Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
5.2.1. СТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
B
M
Система автоматического управления является статической, если в
разомкнутом состоянии она не содержит в своем составе последовательно включенных интеграторов. На рис. 5.3 приведена структурная
схема такой системы, содержащая звенья с передаточными функциями
()Wp
1
также возмущающее воздействие
и
()Wp
, которые не имеют нулевых полюсов. В схеме учтено
2
m
.
ε
Рис. 5.3. Структурная схема статической системы
Определим изображение ошибки регулирования:
() ( )VYVWM X VWMW
221
.
Выразим из полученного уравнения :
WW V W M
12 2
VMW
1
WW
12
,
2
.
Введем обозначения числителей и знаменателей передаточных
функций:
(/)WBA
111
,
(/)WBA
222
. Преобразуем формулу изобра-
жения ошибки таким образом, чтобы получить отношение двух полиномов:
(/)
VMB A VAA MAB
1( / )( / )
В случае ступенчатых воздействий на систему
() ()mt m t
() /Vp v p
уст 0
уст
, их изображения, в соответствии с (2.5), будут равны
() /
pm p
,
2 2 12 12
AB A AA BB
1 1 2 2 12 12
, а изображение ошибки примет вид:
уст
111
.
() ()vt v t
уст 0
и
vAA mAB
уст 1 2 ус т 1 2
.
pAA BB
()
12 12
Для определения оригинала статической ошибки достаточно учесть
только вычет в нулевом полюсе, поскольку остальные вычеты дают
составляющие, стремящиеся к нулю при t (так как система
устойчива):
()
vAA mABe
0
уст 1 2 уст 1 2
()()
AA BB p AA BB
12 12 12 12
pt
.
0
p
При 0p второе слагаемое в знаменателе обращается в нуль:
vAA mAB v m B A
уст 1 2 ус т 1 2 уст уст 2 2
0
AA BB B A B A
12 12 1 1 2 2
1( / )( / )
pp
00
(/)
.
Заменим отношения полиномов на передаточные функции:
vmW
уст уст 2
0
WW
1
12
Учитывая, что передаточные функции
вырождаются в коэффициенты усиления
.
0
p
()Wp
1
и
k
, получим окончатель-
k
1
2
и
()Wp
при 0p
2
ное выражение статической ошибки:
k
2
,
vm
– составляющая, обусловленная воз-
где
vkk
0уст 12
v
действием;
vm
0уст уст 0 0
/(1 )
mk kk
0уст2 12
m
1
11
kk kk
12 12
– составляющая, обусловленная входным воз-
/(1 )
мущающим воздействием. Обычно они выражаются в относительных
единицах (или процентах) от величины воздействий:
0отн
v
0отн
m
1
1
1
, (5.4)
kk
12
k
2
. (5.5)
kk
12
112
Как видим, в статических системах присутствует отличная от нуля
p
статическая ошибка, которую всегда стремятся уменьшить. Поскольку
величина
мкнутой системы
уменьшения полной статической ошибки необходимо увеличивать
определяется общим коэффициентом усиления разо-
0v
kk
12
, а
– в основном коэффициентом
0m
k
1
, то для
k
1
Однако его чрезмерное увеличение может привести к неустойчивости
САУ. Таким образом, требования точности и устойчивости оказываются противоречивыми, и приходится определять коэффициент усиления, который обеспечивает определенную точность без потери системой устойчивости.
При линейном нарастании сигнала на входе статической системы
ошибка также линейно растет с течением времени, т. е. скоростная
ошибка в таких системах равна бесконечности.
5.2.2. АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Для астатических систем характерно наличие последовательно
включенного интегрирующего звена в разомкнутой цепи. При этом
интегратор может быть включен в цепь как до возмущающего воздействия (рис. 5.4), так и после него (рис. 5.5).
Найдем изображение ошибки регулирования для первого случая:
W
1
VYVWM X VWM
()
22
.
p
.
ε
Рис. 5.4. Структурная схема астатической системы
с интегратором, включенным до возмущающего воздействия
Выразим из полученного уравнения :
WW
12
p
VWM
()
VWM
2
pWW
12
113
,
2
. (5.6)
Определим оригинал статической ошибки тем же способом, что и в
M
p
п. 5.2.1:
()
pv m W
0
уст уст 2
pWW
12
.
