Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического регулирования. Учебное пособие
.pdf
Составление мысленной модели. Исходя из документации и изу-
yy
yy
чения работы элемента, инженер создает приближенную мысленную
модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.
Определение независимых переменных, которые характеризуют
элемент.
Запись физических законов, в силу которых развиваются процес-
сы в элементе.
Приведение уравнений элемента к удобному с точки зрения тео-
рии автоматического управления виду.
Обычно САУ описываются нелинейными дифференциальными
уравнениями. Но во многих случаях их можно линеаризовать, т. е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно
описывающими процессы в системе. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.
Наиболее просто линеаризация производится в системах стабилизации, поскольку в них поддерживается режим с определенными постоянными значениями переменных. В нормально функционирующей
системе фактический режим отличается от требуемого незначительно,
и отклонения входного воздействия и выходной переменной от требуемых значений малы. Это позволяет произвести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора, и
оставляя только первые (линейные) члены ряда [1]. В общем случае
нелинейный элемент САУ описывается уравнением:
() ( )
,, , ,,, , 0
Fyy y uu u
nm
.
режим является установившимся, производные
нем равны нулю.
y и
uu
как функцию независимых переменных
ложим ее в ряд Тейлора в точке и отбросим малые члены более высо-
кого порядка, чем отклонения:
Примем, что в требуемом режиме
yy
,
0
. Поскольку этот
uu
0
() ( )
,, ,,,
nm
uu
в
Обозначим отклонения переменных от требуемых значений через
u
. Тогда
; …;
uu . Используя эти выражения и рассматривая F
yy y
() ()mm
;
0
uu u
0
11
; yy
,, , ,,, ,
yy y uu u
; …;
nm
() ()nn
, раз-
;
FF F
F
A
Fyy y
0
yy y
FF F
uu u
uu u
()
m
()
()nn
()
m
0,
где
менные y и
– значение функции в требуемом режиме.
0
Очевидно, что
u
, получим:
FFFF FF
yu
nm
yyyuuu
nm
. Отбрасывая это слагаемое и разделяя пере-
0F
0
yy uu
.
Запишем полученное уравнение в стандартном виде:
n
ay a y ayay
nn
aFyaFy aFy
01
bFubFu b Fu
01
n
(1)
110
bu b u bubu
mm
mm
() ( 1)
110
,,, ,
,,, .
n
m
n
()
,
(2.3)
m
()
Уравнение (2.3) можно использовать, если отклонения выходной
u
y и входной
величин достаточно малы и функция F обладает
непрерывными частными производными по всем своим аргументам в
окрестности точек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы
одно из этих условий не выполняется, то линеаризацию производить
нельзя.
Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными,
входящими в уравнение элемента САУ, задают в виде кривой. В этих
случаях линеаризацию можно произвести графически. Геометрически
линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными
(рис. 2.1) означает замену исходной кривой AB отрезком ее касатель-
ной
B
в точке
O
, соответствующей заданному режиму, и парал-
лельный перенос начала координат в эту точку.
Пример 2.1
Рассмотрим систему автоматического регулирования возбуждения
синхронного генератора, работающего на холостом ходу. Составим
математическую модель объекта управления.
12
Рис. 2.1. Линеаризация нелинейной
f
f
f
f
f
f
f
L
f
зависимости между переменными u и y
. Таким
г
u
Регулятор воздействует на напряжение обмотки возбуждения
что приводит к изменению тока возбуждения
i
и, в конечном счете,
действующего значения напряжения на выводах генератора
образом,
– выходной переменной,
U
г
метить, что
u
является входным воздействием на объект управления,
i
– переменной состояния. Следует от-
зависит также от частоты вращения ротора, т. е. откло-
U
г
U
нение частоты от номинальной является возмущающим воздействием.
Запишем физические законы, по которым развиваются процессы
в генераторе. Для цепи обмотки возбуждения это второй закон
Кирхгофа:
di
uRiL
,
где
ffff
R
и
– активное и индуктивное сопротивления обмотки воз-
dt
буждения.
i
и
Зависимость между
U
г
хода (рис. 2.2). С учетом того, что в нормальном режиме
личается от номинального значения
задается характеристикой холостого
мало от-
U
г
U
, можно заменить действи-
гном
тельную зависимость а прямой линией б, являющейся касательной к
(, )
кривой а в точке
iU
(0) г ном
f
. Математическая запись линеаризован-
ной характеристики холостого хода имеет вид
,
13
UU ki i
U
U
U
f
f
f
f
ггномхх (0)
()
ff
,
где
– коэффициент пропорциональности, равный тангенсу угла
k
хх
между прямой б и осью абсцисс.
