Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
щением его на ленточном транспорте ( – время движения между
j
j
определенными точками).
Переходная и импульсная переходная функции звена запаздывания
имеют вид (рис. 3.19):
() ( )ht t
0
h
,
() ( )gt t
1
g
.
k
0
Рис. 3.19. Переходная (а) и импульсная переходная (б) функции
Im
0
а
Рис. 3.20. Амплитудно-фазовая (а), амплитудная частотная (б)
и фазовая частотная (в) характеристики звена запаздывания
а
1
Re
t
звена запаздывания
A
1
0
б
0
–180°
б
0
в
Рассмотрим частотные характеристики звена. Обобщенная частот-
ная характеристика
e
.
()
W
t
Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой окруж-
ность единичного радиуса (рис. 3.20, а), причем одному обороту вектора ( )Wj соответствует изменение
на величину
2
.
Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют вид
(рис. 3.20):
() 1A , ( ) .
61
3.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
При изображении структурной схемы САУ применяют следующие
обозначения ее элементов.
Блок с указанной внутри него динамической характеристикой
элемента (как правило, передаточной функцией). Входной и выходной
сигнал блока обозначаются стрелками (рис. 3.21).
u
Рис. 3.21. Изображение блоков на структурной схеме
2
0,1 + 1p
y
Сумматор (рис. 3.22), выход которого равен сумме входных
сигналов. Знак каждого сигнала может быть указан возле соответствующего входа (рис. 3.22, а) или закрашиванием секторов внутри сумматора; при этом сигналы, подходящие к закрашенным секторам, суммируются со знаком «–» (рис. 3.22, б).
а
Рис. 3.22. Изображение сумматора на структурной схеме
б
Интегратор может быть условно обозначен символом интегри-
рования (рис. 3.23, а) или как другие блоки – передаточной функцией
(рис. 3.23, б).
а
б
Рис. 3.23. Изображение интегратора на структурной схеме
Структурная схема может быть построена как на основе дифференциальных уравнений, так и передаточных функций элементов САУ.
При этом существует множество вариантов решения. Возможен и
62
обратный переход, т. е. на основе структурной схемы можно получить
p
дифференциальное уравнение системы, причем в данном случае решение будет единственным. Решение обеих задач связано с преобразованием структурных схем.
3.3. ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
3.3.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ
Последовательное соединение m звеньев с передаточными функциями
(), (), , ()
WpWp W p
12
показано на рис. 3.24. Выход каждого зве-
m
на, кроме последнего, является входом последующего. При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных
звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией ( )Wp,
равной произведению передаточных функций отдельных звеньев:
m
() ()
Wp Wp
1
i
Рис. 3.24. Последовательное соединение
. (3.24)
i
звеньев
m
В этом нетрудно убедиться, если изображение выхода каждого звена, начиная с последнего, представить как произведение изображения
входа и передаточной функции этого звена:
YXW XWW UWW W
12112
mm m mm m
.
Для упрощения записи в приведенном выражении опущены обозначения зависимости передаточных функций от
Выразив отношение
() ()YpUp
, получим общую передаточную
.
функцию (3.24).
3.3.2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ
При параллельном соединении на вход всех звеньев подается один и
тот же сигнал, а выходные переменные складываются (рис. 3.25). Цепь
параллельно соединенных звеньев c передаточными функциями
из
m
63
X
X
X
X
x
x
x
Рис. 3.25. Параллельное
соединение звеньев
(), (), , ()
WpWp W p
12
можно за-
m
менить одним звеном с передаточной функцией ( )Wp, равной сумме
передаточных функций отдельных
звеньев:
m
() ()
Wp W p
1
i
. (3.25)
i
Для доказательства определим
изображение выхода каждого отдельного звена:
11
22
,
UW
, …,
UW
mm
.
UW
Сложим эти уравнения:
m
1
i
Выразив отношение
YUWW W
im
12
() ()YpUp
, получим общую передаточную
.
функцию (3.25).
3.3.3. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход (рис. 3.26).
При этом если сигнал
обратной свя-
2
зи вычитается из входного воздействия,
т. е.
12
, то обратную связь
ux
называют отрицательной. Если же
, обратная связь называется
ux
12
положительной.
Рис. 3.26. Отрицательная
обратная связь
Отрицательная обратная связь
Два звена, соединенные по схеме отрицательной обратной связи,
можно заменить одним с некоторой передаточной функцией ( )Wp.
Для определения общей передаточной функции ( )Wp запишем урав-
нение звена
в операторной форме:
()Wp
1
64
()( )YXW UXW UYWW
X
11 2 1 2 1
Сгруппируем слагаемые, содержащие
ную функцию:
.
()Yp
, и найдем передаточ-
,
()
Wp
1
12
. (3.26)
()
Wp
(1 )YWWUW
12 1
()
Yp
() 1 () ()
Up W pW p
Таким образом, общая передаточная функция звеньев, соединенных по схеме отрицательной обратной связи, равна дроби, в числителе
которой стоит передаточная функция прямого канала
()Wp
1
, а в зна-
менателе – единица плюс произведение передаточных функций прямого
и обратного
()Wp
1
()Wp
2
каналов.
Положительная обратная связь
Два звена, соединенные по схеме положительной обратной связи,
можно заменить одним с передаточной функцией:
()
Wp
()
Wp
1
1()()
WpW p
12
. (3.27)
Вывод этой формулы аналогичен случаю отрицательной обратной
связи. Отличие заключается в знаке второго слагаемого знаменателя.
