, передаточная функция которой
имеет вид
10 2
p
()
Wp
32
ppp
0,5 0, 5 1
.
Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты характеристического полинома положительны. Следовательно, необходима дополнительная проверка по общему условию устойчивости.
Разложим полином на сомножители так же, как в предыдущем
примере:
( ) 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1Ap p p p p p p p p
32 32 2
22 2
(0,51)(0,51)(1)(0,51).pp p p p p p p
83
Определим корни характеристического полинома:
A
,
1p
1
0,5 0,5 4
pj
2,3
2
0,25 0,968
.
2
Два комплексно-сопряженных корня имеют положительную вещественную часть. Следовательно, система неустойчива.
4.3. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Применять общее условие устойчивости удобно только в случае
систем невысокого порядка, когда корни характеристического полинома можно вычислить аналитически. Для проверки устойчивости систем произвольного порядка были разработаны критерии устойчивости [1, 2, 4], которые позволяют судить об устойчивости или неустойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения
(алгебраические критерии) или частотным характеристикам (частотные критерии).
4.3.1. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Это алгебраический критерий устойчивости, который был сформулирован немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г.
Рассмотрим критерий Гурвица без доказательства. Он основан на
анализе главных определителей матрицы, которая составляется из коэффициентов характеристического полинома и называется матрицей
Гурвица [2]. Запишем характеристический полином:
()
papap apa
nn
nn
1
110
. (4.1)
Матрица Гурвица составляется по следующему правилу: по главной диагонали слева направо записываются коэффициенты характеристического полинома
,,,
aa a
12 0
nn
в порядке убывания индексов.
Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами
характеристического полинома с последовательно убывающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно возрастающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше
n
и меньше нуля записываются нули.
nn
В результате получается квадратная матрица размера
следу-
ющего вида:
84
aa
13
nn
aa
nn
0000
Ha
00 0
2
a
1
n
00 0
00
000
000
aa
20
aa
31
aaa
420
,0
. (4.2)
n
Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для
устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все
n
главных определителей матрицы Гурвица:
0, 1, 2, ,
i
in
. (4.3)
Указанные определители имеют вид
11na
aa
2
aaa
135
nn n
aa a
,
324
nn n
0
,
13
nn
aa
nn
2
aa
13
nn
,
…
.
detnH
Поскольку в последнем столбце матрицы Гурвица только один
элемент не равен нулю, определитель
по формуле
1n
a
01nn
может быть выражен через
n
.
Рассмотрим условие границы устойчивости для критерия Гурвица.
Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет, согласно формуле (4.1), в следующем случае:
85
0
a
0
0, 1, 2, , 1.
i
in
Пара чисто мнимых корней в характеристическом уравнении (колебательная граница устойчивости) наблюдается при условии:
0,
1
n
i
in
0, 1, 2, , 2.
На практике критерий Гурвица обычно применяют для проверки
устойчивости систем невысокого порядка, так как при высоком порядке условия устойчивости (4.3) становятся очень громоздкими.
Пример 4.4
Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы,
передаточная функция которой имеет вид
51
p
()
Wp
32
ppp
231
.
Составим матрицу Гурвица:
210
130
H
021
.
Рассчитаем главные определители этой матрицы:
,
20
1
21
2
13
23 11 5 0
,
210
130 23111150
.
3
021
Все главные определители матрицы Гурвица больше нуля. Следовательно, система устойчива.
Пример 4.5
Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы,
передаточная функция которой имеет вид
86
51
F
p
j
A
j
j
j
j
F
p
()
Wp
32
20,51
pp p
.
Составим матрицу Гурвица:
110
20,50
H
011
.
Рассчитаем главные определители этой матрицы:
,
10
1
11
2
20,5
10,5 2 1,5 0
Второй главный определитель матрицы Гурвица
.
меньше нуля.
2
Следовательно, система неустойчива.
4.3.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
Это частотный критерий устойчивости, который был сформулирован в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым. Он основан на рассмотрении комплексного полинома ( )
ной
на
в характеристическом полиноме ( )Ap:
()
papap apa
() () () ()
F
nn
nn
a
nn
nn
j , который получается заме-
1
110
1
a
110
,
a
a
. (4.4)
Выделим в комплексном полиноме действительную и мнимую части:
( ) () (),
Fj R jI
()
Raaa
F
()
Iaaa
F
FF
02 4
13 5
24
35
При конкретном численном значении частоты
комплексного полинома
можно изобразить на комплексной
()
j
i
,
.
значение
i
плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой
87
(); ()
A
F
F
j
RI
Fi Fi
. При изменении от 0 до ∞ конец вектора ( )Fj
описывает некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова (рис. 4.3). Причем начинается годограф из точки
(;0)a
0
; в этом
нетрудно убедиться, подставив нулевое значение частоты в (4.4).
