Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
Т а б ли ц а 4.3
I
–
–
–
–
–40–20L
Значения частотных характеристик разомкнутой системы
,рад с
()R
()
j
()A
(),
(),дБL
lg , дек
0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2
10 4,91 3,09 –0,11 –1,5 –1,39 –1,02 –0,2
0 –3,92 –4,22 –4 –2,14 –0,86 –0,28 0,09
10 6,28 5,23 4 2,61 1,63 1,06 0,219
0 –38,7 –53,8 –91,5 –125 –148 –164 –205
20 15,96 14,37 12,05 8,34 4,25 0,49 –13,19
–∞ –1 –0,7 –0,4 –0,22 –0,1 0 0,3
Im
0
–1
–2
–3
–4
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Re
Рис. 4.16. Амплитудно-фазовая характеристика
разомкнутой системы для примера 4.8
, дБ
0
0
2 –1,5 –1 0,5 0
φ0, °
90
180
2 –1,5 –1 0,5 0 0,5 lg ω, дек
0,5 lg ω, дек
Рис. 4.17. Логарифмические частотные харак-
теристики разомкнутой системы для примера 4.8
101
По данным табл. 4.3 построим логарифмические частотные харак-
j
j
теристики разомкнутой системы (рис. 4.17). Из полученных графиков
видно, что на всех частотах, при которых ЛАЧХ положительна, фазовый сдвиг не достигает значения
180. Следовательно, рассматрива-
емая система устойчива.
4.4. ОБЛАСТИ И ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
4.4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Математическая модель никогда не бывает тождественна реальной
системе автоматического управления, так как при составлении модели
делается ряд допущений. Кроме того, параметры системы могут изменяться в зависимости от температуры или с течением времени. Несмотря на это, свойство устойчивости САУ должно сохраняться, т. е.
для нормального функционирования системы она должна обладать
определенным запасом устойчивости.
Областью устойчивости системы называется множество сочетаний ее параметров, при которых выполняется общее условие устойчивости линейных САУ.
Граничными (критическими) называются такие сочетания параметров, при которых система находится на границе устойчивости.
На практике часто требуется оценить влияние одного параметра
системы на ее устойчивость при постоянных (номинальных) значениях
остальных параметров. В этом случае определяется запас устойчиво-
сти – диапазон значений параметра от номинального до граничного.
4.4.2. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
Частотные оценки запаса устойчивости основаны на критерии
Найквиста и показывают, насколько удалена амплитудно-фазовая ха-
(1; 0)
рактеристика разомкнутой системы
0
()Wj
от точки
. Это уда-
ление характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по
модулю (амплитуде) и запасом устойчивости по фазе.
Запас устойчивости по модулю показывает, насколько можно увеличить модуль АФХ разомкнутой системы без потери устойчивости
замкнутой. Его определяют как величину отрезка оси абсцисс
(1; 0)
ключенного между точкой
и АФХ (рис. 4.18).
h
, за-
Запас устойчивости по фазе показывает, насколько можно изменить фазу АФХ разомкнутой системы без потери устойчивости
102
замкнутой. Его определяют как величину угла
частоты среза, при которой
()1Wj
0c
(рис. 4.18).
180 ( )
c
для
Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по логарифмическим частотным характеристикам. В этом случае запас устойчивости по модулю определяется в логарифмическом масштабе:
20lgLh . Он находится по ЛАЧХ на частоте, при которой ЛФЧХ
достигает значения
(рис. 4.19).
180
Запас устойчивости по фазе определяется по ЛФЧХ на частоте
среза
, где
c
()0L
c
, и равен отклонению ЛФЧХ от значения
180
(рис. 4.19). Очевидно, что .
L, дБ
Im
h
0
Рис. 4.18. Определение запасов
устойчивости по АФХ
1
0
Re–1
()Wj
,°
– °
Рис. 4.19. Определение запасов
устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ
lg
c
lg , дек
0
0
L
lg , дек
Опытом настройки систем автоматического управления установлено, что для нормальной работы большинства САУ необходимо обеспечить следующие запасы устойчивости:
8дБL , 50 .
4.4.3. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
МЕТОДОМ D-РАЗБИЕНИЯ
При исследовании устойчивости бывает необходимо знать не только запас устойчивости, но и всю область устойчивости по параметрам.
Уравнения границ областей устойчивости можно находить, пользуясь
любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод, называемый методом D-разбиения,
который позволяет построить области устойчивости в плоскости одного
103
или двух параметров системы при фиксированных значениях других
p
Mp
D
j
K
K
параметров.