0
0
p
Таким образом, в рассмотренной системе обе составляющие статической ошибки (обусловленная входным воздействием и обусловленная возмущающим воздействием) равны нулю.
Теперь рассмотрим случай линейного нарастания сигнала на входе:
()vt t
ного воздействия:
щающее воздействие остается ступенчатым:
() /
pm p
const
,
уст
. В соответствии с (2.6) найдем изображение вход-
() /Vp p
2
. При этом будем считать, что возму-
() ()mt m t
. Тогда выражение (5.6) примет вид:
2
(/ / )
pmWp mWp
уст 2 уст 2
pWW ppWW
12 12
()
.
уст 0
Найдем скоростную ошибку как оригинал, соответствующий полученному изображению, при t :
mWp
скор
уст 2
pWW W W kk
12 1 2 12
0
p
. (5.7)
(0) (0)
,
Для уменьшения скоростной ошибки необходимо увеличивать общий коэффициент усиления разомкнутой системы.
Теперь рассмотрим случай, когда интегратор включен в разомкнутую цепь после возмущающего воздействия (рис. 5.5). Найдем изображение ошибки регулирования:
WW
22
VYV M X V MW
() ( )
pp
.
1
Выразим из полученного уравнения :
WW W
12 2
VM
,
pp
114
p
VWM
p
WW
12
2
. (5.8)
Определим оригинал статической ошибки:
pv mW mW
уст уст 2 уст 2
0уст
pWW W W k
12 1 2 1
p
0
(0)
(0) (0)
1
m
.
ε
Рис. 5.5. Структурная схема астатической системы с интегратором, включенным после
возмущающего воздействия
Как видим, в данном случае присутствует только составляющая
статической ошибки, обусловленная возмущающим воздействием.
То есть рассматриваемая система является астатической по входному
воздействию и статической – по возмущающему воздействию. При
этом статическая ошибка будет тем меньше, чем больше
При линейном нарастании сигнала на входе изображение ошибки
примет вид
2
//
ppmWp mW
уст 2 уст 2
pWW ppWW
12 12
()
Определим оригинал ошибки при t :
.
k
1
.
mW mW
уст 2 уст 2
pWW W W kk k
12 1 2 12 1
0
p
(0) (0)
(0)
11
m
. (5.9)
уст
Полученная ошибка имеет две составляющие, первая из которых
пропорциональна скорости нарастания сигнала (скоростная ошибка), а
вторая – величине возмущающего воздействия. Обе составляющие могут быть уменьшены путем увеличения
115
.
k
1
Пример 5.1
Определить относительную статическую ошибку по входному воздействию в системе, структурная схема которой приведена на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Структурная схема САУ для примера 5.1
Запишем передаточные функции частей разомкнутой системы,
включенных до и после возмущающего воздействия:
4/ 50 4 50 50
()
Wp
1
p
1(4/)101 4101(0,251)(101)
pp p p p p
,
() 1Wp
2
.
Разомкнутая система не содержит в своем составе последовательно
включенного интегратора (имеющийся в схеме интегратор охвачен
обратной связью). Следовательно, рассматриваемая САУ является статической, а относительная статическая ошибка по входному воздействию может быть определена по формуле (5.4)
0отн
v
111
kk W W
11(0)(0)1501
12 1 2
0,0196 1,96 %
.
Пример 5.2
Определить статическую и скоростную ошибки в системе, структурная схема которой приведена на рис. 5.7. При определении скоростной ошибки принять скорость нарастания входного сигнала
11c
.
0,1р + 1
Рис. 5.7. Структурная схема САУ для примера 5.2
Разомкнутая система содержит в своем составе последовательно
включенный интегратор до возмущающего воздействия. Следователь-
116
но, рассматриваемая САУ является астатической как по входному, так
p
g
p
g
и по возмущающему воздействиям. Таким образом, статическая ошибка равна нулю.
Запишем передаточные функции частей разомкнутой системы,
включенных до и после возмущающего воздействия, без учета интегратора:
() 10
Wp
1
220
0,1 1 0,1 1
pp
,
() 4Wp
2
.
Определим скоростную ошибку по формуле (5.7):
скор
12 1 2
(0) (0) 20 4kk W W
1
0,0125 с
1
.