3.3.4. ПЕРЕНОС СУММАТОРА
В некоторых случаях для получения с помощью структурных преобразований общей передаточной функции системы необходимо перенести сумматор через звено ближе к входу или выходу. При этом выходной сигнал изменяемой части схемы должен оставаться неизменным.
Рассмотрим случай, когда сумматор переносится через звено ближе
к выходу (по ходу сигнала). Исходная структура системы показана на
рис. 3.27, а. Выразим изображение выхода ( )Yp через изображения
сигналов ( )Up и ( )
p :
()YUWXWUWWXW
12122
65
.
а
Рис. 3.27. Исходная (а) и преобразованная (б) структурные схемы
при переносе сумматора по ходу сигнала
б
Полученному после раскрытия скобок выражению соответствует
структурная схема, приведенная на рис. 3.27, б.
Таким образом, при переносе сумматора по ходу сигнала необходимо добавить звено с передаточной функцией, равной передаточной
функции звена, через которое переносится сумматор.
а
Рис. 3.28. Исходная (а) и преобразованная (б) структурные схемы
при переносе сумматора против хода сигнала
б
Если сумматор переносится против хода сигнала, то необходимо
добавить звено с передаточной функцией, обратной передаточной
функции звена, через которое переносится сумматор (рис. 3.28).
3.3.5. ПЕРЕНОС УЗЛА
При переносе узла также необходимо добавление дополнительного
звена в структурную схему. Если узел переносится по ходу сигнала, то
добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной
функции звена, через которое переносится узел (рис. 3.29). Если узел
переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной
функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 3.30).
66
а
б
Рис. 3.29. Исходная (а) и преобразованная (б) структурные схемы
при переносе узла по ходу сигнала
а
б
Рис. 3.30. Исходная (а) и преобразованная (б) структурные схемы
при переносе узла против хода сигнала
Пример 3.1
Определим общую передаточную функцию системы, структурная
схема которой приведена на рис. 3.31.
Рис. 3.31. Структурная схема системы
для примера 3.1
Определим эквивалентную передаточную функцию последовательного соединения звеньев
()Wp
1
WWW
Э1 1 2
и
()Wp
2
.
:
Получим эквивалентную структурную схему, показанную на
рис. 3.32, а.
67
Э2
Э1
а
Рис. 3.32. Эквивалентные структурные схемы системы для примера 3.1
б
Передаточная функция параллельного соединения звеньев
и
с
:
()Wp
3
WWWWWW
Э2 Э1 3 1 2 3
Как видно из рис. 3.32, а, звено
; эквивалентная передаточная функция этого соединения имеет
()Wp
4
Э2
()Wp
.
соединено последовательно
()Wp
Э1
вид
Э3 Э2 4 1 2 3 4
()WWWWWWW
.
Исходная схема не содержит звеньев в обратной связи. Для использования выражения (3.26) можно формально включить в обратную
связь пропорциональное звено с коэффициентом усиления 1 (см.
рис. 3.32, б). Тогда общая передаточная функция системы примет вид:
WWWWW
W
Э3 1 2 3 4
111( )
WWWWW
Э3 1 2 3 4
()
.
Пример 3.2
Определим общую передаточную функцию системы, структурная
схема которой приведена на рис. 3.33.
В данном случае невозможно непосредственно применить формулы для нахождения эквивалентной передаточной функции последовательного (3.24) или параллельного (3.25) соединения звеньев, а также
обратной связи (3.26). Необходимо преобразовать схему, применив
перенос сумматора или узла.
68
Рис. 3.33. Структурная схема системы для примера 3.2
Перенесем сумматор 1 в направлении сигнала через звено
W
В результате получим схему, показанную на рис. 3.34. Определим эквивалентные передаточные функции, обозначенные на рисунке:
W
1
WWW
2
2
215
Э2
Э1
2
215
W
3
WW
36
,
.
W
Э1
W
1
WW WWW WW
Э1 3 2 1 5 2 3
W
Э2
11
WWW WWW WWW
Э1 3 6 2 1 5 2 3 6
Рис. 3.34. Эквивалентная структурная схема системы
W
1
1
WWW
для примера 3.2
.
1
Общая передаточная функция:
WWWW
1Э2 4
WWWW
1234
1
WWW WWW
215 2 36
69
.
3.3.6. ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ НА ОСНОВЕ
y
y
y
y
y
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
На практике часто возникает задача реализации регулятора по известной динамической характеристике: дифференциальному уравнению или передаточной функции. Для ее решения предварительно составляется структурная схема регулятора, элементы которой в последующем реализуются в виде физических устройств. При этом структурная схема должна содержать максимально простые звенья – пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие.
Рассмотрим сначала построение структурной схемы по известному
дифференциальному уравнению, не содержащему производных входного воздействия:
() ( 1) ( 2)
nn n
a
nn n
a
12 100
a
aya
bu
.
Разрешим уравнение относительно старшей производной:
aa ab
() ( 1) ( 2)
nnn
yyy yyu
12 00
nn
aa aaa
nn nnn
a
1
.
(3.28)
Запишем уравнения, связывающие производные выходной переменной:
nn n
(1) (1) ()
yy ydt
nn n
(2) (2) (1)
yy ydt
yy ydt
t
(0) .
0
t
(0) ,
0
t
(0) ,
0
(3.29)
Структурная схема, соответствующая уравнениям (3.28) и (3.29),
приведена на рис. 3.35. На выходе первого сумматора (слева) форми-
руется сигнал
интегрируется
()n
в соответствии с уравнением (3.28), который затем
n раз с добавлением начальных условий для получения
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]