Im
n = 5
0
a
Re
0
Fj( )
i
n = 3
n = 4
а
Рис. 4.3. Примеры годографов Михайлова для устойчивых САУ
различного порядка (а) и неустойчивых САУ пятого порядка (б)
n = 5
Im
n = 5
0
б
Re
a
0
Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для
устойчивости линейной системы
точно, чтобы годограф Михайлова при изменении
n
-го порядка необходимо и доста-
от 0 до ∞ начи-
нался на вещественной положительной полуоси и проходил последо-
n
вательно против часовой стрелки
n
и стремясь к ∞ в
-м квадранте.
квадрантов, не обращаясь в нуль
Для доказательства критерия проанализируем, как связаны корни
характеристического полинома с видом годографа Михайлова. Представим полином как произведение сомножителей:
() ( )( ) ( )
p apppp pp
nn
12
.
Тогда комплексный полином ( )
() ( )( )( )
j ajpjp jp
nn
j примет вид
12
. (4.5)
Если характеристическое уравнение системы содержит нулевой
корень, то при
соответствующий сомножитель обратится в 0,
0
т. е. годограф будет начинаться из точки 0. Если имеются два чисто
мнимых корня
, то при определенном значении частоты
0
88
0
один из сомножителей также обратится в 0, и годограф пройдет через
F
F
F
F
F
F
начало координат.
В случае устойчивой системы все корни характеристического
уравнения имеют отрицательную вещественную часть, и, следовательно, годограф Михайлова не обращается в нуль.
Определим угол поворота вектора ( )
j при изменении частоты
от 0 до ∞. Для этого предварительно рассмотрим векторы, соответствующие отдельным сомножителям в выражении (4.5). Угол поворота
вектора для каждого сомножителя будет зависеть от вида корня характеристического уравнения; при этом можно выделить следующие четыре случая.
Корень характеристического уравнения вещественный отрица-
тельный:
имеет вид
тора
()
k
p
kk
Fj j
kk
перемещается из точки
j
,
()( )
раллельной оси ординат (рис. 4.4, а). Изменение фазы
ляет
90.
. Соответствующий сомножитель в (4.5)
0
k
. При изменении от 0 до ∞ конец век-
(0)
F
kk
вверх по прямой, па-
()
j
k
состав-
Im
0
Рис. 4.4. Годографы векторов
отрицательному (а) и положительному (б) вещественным корням
k
Re
а
()
j для сомножителей, соответствующих
k
–
Im
k
0
б
Re
Корень характеристического уравнения вещественный положительный:
имеет вид
тора
p
kk
Fj j
kk
перемещается из точки
()
j
k
раллельной оси ординат (рис. 4.4, б). Изменение фазы
ляет
.
90
,
()( )
. Соответствующий сомножитель в (4.5)
0
k
. При изменении от 0 до ∞ конец век-
(0)
F
kk
89
вверх по прямой, па-
()
j
k
состав-
Пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной веще-
p
j
F
F
p
j
F
F
F
a
ственной частью:
,1kk k k
,
,
0
k
. Соответствующие
0
k
сомножители в (4.5) имеют вид
() ()( )( )
jF j j j j j
У векторов
kk k k
Fj
k
и
1
Fj
1k
начальные фазы по модулю одинаковы,
но имеют противоположные знаки. При изменении
вектор поворачивается на угол
0
, а второй – на угол
90
.
от 0 до ∞ один
0
90
(рис. 4.5, а). Суммарный угол поворота для пары сомножителей ра-
180.
вен
Im
+
k
0
0
–
k
Рис. 4.5. Годографы векторов
–
k
0
а
–
Re
()
j для сомножителей, соответствующих
k
Im
+
k
k
0
Re
–
k
б
комплексно-сопряженным корням с отрицательной (а) и положительной (б)
вещественной частью
Пара комплексно-сопряженных корней с положительной веще-
a
ственной частью:
,1kk k k
,
,
0
k
. Соответствующие
0
k
сомножители в (4.5) имеют вид
() ()( )( )
jF j j j j j
kk k k
При изменении
сомножителей равен
1
от 0 до ∞ суммарный угол поворота для пары
(рис. 4.5, б).
180
Для определения фазы комплексного полинома ( )
.
j представим
его в показательной форме:
()
j
() ()
jj
( ) () () ()
Fj aA e aA e A e
nF n n
F
Следовательно, общая фаза ( )
n
сомножителей:
() ()
Fk
k
1
1
1
j равна сумме фаз отдельных
.
90
n
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]