Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для расчета систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка.
Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями.
Математическая модель элемента САУ называется звеном. Часто
встречающиеся звенья, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго, называют типовыми.
Изображение САУ в виде совокупности звеньев с указанием связей
между ними называется структурной схемой. Такое представление
САУ позволяет наглядно показать взаимосвязь элементов системы и
оценить при наличии соответствующего опыта отдельные свойства
переходных и статических процессов.
В этом разделе рассматриваются типовые звенья, способы их соединения, правила преобразования структурных схем и построение
структурных схем на основе дифференциальных уравнений.
3.1. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
3.1.1. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ЗВЕНО
Пропорциональным называют звено, которое описывается уравне-
нием
() ()yt kut , (3.1)
k
где
– коэффициент усиления. Преобразуем это уравнение в опера-
торную форму и найдем передаточную функцию:
() () () () ()Yp kUp Wp Yp Up k
Примером пропорциональных звеньев могут служить механиче-
ские редукторы, жесткие гидравлические передачи, электронные
41
. (3.2)
усилители сигналов на низких частотах и некоторые измерительные
g
p
R
A
датчики.
Переходная функция, т. е. реакция на воздействие в виде единич-
ной функции
, имеет вид
()t
0
() ().ht k t
0
Импульсная переходная функция, т. е. реакция на воздействие в
виде импульсной функции первого порядка
() ()
tkt
.
1
:
()t
1
Определим обобщенную частотную характеристику. Она равна пе-
редаточной функции, так как последняя не содержит оператора
:
()Wj k .
Поскольку значение ( )Wj не зависит от частоты, амплитудно-
фазовая характеристика представляет собой точку на комплексной
плоскости (рис. 3.1, а).
Определим составляющие обобщенной частотной характеристики:
k , ( ) 0I ,
()
k
, ( ) 0 .
Таким образом, при прохождении через пропорциональное звено
k
амплитуда синусоидального входного сигнала изменяется в
раз, а
фазовый сдвиг отсутствует. АЧХ приведена на рис. 3.1, б.
L, дБ
20 lg k
ω
а
Рис. 3.1. Амплитудно-фазовая (а), амплитудная частотная (б) и логарифми-
ческая амплитудная частотная (в) характеристики пропорционального звена
б
0
lg , дек
в
ЛАЧХ пропорционального звена представляет собой прямую, па-
раллельную оси абсцисс (рис. 3.1, в):
() 20lg () 20lgLAk .
42
3.1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Дифференцирующим называется звено, которое описывается диф-
ференциальным уравнением
() ()yt kut
. (3.3)
Преобразуем это уравнение в операторную форму и найдем пере-
даточную функцию:
() () () () ()Yp kpUp Wp Yp Up kp
. (3.4)
Примером дифференцирующего звена является тахогенератор постоянного тока, напряжение на выводах которого пропорционально
скорости вращения вала (т. е. производной угла по времени).
Определим изображение переходной функции по формуле (2.29):
() ()Hp Wp p k
.
В соответствии с (2.8) и (2.13), оригиналом переходной функции
является масштабированная импульсная функция первого порядка
(рис. 3.2, а)
() ()ht k t
.
1
Аналогично, используя (2.30), (2.8) и (2.14), найдем изображение и
оригинал импульсной переходной функции (рис. 3.2, б):
() () () ()Gp W p kp gt k t
а
Рис. 3.2. Переходная (а) и импульсная переходная (б) функции
дифференцирующего звена
.
2
б
43
Рассмотрим частотные характеристики звена. Обобщенную ча-
p
j
стотную характеристику получим из передаточной функции заменой
на
:
()Wj jk .
Амплитудно-фазовая характеристика совпадает с положительной
мнимой полуосью комплексной плоскости (рис. 3.3, а). Определим составляющие обобщенной частотной характеристики:
() 0R , ( )Ik , ( )Ak , ( ) 90 .
а
Рис. 3.3. Амплитудно-фазовая (а) и амплитудная частотная (б)
характеристики дифференцирующего звена
б
ω
L, дБ
+20 дБ/дек
20 lgk
0
Рис. 3.4. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующе го звена
lg , дек
ЛАЧХ дифференцирующего звена можно представить в виде суммы двух слагаемых:
( ) 20lg 20 lg 20lgLkk .
44
Первое слагаемое не зависит от частоты и определяет точку пересечения ЛАЧХ с осью ординат (рис. 3.4), второе пропорционально
lg с коэффициентом
20 дБ дек
; ( )L увеличивается на 20 дБ при
увеличении частоты на одну декаду.
Как видно из рис. 3.3, б и рис. 3.4, дифференцирующее звено усиливает высокочастотные и ослабляет низкочастотные сигналы.
3.1.3. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Интегрирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением
() ()yt kut
. (3.5)
Очевидно, что выходной сигнал звена пропорционален интегралу
от входного воздействия:
t
() ( ) (0)
yt k u d y
0
.
Преобразуем дифференциальное уравнение интегрирующего звена
в операторную форму и найдем передаточную функцию:
() () () () ()pY p kU p W p Y p U p k p
. (3.6)
Примерами интегрирующих звеньев являются сервопривод и операционный усилитель в режиме интегрирования.
Определим изображение переходной функции по формуле (2.29):
() ()Hp Wp p kp
2
.
В соответствии с (2.6), ее оригиналом является линейная функция
(рис. 3.5, а)
()ht kt .