Для определения
(, )
iU
где
1г1
f
– координаты произвольной точки на прямой б.
Рис. 2.2. Характеристика холостого хода
можно воспользоваться формулой
k
хх
UU
г ном
хх
г1 гном
ii
1(0)ff
k
г
г 1
,
i
1
синхронного генератора:
а – реальная; б – линеаризованная
Перейдем к уравнениям в отклонениях от установившихся значений
UUU
гггном
iii
,
(0)fff
:
()
di i d i
uRi i L Ri RiL
Слагаемое
() ,
fff f f ff fff
Uki
гхх
(0) (0)
.
f
Ri
представляет собой напряжение на обмотке воз-
(0)ff
буждения в установившемся номинальном режиме
uu uu RiL
,
(0) (0)
ff ff fff
(0)
ff
dt dt
u
, поэтому
(0)f
di
dt
uRiL
.
ffff
di
dt
14
Для получения зависимости между входным воздействием
f
f
L
я
я
R
u
и
выходной переменной
iUk
:
гххf
ku RUL
хх г
uU
подставим в последнее уравнение
U
г
RL
ff
f
kkdt
ff f
г
хх хх
()
dU
г
()
dU
г
dt
,
.
Перейдем к принятым в теории автоматического управления обозначениям переменных:
ku Ry L
uu
хх ff
,
dy
dt
yU
.
г
yRyku
,
.
ххff
Полученное линейное дифференциальное уравнение описывает
процессы в объекте управления (генераторе) при небольших отклонениях режима от номинального.
Пример 2.2
Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.3). Здесь
– напряжение, подаваемое на якорь двигате-
u
ля, которое будем считать входным воздействием; i – ток в цепи якоря,
представляющий собой внутреннюю переменную объекта; R, L – сопротивление и индуктивность цепи якоря; e – противоЭДС, т. е.
напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения
в магнитном поле; ω – угловая скорость вращения двигателя, которую
будем считать выходной переменной;
– напряжение на обмотке
u
в
возбуждения.
Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе. Второй закон Кирхгофа для цепи якоря имеет вид
di
iL eu
.
dt
15
Уравнение равновесия моментов на валу двигателя следующее:
J
M
M
M
я
R
я
я
d
MM
dt
дс
,
где J – приведенный момент инерции;
– момент сопротивления на валу двигателя.
с
uя
Рис. 2.3. Схема двигателя постоянного тока
– вращающий момент;
д
uв = const
ω
С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что
ec
1
,
ci
, где
д2
1
2
и
constc
. Примем также,
constc
что момент сопротивления пропорционален скорости вращения
M с
c3
,
3
. Тогда система уравнений, описывающая процес-
constc
сы в двигателе, примет вид
di
iL c u
d
Jcic
dt
1
dt
23
,
;
di
LRicu
dt
d
Jcic
dt
1
23
.
,
Преобразуем полученную систему в одно уравнение второго порядка. Для этого выразим ток из второго уравнения и подставим в первое:
c
Jd
i
cdt c
22
3
dJd Jd
,
LRcu
dtcdt c cdt c
22 22
cc
33
16
1
.
Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду:
я
L
я
y
L
f
f
f
f
()( )
JLcJR Rccc cu
33122
.
Перейдем к принятым в теории автоматического управления обозначениям переменных:
Jy Lc JR y Rc cc y cu
,
uu
()( )
33122
.
.
2.3. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Решение уравнений (2.1) и (2.2) значительно упрощается при использовании операционного исчисления. Поэтому далее кратко изложим основные понятия этого метода математического анализа, подробно рассмотренного в [3].
2.3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Операционное исчисление базируется на некотором интегральном
преобразовании функций вещественной переменной, позволяющем
заменять дифференциальные и интегральные операции над этими
функциями алгебраическими операциями над их интегральными преобразованиями.
