Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
jt jt jt jt
p
f
f
pf
p
p
f
f
ee e e
tjj
sin
j
222
.
Зная изображение показательной функции (2.7) и используя теорему
сложения (2.8), определим изображения тригонометрических функций:
11 11
cos
L
t
pj pj p
22
22
, (2.9)
sin
pj pj p
22
11
jj
L
t
Теорема подобия
L
() ( ) (Re )
Пусть
tFppC
, a – вещественное положитель-
0
ное число. Тогда
1
p
L
() (Re )
at F p aC
Для доказательства положим
Ф( ) ( )
aa
Ф( ) ( )
0
L
pt
e f at dt
Вводя новую переменную интегрирования
pp
pefd efd F
Ф( ) ( ) ( )
aa
00
11
aa aa
Теорема запаздывания
L
() ( )(Re )
Пусть
Определим изображение функции
относительно ( )ft и задаваемой равенствами
tFppC
.
0
()ft
. (2.10)
22
. (2.11)
0
at
, т. е.
.
получим
,at
.
, запаздывающей на время
Пример графиков функций ( )
()
ft
0при,
()при .
ft t
t и
21
t
приведен на рис. 2.6.
()ft
ft() f t()
f
f
f
00
Рис. 2.6. График функции
t
t
()ft и запаздывающей функции ()ft
+ t
t
Запишем интеграл (2.4) для запаздывающей функции:
Lpt pt pt pt
() () () () ( )
t e ftdt e ftdt e ftdt e ft dt
Произведем замену переменных
00
L
() () () ( )
t e e ftdt e e ftdt e Fp
pt p p pt p
00
tt
(или
tt
):
.
.
Таким образом, изображением запаздывающей функции является
L
p
() ( )
teFp
. (2.12)
Пример 2.7. Изображение импульсной функции первого порядка
Рассмотрим функцию
1при ,
th
0при .
(, )
1
hth
График
th
(, )th
1
показан на рис. 2.7.
Эту функцию можно трактовать как
силу постоянной величины
ствующую в течение времени
1 h
, дей-
h
. Им-
пульс этой силы не зависит от величи-
h
ны
:
Рис. 2.7. График
функции
(, ) 1thdt h
1
0
1
.
h
22
Если длительность рассматриваемого процесса велика по сравнению с временем действия силы, то можно считать, что она приклады-
() lim (, )
tth
вается мгновенно, и определять ее пределом
11
0
h
.
При этом импульс силы остается равным единице:
() (, ) 1tdt thdt
11
00
.
Найдем изображение функции
. Для этого представим ее в
(, )th
1
виде разности двух масштабированных единичных функций, одна из
которых запаздывает на время
(, ) () ( )
100
1111
th t t h
hhppph
Тогда для импульсной функции первого порядка
() lim (, ) lim 1
tth
11
hh
h
:
ph ph
L
ee
1
ph
1
e
L
00
.
ph
.
()t
Таким образом,
L
() 1
t
1
. (2.13)
Пример 2.8. Изображение импульсной функции второго порядка
Рассмотрим функцию
2
1при0,
График
hth
(, ) 1 при 2 ,
th h h t h
2
показан на рис. 2.8. Эту функцию можно предста-
(, )th
2
2
0при2.
th
вить в виде суммы трех масштабированных единичных функций с запаздываниями:
(, ) () 2 ( ) ( 2 )th t t h t h
2000
1
2
h
.
23
Определим изображение
f
f
f
ph ph ph
112 1 1(1 )
(, ) (1 2 ) .
2
L
th e e
22 2
hp p p ph p h
ee e
:
(, )th
2
22
2
ph ph
δ2(t, h)
Рис. 2.8. График функции
(, )th
2
При
0h
найдем изображение импульсной функции второго по-
рядка:
2
ph
( ) lim ( , ) lim
tth p
22
00
hh
L
1(1 )
ph
e
2
.
Таким образом,
()Ltp
2
. (2.14)
Изображения производных
Пусть дана некоторая функция ( )ft и известно ее изображение
L
() ( ) (Re )
tFppC
Запишем интеграл (2.4) для
() () ()
. Найдем изображение производной
0
:
()ft
Lpt pt
teftdtedft
00
.
