Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, в устойчивой системе, т. е. когда все корни харак-
A
F
теристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть,
n
каждый из
зы
k
годограф пройдет
тив часовой стрелки), а в
корней при изменении от 0 до ∞ даст приращение фа-
, а общий угол поворота ( )Fj составит
90
n
квадрантов в положительном направлении (про-
n
-м квадранте уйдет в бесконечность.
. То есть
90n
Если система неустойчива, то общий угол поворота составит
меньше
, как минимум, на
90n
180
.
Как показано в ходе доказательства, условием границы устойчивости для критерия Михайлова является обращение годографа в нуль при
некотором значении частоты
точки 0 (
сти, а при
), то имеет место апериодическая граница устойчиво-
0
0
– колебательная, причем
0
0
. Если годограф начинается из
0
– частота незатухающих
0
колебаний, возникающих в системе.
Пример 4.6
Проверить с помощью критерия Михайлова устойчивость системы,
передаточная функция которой имеет вид
21
p
()
Wp
432
2431
pppp
.
Запишем характеристический полином системы и соответствующий ему комплексный полином:
() 2 4 3 1
()() 2() 4() 3()1Fj j j j j
432
pp p p p
432
,
42 3
41(23)j
.
Для построения годографа рассчитаем значения ( )
личных
Re ( )Fj
Im ( )Fj
,рад с
(см. табл. 4.1)
Значения комплексного полинома
0 0,5 1 1,5 2 3 4 1000
1 0,06 –2 –2,94 1 46 193
0 1,25 1 –2,25 –10 –45 –116
91
j при раз-
Т а б ли ц а 4.1
12
10
9
210
Используя рассчитанные значения, построим годограф Михайлова
F
(рис. 4.6). Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно против часовой стрелки
четыре квадранта, не обращаясь в нуль, и стремится к ∞ в четвертом
квадранте. Следовательно, рассматриваемая система устойчива.
Рис. 4.6. Годограф Михайлова для примера 4.6
Пример 4.7
Проверить с помощью критерия Михайлова устойчивость системы,
передаточная функция которой имеет вид
2
54020
pp
Wp
()
2410
ppp p
432
.
Запишем характеристический полином системы и соответствующий ему комплексный полином:
() 2 4 10Ap p p p p
()2() ()() 4()10Fj j j j j
432
432
,
42 3
210(4)j
Для построения годографа рассчитаем значения ( )
личных
(см. табл. 4.2).
92
.
j при раз-
Значения комплексного полинома
Т а б ли ц а 4.2
,рад с
Re ( )Fj
Im ( )Fj
0 0,5 1 1,5 2 3 4 1000
10 9,88 11 17,9 38 163 506
0 1,88 3 2,63 0 –15 –48
Рис. 4.7. Годограф Михайлова для примера 4.7
210
10
12
9
Используя рассчитанные значения, построим годограф Михайлова
(рис. 4.7). Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта по часовой стрелке и стремится к ∞ в четвертом квадранте. Следовательно, рассматриваемая система неустойчива.
4.3.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
Этот критерий был предложен Г. Найквистом в 1932 г. для проверки устойчивости ламповых усилителей с обратной связью, а затем
обобщен на системы автоматического управления. На практике критерий Найквиста получил более широкое применение, чем критерии Михайлова и Гурвица.
Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с
отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы)
по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Разомкнутая система может быть получена из замкнутой путем разрыва
обратной связи.
Рассмотрим критерий Найквиста для системы с единичной обратной связью, структурная схема которой приведена на рис. 4.8.
93
A
A
A
A
A
Рис. 4.8. Структурная схема
замкнутой системы
Разомкнутая система в общем случае имеет передаточную функцию
()
Bp bp b p b
() ,
Wp m n
0
010
()
Ap ap a p a
010
mm
mm
nn
nn
1
1
.
Определим передаточную функцию замкнутой системы:
() () () ()
Wp BpAp Bp
()
Wp
000 0
1 () 1 () () () ()
Wp BpAp Ap Bp
00000
.
Таким образом, характеристический полином замкнутой системы
равен
.
, поскольку mn .
()Ap
0
Это полином
() () ()
pApBp
00
n
-го порядка, так же как и
Для вывода критерия рассмотрим вспомогательную передаточную
функцию
() ()
Ap Bp
Wp W p
() 1 ()
0
00
pAp
() ()
00
p
()
.
