Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
вается собственной частотой апериодического звена, справедливо
g
условие
() ().LL
12
ЛАЧХ апериодического звена близка к асимптотам, причем
наибольшее отклонение соответствует собственной частоте
:
0
max 1 0 0 0
() ()20lg 20lg 20lg 1LL L k k T
20lg (1 ) 1 20 lg 2 3,01 дБ.TT
22
22
В инженерных расчетах такой разницей пренебрегают и считают,
что ЛАЧХ апериодического звена имеет вид ломаной, состоящей из
и
двух прямых (
L
1
на рис. 3.10).
L
2
3.1.5. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Форсирующим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид
() () ()ayt but but
010
.
Как правило, используют более удобную форму записи этого уравнения:
где
kba
– коэффициент усиления;
00
() () ()yt k ut Tut
Tbb
, (3.14)
– постоянная времени.
10
Преобразуем в уравнение (3.14) в операторную форму:
() () ()Yp kUp TpUp
, () ()( 1)Yp kUpTp.
Определим передаточную функцию:
()
Yp
() ( 1)
Wp kTp
()
Up
. (3.15)
Нетрудно убедиться в том, что уравнение форсирующего звена
представляет собой сумму уравнений пропорционального и дифференцирующего звеньев. Поэтому переходная и импульсная переходная
функции звена имеют вид
() () ()ht k t kT t
01
,
51
() () ()
tktkTt
12
.
Обобщенная частотная характеристика
R
() (1 )Wj k jT . (3.16)
Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика показана на
рис. 3.11, а. Выделим из (3.16) вещественную и мнимую частотные
характеристики: ( )
k , ( )IkT .
Определим амплитудную и фазовую частотные характеристики:
() () () 1ARIkT ,
tg ( ) ( ) arctg( )
22 22
()
IkT
()
Rk
TT
.
АЧХ и ФЧХ форсирующего звена показаны на рис. 3.11.
φ
а
Рис. 3.11. Амплитудно-фазовая (а), амплитудная частотная (б) и фазовая
частотная (в) характеристики форсирующего звена
б
ω
в
ω
Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной
характеристики:
() 20lg () 20lg 1 20lg 20lg1LA kT k T
22 22
.
Эта характеристика имеет следующие асимптоты:
в области низких частот, когда
в области высоких частот при
:
1 T
() () 20lgLL k
:
1 T
1
() () 20lgLL k
2
;
20lg( )T.
Графиком
с наклоном
20 дБ дек
является горизонтальная прямая,
()L
1
(рис. 3.12). На частоте
– прямая
()L
2
, которая назы-
1 T
0
вается собственной частотой форсирующего звена, справедливо
условие
() ().LL
12
52
1
y
L, дБ
20 lg kL
L
2
+20 дБ/дек
L
L
max
0
lg
0
lg , дек
,°
°
°
0
Рис. 3.12. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена
lg , дек
ЛАЧХ форсирующего звена близка к асимптотам. Наибольшее отклонение, соответствующее собственной частоте
для апериодического звена:
3.1.6. ЗВЕНО ВТОРОГО ПОРЯДКА
max
3, 01 дБL
.
, такое же, как и
0
Звено второго порядка описывается дифференциальным уравнением
() () () ()ayt ayt ayt but
2100
.
Как правило, используют более удобную форму записи этого
уравнения:
2
где
Taa
() 2 () () ()TytdTyt
– постоянная времени звена;
20
tkut
, (3.17)
(2 )da aT
10
– коэффи-
циент демпфирования, который определяет склонность переходных
процессов к колебаниям;
kba
– коэффициент усиления.
00
Преобразуем уравнение (3.17) в операторную форму:
22
() 2 () () ()TpYp dTpYp Yp kUp
22
()( 2 1) ()YpTp dTp kUp
,
.
53
Определим передаточную функцию:
()
Yp k
()
Wp
() 2 1
Up Tp dTp
22
. (3.18)
Найдем изображения переходной и импульсной переходной функций, используя (2.29) и (2.30):
()
Wp k
()
Hp
ppTpdTp
22
(21)
,
() ()
Gp Wp
Tp dTp
Функция ( )Gp имеет два полюса
k
22
21
и
p
1
.
, являющиеся корнями
p
2
характеристического уравнения
22
210Tp dTp
У функции ( )Hp два полюса
имеется третий полюс
3
.
0p
,
p
p
1
В зависимости от коэффициента демпфирования корни
. (3.19)
такие же, как у ( )Gp, а также
2
и
p
1
p
могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, что приводит к различным переходным процессам в звене. Рассмотрим динамические характеристики звена второго порядка при указанных вариантах корней.
, где
1d
)
и
1
– действи-
2
Апериодическое звено второго порядка (
Если
ные. Введем обозначения:
1d
, то корни уравнения (3.19) вещественные отрицатель-
p
11
,
p
22
тельные положительные числа. В этом случае знаменатель передаточной функции можно разложить на два сомножителя:
()
Wp
11
12
kk
(1)(1)
Tp T p
11
pp
12
. (3.20)
Переходная и импульсная переходная функции имеют вид
(рис. 3.13 и 3.14):
2
54
tt
ht k e e
() 1
TT TT
12 12
gt e e
()
TT
12
TT
TT
12
12
tt
k
TT
12
.
,
h
d = 0
d = 0, 4
d = 0,7
k
d = 2
d = 1
0
t
Рис. 3.13. Переходные функции звена второго порядка
g
d = 2
d = 1
d = 0,7
d = 0,4
d = 0,1
0
t
Рис. 3.14. Импульсные переходные функции звена
второго порядка
Рассмотрим частотные характеристики звена. Обобщенная частотная характеристика
()
Wj
(1 )(1 )
k
jT jT
12
55
. (3.21)
Амплитудно-фазовые характеристики для
на рис. 3.15.