Интегрирование по частям дает
L
() () () ( ) (0) ()
t e ft ftde f pe ftdt
pt pt pt
0
00
24
.
()ft
,
L
f
f
f
f
p
f
F
f
f
f
() ( ) (0)(Re ).
tpFp
В частном случае (0) 0f получаем
L
() ( )
tpFp
pC
(2.15)
0
, (2.16)
т. е. при нулевом начальном значении функции ( )
t операции ее диф-
ференцирования соответствует умножение изображения на
Введем обозначение
n
()
L
() ( )
tFp
n
. Тогда из формулы (2.15)
получим
() () (0)
ppFpf
1
Так как вторая производная функции ( )
.
t есть производная ее
первой производной, то
L
( ) ( ) (0) ( ) (0) (0)
ft pFp f pFp pf f
L
() ( ) (0) ( ) (0) (0) (0)
ft pFp f pFp pf pf f
1
2
2
32
Для n-й производной получим
nnnn n
() 1 2 ( 1)
ft pFppf pf f
L
( ) ( ) (0) (0) (0)
В частном случае нулевых начальных условий, т. е. при
(1)
n
(0) (0) (0) 0
ff f
имеем
nn
()
L
() ( )
tpFp
. (2.18)
.
,
.
. (2.17)
Изображения интегралов
Пусть дана некоторая функция ( )ft и известно ее изображение
L
() ( ) (Re )
tFppC
() ()tft
Поскольку
. Найдем изображение Ф( )p функции:
0
t
() ()
tftdt
0
.
и (0) 0, получим в соответствии с (2.16)
25
p
()
F
p
f
F
p
f
F
f
Ф( ) ( )
pFp ,
Ф( )
p
p
.
Таким образом,
t
() (Re )
tdt p C
0
L
()
Fp
p
. (2.19)
0
Для двойного интеграла, применяя (2.19), получим
t
t
2
() .
dt f t dt
211
00
()
L
p
2
Вообще, для любого целого n
t
t
n
dt dt f t dt p C
nn
00 0
t
2
() (Re )
111 0
L
()
Fp
n
p
. (2.20)
Из (2.19) и (2.20) видно, что операции интегрирования оригиналов
отвечает деление изображения на p; операции дифференцирования
оригинала, как было показано выше, отвечает (в частном случае нулевых начальных условий) умножение изображения на p. Отсюда следует, что параметр p приобретает характер оператора, что и дало основание назвать комплекс приемов, использующих преобразование Лапласа, операционным исчислением.
Теорема смещения
L
() ( ) (Re )
Пусть
tFppC
() ()(Re )
Fp e ft p C
L
, – вещественное число. Тогда
0
t
. (2.21)
0
По определению изображения (2.4)
()
pt pt t
() () ()
p e ftdt e e ftdt
00
.
Интеграл в правой части этого равенства есть изображение функ-
t
()
e
t
ции
.
26
Теорема свертывания (Бореля)
f
f
f
f
F
F
F
Если даны две функции
и
()ft
1
, то следующая функция назы-
()ft
2
вается их сверткой:
t
() ( ) ( )
tftfd
12
0
. (2.22)
Операция получения свертки называется свертыванием функций
и
()ft
1
функций –
()t . Действительно, сделав в (2.22) замену переменной
. Покажем, что свертка ( )ft не зависит от того, какая из
()ft
2
()ft
1
или
входит в интеграл (2.22) с аргументом
()ft
2
tt
получим
0
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t ftft tdt ftft tdt f ft d
12 12 12
t
tt
00
.
,
Пусть известны изображения функций
L
() ( )
tFp
11
() ( )
tFp
,
22
и
()ft
1
L
:
()ft
2
.
Найдем оригинал, отвечающий изображению
() () ()
pFpFp
12
Для этого запишем произведение изображений
() () () () () ()
pF p F p e f d e F p f d
12 1 2 12
pp
00
.
и
()Fp
1
()Fp
2
.
Оригинал, отвечающий записанному изображению, найдется с помощью теоремы запаздывания (2.12):
tt
() ( ) () ( )
pF p f t f d f t f t d
12 1 2 12
L
00
. (2.23)
Полученное выражение и дает теорему свертывания.
