Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
Его корни называются полюсами, а корни полинома числителя пе-
L
L
редаточной функции – нулями системы (или ее элемента).
Передаточные функции принято записывать в стандартной форме,
в которой свободные члены числителя и знаменателя равны единице:
1
11
11
1
1
,
1
()
Wp k
mm
dp d p dp
mm
nn
cp c p cp
nn
где
kba
[1; ]jm
– коэффициент усиления;
00
.
caai n
ii
,1;
0
dbb
;
jj
0
Пример 2.10
Определим передаточную функцию синхронного генератора в системе автоматического регулирования возбуждения. Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в объекте управления, получено в примере 2.1:
yRyku
.
xxff
Запишем это уравнение в операторной форме:
() () ()
pY p R Y p k U p
ff
Выразим отношение
xx
() ()Yp Up
()( ) () .
Yp Lp R Upk
,
ff
xx
, являющееся передаточной функ-
цией:
Yp
Wp
()
() 1
Up Lp R R L R p
() ( ) 1
kk
xx xx
fffff
.
Пример 2.11
Определим передаточную функцию двигателя постоянного тока с
независимым возбуждением. Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в объекте управления, получено в примере 2.2:
,
()( )LJ y c L RJ y Rc c c y c u
33122
.
Запишем это уравнение в операторной форме:
2
() ( ) ( ) ()Yp LJp cL RJp Rc cc cUp
33122
.
31
Выразим отношение
p
p
цией:
() ()Yp Up
, являющееся передаточной функ-
Wp
()
Yp
()
() ( ) ( )
Up LJp cL RJp Rc cc
2
c
2
3312
.
2.5. ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ
Переходной функцией САУ (или ее элемента) называют функцию
()ht , описывающую изменение выходной переменной, когда на вход
подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных
условиях.
На рис. 2.9 приведен пример переходной функции САУ.
δ0(t)
Рис. 2.9. Пример переходной функции
Для аналитического определения переходной функции по известному дифференциальному уравнению необходимо решить это уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии.
Найдем связь между переходной и передаточной функциями. Обозначим изображение переходной функции ( )Hp. Тогда с учетом (2.5)
() ()
Yp Hp
() ()
Wp pHp
() 1
Up p
.
Таким образом, изображение переходной функции есть передаточная функция, деленная на
:
L
() ( )
ht H p
()
Wp
. (2.29)
При исследовании реального объекта переходную характеристику
можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход сту-
32
пенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное
p
g
воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию
() ()ut k t
, то выходная величина будет равна ( ) ( )yt kht .
0
Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие непосредственно, не прибегая к другим динамическим характеристикам. Покажем это.
Из определения передаточной функции и (2.29) имеем
() () () ()() () ()Yp WpUp pHpUp Hp pUp
.
Изображением выходной переменной является произведение двух
изображений, причем оригинал первого из них известен:
Hp ht
L
() ()
а оригинал второго можно определить по теореме об изображении
L
производных (2.16):
() ()
Up ut
. Применив теорему свертывания
(2.23) получим
tt
() ( ) () () ( )
yt ht u d h ut d
00
.
2.6. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ
Импульсной переходной функцией САУ (или ее элемента) называют
функцию ( )
t , описывающую изменение выходной переменной, когда
на вход подается воздействие типа единичной импульсной функции
первого порядка при нулевых начальных условиях (рис. 2.10).
δ1(t)
Рис. 2.10. Пример импульсной переходной функции
,
Найдем связь между импульсной переходной и передаточной
функциями. Обозначим изображение импульсной переходной функции
()Gp. Тогда с учетом (2.13)
() ()
Yp Gp
() ()
Wp Gp
() 1
Up
33
.
Таким образом, изображение импульсной переходной функции
g
g
есть передаточная функция:
L
() () ()
tGpWp
. (2.30)
Очевидно, что переходная и импульсная переходная функции однозначно связаны между собой соотношениями
() ()
tht
,
t
() ( )
ht g d
0
. (2.31)
Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию
системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных
условиях. Из определения передаточной функции и (2.30) имеем
() ()() () ()Yp WpUp GpUp.