5.3. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
В большинстве случаев вычисление переходной функции системы
является трудоемкой задачей. Поэтому для оценки качества переходных процессов используют косвенные методы. В инженерной практике
широкое распространение получили частотные методы анализа, основанные на рассмотрении графиков частотных характеристик. Применение этих методов позволяет оценить такие важные показатели качества, как время переходного процесса и перерегулирование [1, 2, 4].
5.3.1. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
И ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ
Согласно (2.30), изображением импульсной переходной функции
()gt
является передаточная функция системы
()W
. Пользуясь фор-
мулой обращения Римана–Меллина (2.24), запишем связь между этими
функциями:
Cj
1
teWpdp
() ( ) .
2
j
Cj
pt
j
Полагая
, перейдем от передаточной функции к обобщенной
частотной характеристике:
j
11
teWjdjeWjd
() ()() ()
22
jt jt
j
j
117
.
Выделим в
j
g
g
g
g
te
разложим по формуле Эйлера:
()Wj
вещественную и мнимую части, а экспоненту
jt
cos sin
etjt
.
В результате получим следующее выражение для импульсной пе-
реходной функции:
1
() (cos sin ) () ()
ttjtRjId
2
1
() ()cos ()sin ()sin ()cos
tRtItjRtItd
2
,
.
Покажем, что мнимая часть в полученном выражении равна нулю.
Функция
ной. ВЧХ
ется четной функцией. МЧХ
ные степени частоты (
()sinRt
cos t
является четной функцией частоты, а sin t – нечет-
()R
содержит четные степени частоты (2 , 4 , …) и явля-
()I
нечетная, так как содержит нечет-
, 3 , …). Следовательно, произведения
()cosIt
и
представляют собой нечетные функции, а
интегрирование их суммы во всем диапазоне частот дает
1
2
()sin ()cos 0
RtI td
.
Таким образом, выражение для импульсной переходной функции
принимает вид
1
() ( )cos ( )sin
tRtItd
2
.
Так как подынтегральная функция четная, можно перейти к инте-
грированию только по положительным частотам и удвоить результат:
1
tRtItd
0
cos sin
Поскольку интегрирование осуществляется по
при
импульсная переходная функция равна нулю, формулу (5.10)
0t
118
. (5.10)
, и известно, что
можно упростить. Для этого, полагая
R
g
g
, запишем формулу (5.10)
0t
для времени t :
1
() ()cos ()sin 0gt R tI td
0
.
Из полученного уравнения следует соотношение
()cos ()sin
00
td I td
. (5.11)
После подстановки (5.11) в (5.10) получим две формулы для им-
пульсной переходной функции, справедливых при
2
tR td
() ( )cos
tItd
() ( )sin
0
2
0
, (5.12)
.
:
0t
На практике чаще используется формула (5.12), устанавливающая
связь между импульсной переходной функцией и ВЧХ.
Обычно анализ свойств системы осуществляется по переходной
функции. Установим ее связь с ВЧХ.
5.3.2. ВЗАИМОСВЯЗЬ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ
Переходная и импульсная переходная функции связаны соотноше-
нием (2.31)
t
() ( )
ht g d
0
.
Подставив в него (5.12), получим
t
2
ht R d d
00
()cos( )
119
.
Изменим порядок интегрирования:
tt
22
ht R d d R d d
() ()cos( ) ()cos( )
00 0 0
.
Взяв внутренний интеграл, получим соотношение, связывающее
переходную функцию и ВЧХ:
2sin
() ( )
ht R d
0
t
. (5.13)
Эта формула будет использована для получения частотных оценок
качества переходного процесса. Определение переходной функции по
(5.13) возможно только численными методами с применением ЭВМ.
5.3.3. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА
Рассмотрим основные свойства вещественных частотных характеристик и соответствующих им переходных процессов. Из (5.13) следуют основные свойства
()R
и
()ht
. Приведем их без доказательств.
1. Если ВЧХ системы можно представить суммой
n
,
где
() ()
RCR
kk
k
1
– некоторые постоянные, то переходная функция также может
C
k
быть представлена суммой составляющих:
n
() (),
ht Ch t
k
1
kk
где
ht
– переходная функция, соответствующая
k
2sin
() ( )
ht R d
kk
0
t
.
()
R
k
:
2. Если частотные характеристики двух систем связаны следую-
щим образом:
() ( )RRa
21
ведливо соотношение
, то для переходных характеристик спра-
() ( / )ht hta
21
.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]