Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
y по (3.29). В случае нулевых начальных условий соответствующие
y
y
y
сумматоры могут быть исключены из схемы.
Рис. 3.35. Структурная схема, соответствующая уравнению (3.28)
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение общего вида
() ( 1)
nn
a
nn
a
110
aya
bu b u bu bu
mm
() ( 1)
mm
110
.
Разрешив его относительно старшей производной, получим:
aabb
() ( 1) ( )
nn m
yy yyu uu
10 0
nm
aaaaaa
nnnnnn
ab
11
.
(3.30)
Структурная схема, соответствующая этому уравнению, показана
на рис. 3.36. Она аналогична схеме на рис. 3.35, но на первый (слева)
сумматор подаются также сигналы, пропорциональные производным
входного воздействия.
Рис. 3.36. Структурная схема, соответствующая уравнению (3.30)
71
В случае нулевых начальных условий структурную схему, пока-
p
занную на рис. 3.36, можно упростить. Для этого переместим парал-
лельное соединение звеньев
b
0
1
,,,
aa a
nn n
()
m
m
p
, соединенное после-
bb
довательно с оставшейся частью схемы, в конец схемы (рис. 3.37).
Рис. 3.37. Структурная схема, соответствующая уравнению (3.30)
при нулевых начальных условиях
Рис. 3.38. Упрощенная структурная схема, соответствую щая уравнению (3.30) при нулевых начальных условиях
Переместим узел, из которого подается сигнал на звено
через один интегратор против хода сигнала; для звена
()
ba p
1
n
()
bap
2
2
–
n
,
72
через два интегратора и т. д. При этом последовательно со звеном
p
()
ba p
1
()
bap
2
потребуется добавить интегратор (
n
2
– два интегратора (
n
2
1
) и т. д. В результате получим упро-
), последовательно с
1 p
щенную схему, содержащую только пропорциональные и интегрирующие звенья, приведенную на рис. 3.38.
Структурная схема, соответствующая заданной передаточной функции вида (2.28), полностью совпадает со структурной схемой, показанной на рис. 3.38.
Пример 3.3
Составим структурную схему САУ, передаточная функция которой
имеет вид
2
230,5
pp
Wp
()
432
pppp
5472
.
0,5
Рис. 3.39. Структурная схема, соответствующая заданной
передаточной функции для примера 3.3
Запишем значения коэффициентов, соответствующих заданной передаточной функции:
,
2a
0
,
7a
1
,
4a
2
,
5a
3
,
1a
4
0
,
0,5b
,
3b
1
.
2b
2
Используя значения коэффициентов и учитывая, что в данном случае
4n
, составим структурную схему (рис. 3.39) в соответствии с ее
общим видом, приведенным на рис. 3.38.
73
3.3.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАЗОМКНУТОЙ ЦЕПИ ЗВЕНЬЕВ
Рассмотрим последовательное соединение m звеньев (рис. 3.24),
частотные характеристики каждого из которых известны. Получим
выражения для определения эквивалентных частотных характеристик
всей цепи. Согласно (3.24), обобщенная частотная характеристика равна произведению обобщенных частотных характеристик отдельных
звеньев:
() ()() ()
Wj W j W j W j
12
.
m
Запишем полученное выражение, представив функции в показательной форме:
()
j
() ()
jj
()
j
() () () ()
Ae A e A e A e
() () () .
AA A e
12
12
12
j
m
m
() () ()
12
m
m
Таким образом, эквивалентная амплитудная частотная характеристика равна произведению амплитудных частотных характеристик, а
эквивалентная фазовая частотная характеристика – сумме фазовых частотных характеристик отдельных звеньев:
() () () ()
AAA A
12
m
,
() () () ()
12
.
m
При использовании логарифмических амплитудных частотных характеристик имеем
20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( )
AA A A
() () () ()
LL L L
12
12
m
.
,
m
То есть эквивалентная ЛАЧХ равна сумме ЛАЧХ отдельных звеньев.
На практике часто применяется графическое определение эквивалентных ЛАЧХ и ЛФЧХ при помощи суммирования характеристик
отдельных звеньев. Рассмотрим получение ЛАЧХ на примере, из которого будет ясен общий метод. Пусть задана передаточная функция последовательной цепи звеньев в виде
(1)( 1)
pp
()
Wp k
(1) 2 1(1)
pTp T p dTp Tp
12 23
12
22
,
74
причем
p
p
p
p
0,5 1d
, что позволяет не учитывать максимум на ЛАЧХ.