Как видим, вспомогательная передаточная функция равна частному
двух характеристических полиномов: замкнутой системы (в числителе)
и разомкнутой системы (в знаменателе). Оба этих полинома имеют
n
одинаковый порядок, равный
.
Перейдем от вспомогательной передаточной функции к обобщенной частотной характеристике:
()
j
()
Wj
Рассмотрим результирующий угол поворота вектора
изменении
от 0 до , используя те же соотношения, что и при
94
. (4.6)
j
()
0
()Wj
при
доказательстве критерия Михайлова. Этот угол зависит от вида корней
характеристических уравнений ( ) 0A и
() 0A
0
.
Если замкнутая система устойчива, то все корни уравнения
() 0A имеют отрицательную вещественную часть, и общее прира-
щение фазы числителя (4.6) 90n .
Аналогично, при устойчивой разомкнутой системе приращение фазы знаменателя
0
Таким образом, результирующий угол поворота вектора
90n
.
()Wj
при устойчивых разомкнутой и замкнутой системах составит
0
.
0
Это означает, что для устойчивости замкнутой системы необходи-
()Wj
мо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика
не охватывала
начало координат (рис. 4.9, а). На практике удобнее анализировать амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы
0
()Wj
(рис. 4.9, б), которая не должна охватывать точку с координатами
(1; 0)j , поскольку
Re
–1
.
Im
0
б
()Wj
0
Re
() ()1Wj Wj
0
Im
0
Рис. 4.9. Пример амплитудно-фазовых характеристик при устойчивых
1
()Wj
а
разомкнутой и замкнутой системах:
вспомогательная (а) и разомкнутой системы (б)
Для рассмотренного случая критерий Найквиста формулируется
следующим образом: если разомкнутая система автоматического
управления устойчива, то для устойчивости замкнутой системы
необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характери-
стика разомкнутой системы
()Wj
не охватывала точку ( 1; 0)j .
0
95
Теперь рассмотрим случай, когда разомкнутая система неустойчива и имеет
лим приращение фазы знаменателя (4.6) при изменении
l корней с положительной вещественной частью. Опреде-
от 0 до :
( ) 90 90 90 180nl l n l
0
Результирующий угол поворота вектора
.
()Wj
при устойчивой
замкнутой системе составит
90 ( 90 180 ) 360 2nnl l
0
.
В этом случае следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: если разомкнутая система автоматического
управления неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы
необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характери-
стика разомкнутой системы
положительном направлении
()Wj
охватывала точку ( 1; 0)j в
0
раз, где l – число корней характери-
2l
стического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.
На рис. 4.10 показаны амплитудно-фазовые характеристики
()Wj
и
, соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в
0
()Wj
разомкнутом состоянии была неустойчива и имела два корня с положительной вещественной частью (
Im
0
Рис. 4.10. Пример амплитудно-фазовых характеристик при неустойчивой
разомкнутой и устойчивой замкнутой системе: вспомогательная (а)
()Wj
1
Re
а
и разомкнутой системы (б)
).
2l
Im
()Wj
0
–1
0
б
Re
Критерий Найквиста также можно применять, если разомкнутая
система имеет в своем составе последовательно включенный интегратор, т. е. находится на границе устойчивости. В этом случае ее передаточную функцию можно записать в виде
96
()
B
p
j
Wp
0
()
p
0
Ap
()
0
,
где
будет иметь неопределенность при
()Ap
– характеристический полином устойчивой части системы.
0
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
:
0
lim ( )A
0
0
,
lim ( ) 0
,
0, 0
lim ( ) 180
0
0, 0
.
0
0
()Wj
Для получения определенности характеристику при построении дополняют дугой окружности бесконечно большого радиуса так, чтобы
она начиналась на положительной вещественной полуоси (рис. 4.11).
Такое дополнение позволяет использовать полученную ранее формулировку критерия Найквиста для случая устойчивой разомкнутой системы.
–1
Im
0
Re
Рис. 4.12. Структурная схема замкнутой системы с неединичной обратной
связью
()Wj
0
Рис. 4.11. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
с интегратором
Рассмотрим условие границы устойчивости для критерия Найквиста. В случае если характеристическое уравнение замкнутой системы
имеет нулевой корень (апериодическая граница устойчивости), ее характеристический полином ( )Aj обратится в нуль при
0 , т. е.
амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы будет
начинаться из точки ( 1; 0)j .
Колебательной границе устойчивости соответствует пара чисто
мнимых корней
. Очевидно, что
0
()0Aj
0
, т. е. амплитудно-
частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку
(1; 0)j .