27
в виде
2.3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА
f
f
F
p
F
f
ПО ЗАДАННОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ
Если известно изображение ( )Fp оригинала ( )ft , то нахождение
самого оригинала сводится к решению следующего интегрального
уравнения относительно неизвестной функции ( )
pt
() ( )
eftdtFp
0
t :
.
Решением этого уравнения является комплексный интеграл, называемый формулой обращения Римана–Меллина [3]:
Cj
1
teFpdp
() ( ) .
2
j
Cj
pt
(2.24)
Интегрирование производится по прямой, параллельной мнимой
оси и расположенной в полуплоскости
Re pCC
Рассмотрим случай, когда операторное изображение ( )
ся отношением двух полиномов от
, причем степень числителя ниже
.
0
p являет-
степени знаменателя:
Fp
Fp
()
1
2110
mm
bp b p bp b
()
papap apa
()
mm
nn
nn
1
110
1
.
Тогда, согласно теореме Коши о вычетах [3], можно определить оригинал по формуле
n
() Res ( )
teFp
1
k
где
– корни уравнения
p
k
() 0Fp
2
Вычет функции комплексной переменной
люсе
вычисляется по формуле
p
k
Res
e
pp
k
Fp
pt
1
Fp Fp
22
pp
pt
k
, (2.25)
.
pt
k
()
eFp
()
() ( )
28
k
1
k
pt
()
eFp
в простом по-
. (2.26)
Если уравнение
p
f
pt
()
eFp
в полюсе
Res lim ( )
pp
k
() 0Fp
2
кратности r определяется следующим образом:
p
k
() ()
Fp eFp
pt r
11
epp
() ( 1)! ()
Fp r dp Fp
22
имеет кратные корни, то вычет функции
pt
1
r
pp
k
d
1
r
1
Пример 2.9
Определим оригинал, отвечающий изображению
. (2.27)
k
1
22
ap b
22
pjb
2
22
.
имеет один вещественный
,
pjb
3
.
. Найдем произ-
,
Уравнение
корень
pa
и два чисто мнимых:
1
водную функции
()()( )()( ) ()2Fp pa p b pap b p b pap
2
()
Fp
()( )
() ( )( ) 0Fp pa p b
2
:
()Fp
2
22 22 22
() 3 2Fp p ap b
2
Согласно (2.25) и (2.26) определим оригинал:
( ) Res ( ) Res ( ) Res ( )
teFpeFp eFp
at jbt jbt
ee e eebjaebja
22 22 22
a b bb ja bb ja a b ba b
ee e
222 2 2 2 2
aab jbajbb jbajbb
32 3()2() 3()2()
at jbt jbt at jbt jbt
2( ) 2( ) 2( )
ab b j
pt pt pt
pa pjb p jb
() ()
jbt jbt jbt jbt
1
22
ee aee
at
e
22
1
at
ab b
22
cos sin
ebtbt
a
.
29
2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
y
A
При описании САУ широко используют операторную форму записи линейных дифференциальных уравнений.
Обозначим изображение входного воздействия на элемент САУ
()Up, а выходной переменной – ( )Yp:
L
() ( )
ut U p
,
L
() ( )
tYp
.
Запишем уравнение (2.1) в операторной форме, пользуясь теоремой
сложения (2.8) и формулой изображения производной (2.18):
nn
() () () ()
apYp a p Yp apYp aYp
nn
bpUp b p Up bpUp bUp
mm
mm
() () () ().
1
110
1
110
В результате дифференциальное уравнение (2.1) заменено алгебраическим уравнением в операторной форме. Вынесем за скобку ( )Yp в
левой части уравнения и ( )Up – в правой части:
()
Yp ap a p ap a
() .
Up bp b p bp b
nn
nn
mm
mm
1
110
1
110
Из полученного уравнения можно выразить отношение изображения
выходной переменной ( )Yp к изображению входного воздействия
()Up:
1
110
110
1
. (2.28)
()
Wp
mm
bp b p bp b
()
Yp
()
Up ap a p ap a
mm
nn
nn
Это отношение называется передаточной функцией элемента САУ
и является его динамической характеристикой. Очевидно, что зная
дифференциальное уравнение САУ или ее элемента, можно определить соответствующую передаточную функцию, и наоборот.
Знаменатель передаточной функции называют характеристическим
полиномом:
()
papap apa
nn
nn
1
110
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]