Эта передаточная функция соответствует последовательному соединению следующих звеньев (рис. 3.40): пропорционального, интегрирующего, двух форсирующих, двух апериодических и звена второго порядка. ЛАЧХ перечисленных звеньев построены на рис. 3.41, а. Для
удобства звенья на рис. 3.40 и рис. 3.41 пронумерованы. Эквивалентная ЛАЧХ может быть получена простым суммированием ЛАЧХ отдельных звеньев (рис. 3.41, б).
Рис. 3.40. Последовательная цепь звеньев, соответствующая
заданной передаточной функции
Из рис. 3.41 видно, что легко можно строить непосредственно суммарную ЛАЧХ по передаточной функции ( )Wp, не изображая харак-
теристики отдельных звеньев (т. е. можно обойтись без рис. 3.41, а).
Для этого сначала строится низкочастотный участок ЛАЧХ – прямая,
пересекающая ось ординат в точке 20 lg k , наклон которой определя-
ется по виду передаточной функции:
0дБ дек
, если числитель и знаменатель ( )Wp не имеют нуле-
вых корней;
20 дБ дек
жится сомножитель
20 дБ дек
держится сомножитель
(содержится сомножитель
m
m
сти
20 дБ декm
20 дБ декm
(содержится сомножитель
, если числитель имеет один нулевой корень (содер-
в числителе);
, если знаменатель имеет один нулевой корень (со-
в знаменателе);
, если числитель имеет нулевой корень кратности
m
в числителе);
, если знаменатель имеет нулевой корень кратно-
m
в знаменателе).
Затем на оси абсцисс откладываются координаты точек излома
ЛАЧХ, определяемые для каждого сомножителя вида ( 1)Tp или
22
(21)Tp dTp
в числителе или знаменателе как
lg(1 )T
.
75
L, дБ
20 lgk
L, дБ
lg , дек
а
20 lgk
б
Рис. 3.41. Построение ЛАЧХ последовательной цепи звеньев:
а – ЛАЧХ отдельных звеньев; б – эквивалентная ЛАЧХ
lg , дек
Низкочастотный участок ЛАЧХ продлевается до точки излома с
наименьшим значением lg(1 / )T . С ним сопрягается следующий уча-
сток характеристики, имеющий новый наклон. Этот наклон определяется по виду сомножителя, соответствующего точке излома:
(1)Tp в числителе – наклон увеличивается на
последующий участок имеет наклон
20 дБ дек
20 дБ дек
по отношению к
, т. е.
предыдущему;
(1)Tp в знаменателе – наклон уменьшается на
22
(21)Tp dTp
40 дБ дек
40 дБ дек
;
22
(21)Tp dTp
;
(1)
Tp
(1)
Tp
k
в числителе – наклон увеличивается на
k
в знаменателе – наклон уменьшается на
в числителе – наклон увеличивается на
в знаменателе – наклон уменьшается на
20 дБ дек
20 дБ декk
20 дБ декk
;
;
.
76
Построенный участок ЛАЧХ продлевается до следующей точки
излома. Затем строится очередной участок характеристики, наклон которого определяется по уже рассмотренному принципу. Аналогично
строятся оставшиеся участки ЛАЧХ, причем последний из них может
быть продлен в сторону высоких частот до бесконечности.
22
Для сомножителей вида
(21)Tp dTp
при
необходимо
0,5d
вычисление отклонений от ломаной по (3.23) и построение «горбов»
ЛАЧХ.
Наличие в передаточной функции сомножителя вида
pe
, соответствующего звену запаздывания, на ЛАЧХ никак не отражается, поскольку
амплитудная частотная характеристика этого звена равна единице.
Пример 3.4
Простроим ЛАЧХ системы автоматического управления, переда-
точная функция которой имеет вид
()
Wp
(0,1 1)(0,0001 0,016 1)
100(0,0316 1)
ppp
p
2
.
Определим точку пересечения низкочастотного участка ЛАЧХ с
осью ординат: 20lg100 40 дБ .
Этот участок строится с наклоном
0дБ дек
(рис. 3.42), так как
числитель и знаменатель передаточной функции не имеют нулевых
корней.
Определим абсциссы точек излома.
Для сомножителя (0,0316 1)p постоянная времени
0,0316 сT
1
,
координата точки излома lg(1 / 0,0316) 1,5 дек .
Для (0,1 1)p : постоянная времени
2
, координата точки из-
0,1сT
лома lg(1 / 0,1) 1 дек .