Рассмотрим метод D-разбиения по одному параметру K , линейно
входящему в характеристическое уравнение системы:
() () () 0Ap Np KM p
()N
где
Перейдем в выражении (4.7) от характеристического полинома
()Ap
к комплексному полиному
и
()
– некоторые полиномы.
()
j
заменой p на
() () ()0Dj Nj KMj
Полученное уравнение соответствует границе устойчивости системы, согласно критерию Михайлова. Решим это уравнение относительно параметра K :
() ()
Nj Mj
Рассматривая K как комплексную функцию
()
j
годограф вектора
называется границей D-разбиения. Эта граница симметрична относи-
тельно вещественной оси (рис. 4.20). Поэтому достаточно построить ее
часть, соответствующую положительным значениям
ловину можно получить зеркальным отображением построенного
участка относительно вещественной оси.
при изменении от до , который
, (4.7)
:
.
.
, можно построить
, а вторую по-
Рис. 4.20. Пример границы D-разбиения
Граница D-разбиения делит комплексную плоскость на несколько
подобластей с различным соотношением корней. Для определения области устойчивости необходимо выбрать по одному значению K в
каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при конкретном K , то она будет
устойчива и при всех его значениях из этой области.
104
Обычно изменяемый параметр K является не комплексным, а ве-
K
M
L
щественным (коэффициент усиления, постоянная времени и т. п.).
()
j
Представление его комплексной функцией
носит формальный
характер, а область устойчивости системы ограничивается отрезком
вещественной оси, заключенном в области, построенной на комплексной плоскости.
Метод D-разбиения можно применять и для построения области
устойчивости по двум вещественным параметрам
и
K
1
, которые
K
2
входят линейно в характеристическое уравнение:
() () () () 0Ap N p KM p KLp
12
.
В этом случае уравнение границы устойчивости имеет вид
() () () ()0Dj Nj KM j KLj
12
Выделим в каждом из полиномов
()Nj
,
. (4.8)
()
j
и
()
j
дей-
ствительную и мнимую части:
( ) () ()
Nj N jN
( ) () ()
Mj M jM
( ) () ()
Lj L jL
RI
RI
RI
,
,
.
Используя введенные обозначения, уравнение (4.8) можно представить в виде двух независимых уравнений:
() () () 0,
NKMKL
RRR
() () () 0.
NKMKL
III
12
12
Эти уравнения параметрически задают границу D-разбиения в
и
плоскости параметров
K
1
(каждому значению соответствует
K
2
единственное решение системы уравнений). Область устойчивости
определяется аналогично рассмотренному случаю одного параметра.
105
ЗАДАЧИ
p
x
4.1. С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость систе-
мы, передаточная функция которой имеет вид:
а)
()
Wp
25(4 1)
32
p
pp
32
, б)
()
Wp
(2)( 31)
ppp
5
2
.
4.2. С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость систем,
структурные схемы которых приведены на рис. 4.21, а, б.
0,5 р + 1
а
Рис. 4.21. Структурные схемы к задаче 4.2
0,1 р + 1
б
4.3. Используя критерий Михайлова, проверить устойчивость си-
стемы:
,
xx
12
,
xx
23
а)
yx
xx xu
235 ,
3123
;
1
б)
()
Wp
42
p
32
341
ppp
.
4.4. С помощью критерия Найквиста проверить устойчивость замкнутой системы с отрицательной обратной связью, если передаточная
функция разомкнутой имеет вид:
Wp
а)
()
0
10(2 1)
p
(0,5 0,1 1)
pp p
2
, б)
()
Wp
0
(0,01 0,2 1)
pp p
5
2
.
4.5. Методом D-разбиения определить область допустимых значений параметра
для системы:
524yyyyu
.
106
y
5. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Проверка САУ на устойчивость позволяет определить принципиальную возможность перехода системы в некоторое установившееся
состояние при любом внешнем возмущении. Помимо устойчивости от
САУ требуется, чтобы, во-первых, установившееся состояние было
достаточно близко к заданному и, во-вторых, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а отклонения (колебания)
были при этом невелики.
Поэтому после обеспечения устойчивости САУ необходимо позаботиться о качестве процесса управления, в понятие которого входят в
частности:
точность системы в установившемся состоянии;
качество переходного процесса.