Будем в дальнейшем рассматривать функции времени t, удовлетворяющие некоторым ограничениям. Положим, что при
()
t либо непрерывны, либо кусочно-непрерывны, т. е. имеют в лю-
0t
функции
бом конечном промежутке изменения независимой переменной конечное число разрывов первого рода. Внутри любого интервала между
соседними разрывами такие функции непрерывны и стремятся к определенным пределам при приближении изнутри интервала к его границам. Примем, что при
0t
все рассматриваемые функции от t обращаются в нуль (рис. 2.4). Так как при моделировании САУ обычно
рассматривается протекание процесса при
функций ( )
t в нуль при
0t
является несущественным. Необходимо
лишь иметь в виду, что под начальным значением (0)
0t
, то условие обращения
функции ( )ft
следует понимать предел:
(0) lim ( )
.
tt
0( 0)
17
ft
M
f
f
f
F
p
p
Рис. 2.4. Кусочно-непрерывная функция
Второе условие, накладываемое на функции ( )ft , заключается в
том, что от них требуется ограниченный порядок возрастания, т. е.
предполагается, что можно указать такие постоянные положительные
числа
и
, при которых
C
0
Ct
() ( 0)
ft Me t
0
.
Нижняя граница значений
неравенство, называется показателем роста функции ( )
Заметим, что если ( )
t представляет собой решение некоторой
, при которых выполняется указанное
C
0
t .
корректно поставленной физической задачи, то условие ее непрерывности или кусочной непрерывности, также как и условие ограниченности порядка возрастания, обычно всегда выполняется.
При наложенных на функции ( )
t ограничениях существует инте-
грал
() ()
peftdt
где
Действительно, если
ния
Re pC
j – некоторое комплексное число.
Re pC
расположены в полуплоскости, лежащей правее прямой
, то
0
pt
0
, т. е. рассматриваемые значе-
0
18
, (2.4)
M
p
f
F
F
f
p
pt pt
() ()
e f t dt e f t dt M e dt
00 0
()
Ct
0
.
C
0
Отсюда видно, что для функций рассматриваемого класса приведенный интеграл сходится и притом равномерно, так как полученная
оценка справедлива для любого значения
Re pC
.
0
, взятого на полуплоскости
Интеграл (2.4), называемый интегралом Лапласа, осуществляет
преобразование функции ( )
При этом
()Fp
называется изображением ( )ft , а ( )ft – оригиналом,
которому соответствует изображение ( )
между ( )
p и ( )ft применяется символ
t в некоторую другую функцию ( )Fp .
p . Для обозначения связи
L
() ( )
tFp
.
Интеграл (2.4) позволяет непосредственно найти изображения
наиболее часто встречающихся простейших функций.
Пример 2.3. Изображение единичной функции
Под единичной функцией
понимается функция (рис. 2.5), вы-
()t
0
ражаемая равенствами
0
1при 0.
0при 0,
()
t
t
t
δ0(t)
Рис. 2.5. График единичной функции
Запишем интеграл (2.4) для единичной функции:
pt pt pt
pe tdtedt e
() ()
00
где Re 0p , поскольку
00
имеет нулевой порядок возрастания.
()t
0
19
11
0
, (2.5)
p
Пример 2.4. Изображение линейной функции f (t) = kt
F
p
f
j
Запишем интеграл (2.4) для рассматриваемой функции:
()
pektdt tde
pt pt
00
k
.
p
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, получим:
()
Fp te e dt e dt e
kkkk
pt pt pt pt
00
00
pp p
22
Таким образом,
kt p
Пример 2.5. Изображение показательной функции
2
p
(Re 0)
. (2.6)
t
e
k
L
Запишем интеграл (2.4) для рассматриваемой функции:
Ltptt
eeedtedt p
00
pt
2.3.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
p
1
(Re Re )
. (2.7)
.
Теорема сложения
L
() ( )(Re )
Если
tFppC
kk k
и
– некоторые постоянные,
0
C
k
то
nn
Cf t CF p p C
kk kk k
11
kk
L
() ( ) (Re max )
. (2.8)
0
Приведенное выражение следует непосредственно из определения
преобразования Лапласа (2.4).
Пример 2.6. Изображения тригонометрических функций
Запишем тригонометрические функции через показательную, используя формулы Эйлера:
tjtjt jt
ee e e
cos
t
,
222
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]