Применив теорему свертывания (2.23), получим
tt
() ( ) () () ( )
yt gt ud gut d
00
.
2.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важными динамическими характеристиками САУ (или ее элемента)
являются частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь параметров гармонических сигналов на входе и выходе.
Пусть на вход линейной САУ (или ее элемента) подается гармонический сигнал заданной амплитуды
и частоты
a
u
:
u
() cos
ut a t
uu
.
Используя (2.8) и (2.9), можно определить изображение входного
сигнала:
ap
()
Upp
u
.
u
22
В общем случае передаточная функция САУ (или ее элемента)
имеет вид
34
1
j
j
M
M
p
110
1
110
()
Wp
Up ap a p ap a
()
Yp
()
mm
bp b p bp b
mm
nn
nn
Найдем изображение выходного сигнала:
.
1
.
()
110
122
Yp WpUp
() () ()
mm
bp b p bp b ap
ap a p ap a p
nn u
mm u
nn
110
Гармоническим входным воздействием обусловлены два полюса
функции ( )Yp с нулевой вещественной частью:
pj
u
и
pj
u
При определении оригинала ( )yt вычеты в этих точках дают слагае-
мые вида
tce
u
и
1
tce
u
, где
2
и
c
1
– некоторые постоянные. Далее
c
2
по формуле Эйлера эти слагаемые могут быть преобразованы в синусоидальную функцию времени:
const
a
2
y
(см. пример 2.9).
ata t
12
yuy u
,
a
1
y
const
sin cos
Оставшиеся полюсы для устойчивой САУ (см. раздел 4) имеют отрицательную вещественную часть, и в оригинале ( )yt им соответ-
ствуют слагаемые вида
константы, причем
, 1, 2, ,kn , где
k
. Очевидно, что при t эти слагаемые
0
k
и
d
k
– некоторые
k
t
k
de
стремятся к нулю.
Таким образом, в установившемся режиме выходной сигнал также
является гармоническим, причем той же частоты, что и входной:
( ) sin cos cos( )
где
yt a t a t a t
a
и
y
– амплитуда и фаза выходного сигнала.
y
12
yuy uy uy
,
В рассмотренном случае функции ( )ut и ( )yt имеют нулевой по-
рядок возрастания:
()
ut Me
u
,
yt M e
0()t
, где
y
и
u
– неко-
y
0
t
торые постоянные. Поэтому в изображениях функций можно принять
j
Re 0p , т. е.
. Выполняя такую замену в передаточной функ-
ции САУ (или ее элемента), получим обобщенную частотную характеристику:
1
1
.
()
Wj
mm
() () ()
bj b j bj b
mm
() () ()
aj a j aj a
nn
110
nn
110
.
,
35
Обобщенная частотная характеристика может быть построена на
R
A
R
A
I
W(j
комплексной плоскости; при этом каждому значению частоты
ответствует вектор
Wj
. При изменении от 0 до конец этого
()
i
со-
i
вектора «прочерчивает» на комплексной плоскости кривую (рис. 2.11),
которая называется амплитудно-фазовой характеристикой.
Обобщенную частотную характеристику, являющуюся функцией
комплексной переменной, можно представить состоящей из двух действительных функций в алгебраической или показательной форме
j
( ) () () ()
Wj R jI A e
.
Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:
() Re ( )
Wj – вещественная частотная характеристика
(ВЧХ);
() Im ( )IWj – мнимая частотная характеристика (МЧХ);
() ( )
Wj
– амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
() arg ( )Wj – фазовая частотная характеристика (ФЧХ).
(ωi)
φ(ωi)
(ωi)
(ωi)
ωi)
Рис. 2.11. Пример амплитудно-фазовой
характеристики
Перечисленные характеристики связаны между собой следующими
соотношениями:
() () ()ARI ,
22
tg () () ()IR
.