(0,0001 0,016 1)pp
Для
2
постоянная времени
0,01с , коэффициент демпфирования
0,016 / (2 ) 0,8dT
0,0001T
3
3
, коор-
дината точки излома lg(1/ 0,01) 2 дек .
Низкочастотный участок продлеваем до точки lg 1 дек . По-
скольку она соответствует сомножителю (0,1 1)p в знаменателе,
наклон следующего участка будет
020 20дБдек
В точке lg 1,5 дек наклон увеличивается на
lg 2 дек – уменьшается на
40 дБ дек
(рис. 3.42).
77
.
20 дБ дек
, а при
Поскольку коэффициент демпфирования у сомножителя второго
порядка
0,8 0,5d
, ЛАЧХ близка к ломаной, и построение «горба»
для точки излома lg 2 дек не требуется.
L, дБ
,
Рис. 3.42. ЛАЧХ, соответствующая заданной передаточной
функции для примера 3.4
lg , дек
Задачи
3.1. Определить передаточные функции САУ, структурные схемы
которых показаны на рис. 3.43, а, б.
а
Рис. 3.43. Структурные схемы к задаче 3.1
б
3.2. Изобразить структурную схему САУ, дифференциальное урав-
нение которой имеет вид:
а) 5 2 3yyyu
, б) 2 0,5 1,5 4yyyyuu
3.3. Изобразить структурную схему САУ, передаточная функция
которой имеет вид:
2
10 3 7
pp
а)
()
Wp
23
p
2
562
pp
, б)
Wp
()
0,2 2 4 1
32
3.4. Построить ЛАЧХ системы, передаточная функция которой
имеет вид:
а)
()
Wp
10(0,01 1)
(10 1)(0, 1 1)
pp
p
, б)
()
Wp
100 (0,1 1)
(10 11 1)
pp p
p
2
.
.
.
78
4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
4.1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Под устойчивостью линейной САУ понимают свойство затухания
переходного процесса с течением времени.
Устойчивость является одним из важнейших условий работоспособности САУ. Очевидно, что система с расходящимся процессом была бы неработоспособной.
Для линейной САУ устойчивость определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от величины внешних воздействий и
начальных условий.
Качественный вид переходных функций устойчивой и неустойчивой систем изображен на рис. 4.1, а. Очевидно, что для переходной
функции устойчивой системы справедливо условие
lim ( )tht k
2
1
а
Рис. 4.1. Переходные (а) и импульсные переходные (б) функции системы:
1 – сходящийся процесс, система устойчива; 2 – расходящийся процесс, система
неустойчива
.
1
2
б
Об устойчивости можно судить также по импульсным переходным
функциям (рис. 4.1, б), которые в случае устойчивой системы удовле-
творяют условию
lim ( ) 0
tgt
.
79
4.2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
g
p
g
p
g
g
g
4.2.1. ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Согласно (2.30), импульсная переходная функция есть оригинал
передаточной функции системы. Она может быть определена по формуле (2.25) как сумма вычетов в полюсах передаточной функции:
nn
() Res ( ) ()
teWpgt
11
kk
pp
pt
k
.
k
Каждый полюс передаточной функции, в зависимости от его вида,
дает определенное слагаемое в решении.
t
()
Одиночный корень:
Корень кратности
– полином степени 1r .
()
Pt
k
tCe
kk
gt С Pte
:
r
kkk
В зависимости от значения вещественной части корня
k
, где
() ()
– постоянная.
C
k
t
k
, где
C
k
– постоянная,
возмо-
p
k
жен различный характер изменения соответствующего слагаемого импульсной переходной функции:
если
если
Re( ) 0
p
Re( ) 0
p
личине (для действительного
плитуды (для комплексного
если
Re( ) 0
p
по модулю (для действительного
которых неограниченно возрастает (для комплексного
, то
k
, то
k
, то
k
стремится к нулю при t ;
()
t
k
при t стремится к постоянной ве-
()
t
k
) или дает колебания постоянной ам-
p
k
);
p
k
при t неограниченно возрастает
()
t
k
) или дает колебания, амплитуда
p
k
).
p
k
Из изложенного следует общее условие устойчивости линейных
САУ: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно,
чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.
Действительно, если у всех корней характеристического уравнения
вещественная часть отрицательна, то при t все слагаемые импульсной переходной функции стремятся к нулю. При этом сама импульсная переходная функция также стремится к нулю, т. е. система
устойчива. Если имеется хотя бы один корень с неотрицательной вещественной частью, то соответствующее ему слагаемое и сама импульсная переходная функция будут отличны от нуля при t , т. е.
переходный процесс в системе не будет затухающим.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]