Im
d = 0
0
d = 2
1d
и
k
Re
2d
показаны
d = 0,4
d = 0,7
Рис. 3.15. Амплитудно-фазовые
характеристики звена второго порядка
d = 1
Амплитудную частотную характеристику (рис. 3.16) определим,
подставив в (3.21) модули отдельных сомножителей числителя и знаменателя:
()
A
11
k
jT jT
12
(1 )(1 )
k
22 22
TT
12
.
Фазовую частотную характеристику (рис. 3.16) найдем как сумму
ФЧХ сомножителей
1kjT
1
() arctg( ) arctg( )TT
1
и
1 jT
12
:
2
.
Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной
характеристики:
() 20lg() 20lg
LA
(1 )(1 )
20lg 20lg 1 20lg 1kT T .
22 22
12
k
22 22
TT
12
ЛАЧХ близка к ломаной линии (рис. 3.17), которая строится следующим образом. Откладывается низкочастотный участок, представ-
ляющий собой горизонтальный луч в диапазоне
lg ; lg(1 )T
ординатой 20lg k . Затем строится отрезок с наклоном
56
20 дБ дек
1
с
на
участке
lg lg(1 ); lg(1 )TT
диапазона частот
12
lg lg(1/ )T
и луч с наклоном
.
2
40 дБ дек
для
A
k
d = 1
d = 2
d = 2
d = 1
0
0
Рис. 3.16. Амплитудные и фазовые частотные
характеристики звена второго порядка
1/T
d = 0
d = 0
d = 0,4
d = 0,7
d = 0,4
d = 0,7
L, дБ
–20 дБ/дек
20 lgk
–40 дБ/дек
0
lg T
lg T
1
2
lg , дек
,°
0
lg T
lg , дек
–°90
–18 °0
Рис. 3.17. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического
звена второго порядка
57
ЛАЧХ апериодического звена второго порядка также может быть
pj
g
заменена ломаной линией, состоящей из двух лучей (показаны пунктиром на рис. 3.17) и содержащей одну точку излома с абсциссой
lg(1 ).T
В этом случае отклонение от реальной ЛАЧХ больше, чем при учете
двух точек излома.
Колебательное звено второго порядка (
Если
сопряженные, т. е.
01d
, то корни уравнения (3.19) комплексно-
1,2
, где и – положительные веще-
01d
)
ственные числа.
Переходная и импульсная переходная функции имеют вид
(рис. 3.13 и 3.14):
d
() 1 cos sin
ht k e t t
t
T
te t
() sin
1
Td
22
11
dd d
TT
d
t
kd d
T
2
2
1
d
2
1
.
T
,
Рассмотрим частотные характеристики звена. Обобщенная частотная характеристика
()
Wj
22 22
() 2()1(1 ) 2
Tj dTj T jdT
kk
. (3.22)
Выделим вещественную и мнимую частотные характеристики. Для
этого умножим числитель и знаменатель ( )Wj на функцию, ком-
плексно-сопряженную знаменателю:
22
(1 ) 2
TjdT
()
Wj k
222 2
(1 ) (2 )
TdT
,
()
R
()
I
22
(1 )
kT
222 2
(1 ) (2 )
TdT
2
kdT
222 2
(1 ) ( 2 )
TdT
58
,
.
Амплитудно-фазовые характеристики для различных
0d
ны на рис. 3.15.
Амплитудную частотную характеристику (рис. 3.16) определим из
(3.22) как отношение модулей числителя и знаменателя:
показа-
k
222 2
TdT
.
, амплитуда уменьшается с увеличени-
В случае, если
ем
. При
нечность при
()
A
(1 ) (2 )
0,707 1d
0,707d
АЧХ имеет максимум, который уходит в беско-
0d
. Для определения частоты, соответствующей максимуму, приравняем производную АЧХ к нулю и решим полученное
уравнение:
2222
() 1 2
dA d
dT
2(12)
kT d T
222 2
TdT
(1 ) (2 )
3/2
0
m
2
.
Значение АЧХ в точке максимума:
AA
()
mm
k
21
dd
2
.
Определим фазовую частотную характеристику (рис. 3.16):
() 2
IdT
() arctg arctg
() 1
RT
22
.
Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной
характеристики:
() 20lg () 20lg
LA
(1 ) (2 )
k
222 2
TdT
20lg 20lg (1 ) (2 ) .kTdT
222 2
Эта характеристика имеет следующие асимптоты:
в области низких частот, когда
в области высоких частот при
20lg( ) 20lg 40lg( )TkT
22
.
59
1 T
1 T
:
() () 20lgLL k
:
1
() () 20lgLL k
2
;
При значениях
p
же
0,5d
, характеристика имеет заметный максимум, превышение
0,5 1d
ЛАЧХ близка к ломаной (рис. 3.18). Если
которого над ломаной линией [4]:
L
20lg
m
1
dd
21
2
. (3.23)
L, дБ d = 0,1
L
m
20 lgk
,°
d = 0,9
0
0
lg T
–40 дБ/дек
lg , дек
lg , декd = 0,1
–°90
Рис. 3.18. ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена
второго порядка
Колебательное звено в частном случае
d = 0,9
0d
, когда ( )ht становит-
ся незатухающей, носит название консервативного звена.
3.1.7. ЗВЕНО ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Звено запаздывания описывается уравнением
() ( )yt ut,
где
– постоянная величина запаздывания.
Запишем уравнение звена в операторной форме, применив теорему
запаздывания (2.12), и определим передаточную функцию:
() () ()
Yp e Up Wp e
p
.
Примерами звеньев с запаздыванием могут служить линия связи
(
– время прохождения сообщения), дозирование вещества с переме-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]