Вещественная и мнимая частотные характеристики используются в
основном в математических выкладках. Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют определенный физический смысл:
36
АЧХ показывает отношение амплитуды выходной величины к
L
амплитуде входного воздействия при различных частотах;
ФЧХ показывает разность фаз выходного и входного сигналов
(фазовый сдвиг) на различных частотах.
Из приведенной физической интерпретации АЧХ и ФЧХ ясно, что
они могут быть построены экспериментальным путем. Для этого применяется специальная аппаратура, в состав которой входят генератор
гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для
измерения амплитуды и фазы колебаний.
Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории
автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что
операции умножения и деления обычных частотных характеристик во
многих случаях заменяются на операции сложения и вычитания логарифмических, а это позволяет строить их практически без вычислений.
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой
(ЛАЧХ) называется график функции:
() 20lg() 20lg ( )
AWj
. (2.32)
Единицей измерения ( )L является децибел (дБ), равный 0,1 Б.
Бел – это безразмерная единица, применяемая для измерения отноше-
ния энергетических величин (мощности, энергии, плотности потока
мощности и т. п.), равная
1Б lg( )PP
0
при
.
10PP
0
Поскольку мощность сигнала, как правило, пропорциональна квадрату его амплитуды, ЛАЧХ в белах определится по формуле
22 2
где
() lg lg () 2lg ()
LaaA A ,
Byu
a
и
– амплитуды выходной и входной переменной соответ-
a
y
u
ственно. Если выразить эту величину в децибелах, получим формулу
(2.32).
При изображении ЛАЧХ (рис. 2.12) для частоты принимается также логарифмический масштаб, т. е. по оси абсцисс откладывается lg .
Единицей измерения lg является декада – интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. Началу координат соответствует точка
0
1рад/c , так как lg1 0 ; точка
лежит на ЛАЧХ в .
37
L, дБ
0
lg
с
lg , дек
,°
0
Рис. 2.12. Пример логарифмических
амплитудной и фазовой частотных ха рактеристик
lg , дек
Частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью абсцисс,
называется частотой среза
. Важно иметь в виду, что ось абсцисс
c
(0)L согласно (2.32) соответствует значению 1A , т. е. прохожде-
нию амплитуды сигнала через САУ (или ее элемент) в натуральную
величину. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям
1A (усиление амплитуды), нижняя – значениям 1A (ослабление
амплитуды).
На практике применяется также и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). При ее изображении по оси абсцисс
откладывается lg , а по оси ординат – фаза в градусах в линейном
масштабе (рис. 2.12).
ЗАДАЧИ
2.1. Записать дифференциальное уравнение и передаточную функцию механической системы с пружинным маятником, показанной на
рис. 2.13, если масса груза равна
ванном состоянии
l
, коэффициент жесткости пружины k.
m , длина пружины в недеформиро-
2.2. Записать дифференциальное уравнение и определить передаточную функцию для объектов управления, схемы которых приведены
на рис. 2.14, а, б.
38
2.3. Найти передаточную функцию, полюса и нули объекта, диф-
x
x
ференциальное уравнение которого имеет вид:
а) 2 4 2 4yyyyu
б) 2 2 3yyyuuu
в) 7 5 5yyyuu
Рис. 2.13. Схема пружинного маятника
;
;
.
к задаче 2.1
а
Рис. 2.14. Схемы к задаче 2.2
б
2.4. Определить передаточную функцию по известным дифференциальным уравнениям состояния объекта:
,
xx
12
,
xx
23
а)
yx
xxxu
23 5,
3123
;
1
б)
xxx
112
xxx
213
3123
yx
1
39
,
5,
xxxu
32 4,
.
2.5. Перейти от передаточной функции к дифференциальному
p
уравнению объекта управления:
а)
()
Wp
5
2
42
pp
; б)
()
Wp
25
p
2
423
pp
.
2.6. Записать аналитические выражения для амплитудной и фазовой частотных характеристик, если известна передаточная функция
объекта:
а)
()
Wp
4
; б)
2
p
2
()
Wp
5
p
2
21
pp
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]