Аналогично, используя (2.30), (2.8) и (2.5), найдем изображение и
оригинал импульсной переходной функции (рис. 3.5, б):
() () () ()Gp W p k p gt k t
.
0
Рассмотрим частотные характеристики звена. Обобщенная частот-
ная характеристика
()
Wj j
kk
j
45
.
а
Рис. 3.5. Переходная (а) и импульсная переходная (б) функции
интегрирующего звена
б
а
Рис. 3.6. Амплитудно-фазовая (а) и амплитудная частотная (б)
характеристики интегрирующего звена
б
ω
L, дБ
20 lgk
0
Рис. 3.7. Логарифмическая амплитудная
частотная характеристика интегрирующего звена
–20 дБ/дек
lg , дек
Амплитудно-фазовая характеристика совпадает с отрицательной
мнимой полуосью комплексной плоскости (рис. 3.6, а), причем начинается в
на мнимой оси, а заканчивается в точке 0. Определим со-
ставляющие обобщенной частотной характеристики:
() 0R ,
()
I
k
A
,
()
k
, ( ) 90 .
ЛАЧХ интегрирующего звена можно представить в виде разности:
( ) 20lg( ) 20 lg 20lgLkk
.
46
Таким образом, ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном
20 дБ дек
и пересекает ось ординат в точке 20 lg k .
Как видно из рис. 3.6, б и рис. 3.7, интегрирующее звено усиливает
низкочастотные и ослабляет высокочастотные сигналы.
3.1.4. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
Апериодическим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением
() () ()ayt a yt but
100
.
Как правило, используют более удобную форму записи этого уравнения:
() () ()Ty t y t ku t, (3.7)
где
Taa
– постоянная времени;
10
kba
– коэффициент усиления.
00
Преобразуем уравнение (3.7) в операторную форму:
() () ()TpYp Yp kUp , ( 1) ( ) ( )Tp Y p kU p.
Определим передаточную функцию:
()
Yp k
()
Wp
() 1
Up Tp
. (3.8)
Примером апериодического звена является (в первом приближении) электродвигатель, если
u – управляющее напряжение, y – угло-
вая скорость вала.
Определим изображение переходной функции по формуле (2.29):
()
Wp k
()
Hp
ppTp
Функция ( )Hp имеет два полюса:
(1)
1
.
,
0p
2
. Найдем про-
1pT
изводную знаменателя ( )Hp:
() ( ) 2 1Hp Tp p Tp
2
2
47
.
Определим оригинал переходной функции по (2.25) и (2.26):
g
0
ttT
pt pt
ht e H p e H p
() Res Res ( )
01
ppT
tt
kke k e
TT
1.
ke ke
TTT
2012(1)1
(3.9)
График переходной функции апериодического звена показан на
рис. 3.8, а.
а
б
Рис. 3.8. Переходная (а) и импульсная переходная (б) функции
апериодического звена
Определим изображение и оригинал импульсной переходной
функции, используя (2.30), (2.25) и (2.26):
() ()
Gp Wp
() Res ( )
teGpe
1
pT
k
,
1
Tp
t
pt
k
T
. (3.10)
T
График импульсной переходной функции апериодического звена
показан на рис. 3.8, б.
Рассмотрим частотные характеристики звена. Обобщенная частотная характеристика
()
WjjT
k
1
. (3.11)
Найдем вещественную и мнимую частотные характеристики.
Для этого умножим числитель и знаменатель выражения (3.11) на
(1 )jT:
48
(1 )
kjT k kT
()
Wj j
22 22 22
111
TTT
;
()
RT
()
I
k
22
1
kT
1
T
; (3.12)
. (3.13)
22
Амплитудная частотная характеристика может быть определена из
(3.11) как отношение модулей числителя и знаменателя:
()
k
A
1
jT
k
22
1
T
.
Фазовую частотную характеристику найдем с помощью (3.12) и
(3.13):
()
I
() arctg arctg( )
()
R
T
.
Графики АЧХ и ФЧХ апериодического звена приведены на
рис. 3.9. Апмлитудно-фазовая характеристика представляет собой полуокружность с центром на оси абсцисс в точке
(рис. 3.9, а). Действительно, выразив
2
из (3.12) и подставив в возве-
и радиусом
2k
денное в квадрат уравнение (3.13), получим уравнение окружности:
()
kR
22
1
TR
k
()
,
2
2
()
TR
,
2k
222
kT
2
() () ()
IRkR
222
(1 )
T
() () 0
RI
kT
1
22
() () () 0RkRI
22
kk
22
2
()
TR
2
()
kR
2
T
2
()
TR
,
49
2
.
,
()
kR
22
Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной
характеристики:
() 20lg() 20lg 20lg 20lg1
LA k T
k
22
1
T
22
.
A
k
а
Рис. 3.9. Амплитудно-фазовая (а), амплитудная частотная (б) и фазовая
частотная (в) характеристики апериодического звена
0
б
0
–90°
в
Эта характеристика имеет следующие асимптоты:
в области низких частот, когда
в области высоких частот при
:
1 T
() () 20lgLL k
:
1 T
1
() () 20lgLL k
2
20lg( )T.
L, дБ
20 lg k
L
1
L
L
max
–20 дБ/дек
,°
0
lg
0
L
0
lg , дек
2
lg , дек
–°
;
Графиком
с наклоном
–°
Рис. 3.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена
является горизонтальная прямая,
()L
1
20 дБ дек
(рис. 3.10). На частоте
50
0
, которая назы-
1 T
()L
2
– прямая
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]