В общем случае задача анализа формулируется следующим образом: при известной структуре системы, заданной какой-либо динами-
ческой характеристикой, и известном входном воздействии, необходимо оценить точность и переходные процессы на выходе.
Поскольку в реальных системах закон изменения действующих на
объект возмущений и помех заранее, как правило, не известен, рассматривают реакцию системы управления на некоторые типовые воздействия, близкие к реальным. Простейшими из них и вместе с тем
относительно «тяжелыми» для отработки являются ступенчатое воздействие и входной сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью.
О качестве работы САУ можно судить по косвенным признакам,
которые называются показателями качества и определяются без непосредственного расчета переходного процесса [1, 2, 4]. В данном разделе рассмотрены основные показатели качества переходных процессов
для систем автоматического регулирования, целью управления в которых является поддержание выходного сигнала, равного заданию на
регулятор:
lim ( )
tv
t
.
107
5.1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЕДИНИЧНОЙ
СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИИ
5.1.1. ОШИБКА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для оценки точности регулирования используется показатель,
называемый ошибкой регулирования:
() () 1 ()tvyt ht
где
– величина входного воздействия при
1v
С течением времени переходная функция
рому установившемуся значению
отличаться от
к значению
v
(рис. 5.1). При этом ошибка регулирования стремится
, называемому статической ошибкой:
0
0уст
h
1
h
уст
0
h
уст
lim ( ) 1
th
t
tt
i
, которое в общем случае может
( )t
,
.
0t
()ht
стремится к некото-
.
i
( )t
0
id
Рис. 5.1. Определение ошибок регулирования
по переходной функции
Разность ошибки регулирования и статической ошибки называют
динамической ошибкой:
() ()
tt
d
.
0
Статическая ошибка является одним из основных показателей качества регулирования и характеризует точность отработки задания,
подаваемого на регулятор.
При известной передаточной функции системы установившееся
h
значение переходной функции
можно определить, подставив
уст
108
нулевое значение частоты в обобщенную частотную характеристику
(0)hW
(или нулевое значение p в передаточную функцию):
уст
. Тогда
статическую ошибку можно найти по формуле
1(0)W
0
. (5.1)
Для случая произвольного входного воздействия статическую ошибку измеряют в относительных единицах или процентах от входной ве-
v
личины
. Получаемое при этом значение (в относительных единицах)
численно равно величине ошибки, определяемой из переходной функции.
5.1.2. БЫСТРОДЕЙСТВИЕ
В качестве оценки быстродействия обычно используют время пере-
ходного процесса
(рис. 5.2) – время от начала переходного процесса
t
п
до момента, когда динамическая ошибка становится пренебрежимо
малой:
() при
ttt
dd
– допустимая величина динамической ошибки, задаваемая в
где
maxd
max п
, (5.2)
относительных единицах (или процентах) по отношению к установив-
h
шемуся значению выходной величины
h
h
max
h
уст
уст
.
d max
d max
0
t
t
max
н
t
п
Рис. 5.2. Определение оценок быстродействия
по переходной функции
Для оценки быстродействия колебательных процессов применяют-
ся также следующие показатели.
109
Время нарастания переходного процесса
– время от начала
t
н
переходного процесса до момента достижения установившегося значе-
h
ния
.
уст
Время достижения первого максимума
5.1.3. ОЦЕНКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ
.
t
max
Для оценки склонности системы к колебаниям используют перере-
гулирование – максимальное превышение переходной характеристикой
ее установившегося значения, выраженное в процентах:
hh
max уст
h
уст
, (5.3)
100 %
где
– максимальное значение переходной функции (рис. 5.2).
h
max
Очевидно, что чем больше перерегулирование, тем больше амплитуда
колебаний в системе.
Могут применяться также следующие оценки колебательных
свойств системы:
частота колебаний
количество колебаний
стика за время переходного процесса
чаще всего допускают
;
к
, которое имеет переходная характери-
n
к
; при проектировании САУ
t
п
.
12n
к
5.2. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Точность систем автоматического управления оценивают по двум
режимам: при постоянном входном воздействии (установившийся режим) и при нарастании входного сигнала с постоянной скоростью.
В первом случае определяют статическую ошибку, во втором – так
называемую скоростную.
По величине статической ошибки выделяют два вида систем:
статические, функционирование которых всегда приводит к
возникновению статической ошибки
астатические, в которых статическая ошибка отсутствует (
;
0
0
).
0
0
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]