97
Отметим, что критерий Найквиста можно применять и в общем
M
случае, когда система содержит неединичную отрицательную обратную связь (рис. 4.12).
Для определения передаточной функции разомкнутой системы
можно разрывать любую из связей, как показано на рис. 4.12, причем
вход и выход системы следует рассматривать в месте разрыва. В результате передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:
() () ()Wp WpWp
012
.
Далее для анализа устойчивости могут быть использованы полученные ранее формулировки критерия Найквиста.
4.3.4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА
На практике широкое применение получил анализ устойчивости
систем автоматического управления, основанный на применении логарифмических частотных характеристик. Сформулируем критерий Найквиста применительно к этим характеристикам.
Сначала рассмотрим случай, когда разомкнутая система устойчива.
Как показано в п. 4.3.3, замкнутая система будет устойчива, если ампли-
тудно-фазовая характеристика
значит, что при некотором значении частоты
ка
(
на рис. 4.13, а), должно выполняться условие
N
()20lg()0
LA
ii
на рис. 4.13, б) должна лежать правее частоты среза – точки пересече-
N
. То есть точка пересечения ЛФЧХ с линией
ния ЛАЧХ с осью абсцисс (
()Wj
не охватывает точку ( 1; 0)j . Это
0
на рис. 4.13, б).
, когда
i
( ) 180
i
()1
A
i
(точ-
или
180
При сложной форме амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы слева от частоты среза может иметься четное число
пересечений ЛФЧХ с линией
(рис. 4.14).
180
Для рассмотренного случая критерий Найквиста формулируется
следующим образом: если разомкнутая система автоматического
управления устойчива, то для устойчивости замкнутой системы
необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где ЛАЧХ разо-
мкнутой системы положительна
гал значения
или достигал его четное число раз.
180
() 0L
0
, фазовый сдвиг не дости-
Осталось рассмотреть случай, когда разомкнутая система неустойчива и имеет
корней с положительной вещественной частью. Здесь
l
для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,
98
чтобы разность между числом положительных и числом отрица-
m
тельных переходов ЛФЧХ через линию
равнялась
. При этом положительным считается переход снизу
2l
вверх, а начало характеристики в бесконечно удаленной точке
линии
–1
M
0
Рис. 4.13. Пример частотных характеристик устойчивой разомкнутой систе-
мы при устойчивой замкнутой: амплитудно-фазовая (а) и логарифмические
считается за половину перехода.
180
Im
1
0
N
()Wj
Re
а
частотные (б)
L, дБ
,°
слева от частоты среза
180
lg
c
M
0
0
N
б
0
lg , дек
lg , дек
на
L, дБ
I
–1
N
M
() 1A
1
0
Re
0
M
lg
c
lg , дек
,°
0
()Wj
0
–18 °
а
б
Рис. 4.14. Пример частотных характеристик сложной формы для устойчи-
вой разомкнутой системы при устойчивой замкнутой: амплитудно-фазовая
(а) и логарифмические частотные (б)
lg , дек
N
99
Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, ес-
j
ли на той же частоте, где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в
нуль, значение ЛФЧХ равно
:
180
( ) 180
c
.
Пример 4.8
Проверить с помощью критерия Найквиста устойчивость системы,
структурная схема которой показана на рис. 4.15.
0,5р + 1
Рис. 4.15. Структурная схема САУ для примера 4.8
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
10(10 1)
p
()
Wp
0
(0,5 1)(20 1)(4 3 1)
pppp
2
.
Предварительно проверим на устойчивость разомкнутую систему.
Для этого найдем корни характеристического уравнения:
(0,5 1)(20 1)(4 3 1) 0pppp
11 3344137
pp p
12 3,4
0,5 20 2 4 8
2, 0,05,
2
,
2
Все корни имеют отрицательную вещественную часть. Следовательно, разомкнутая система устойчива.
Запишем выражение для обобщенной частотной характеристики
разомкнутой системы:
.
10(10 1)
j
Wj
Рассчитаем
()
0
()Wj
0
(0,5 1)(20 1)( 4 3 1)
jj j
для различных значений и определим веще-
2
.
ственную, мнимую, амплитудную и фазовую частотные характеристики (табл. 4.3). По полученным данным построим амплитудно-фазовую
характеристику разомкнутой системы (рис. 4.16). Эта характеристика
не охватывает точку с координатами ( 1; 0)j . Следовательно, рас-
сматриваемая система устойчива.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]