Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
81
Как видно из таблицы точность определения геометрических
8.18y
25y
,cossin50
21
x
2
,0,sinsin60
2121
y
,cos60
1
z
2
1
1
A
2
A
1
R
2
R
Точ-
ное
Точ-
ное
Точ-
ное
Точ-
ное
0.785
0.02
60
60
1.2
1.2
50
49.8
53.3
50.7
0.408
59.2
59.2
23.5
23.5
53.1
51
54.4
50
0.795
57.2
57.2
41
41.2
59.5
59.9
56.5
55.2
1.18
55.2
55.2
51.7
51.9
65.2
64.9
58.3
60.1
1.57
54.3
54.3
55.2
55.3
67.3
69.9
58.9
61.7
1.18
0.02
60
60
1.2
1.2
57
56.4
45.8
46.7
0.408
59.7
59.7
23.7
23.7
57.9
56.6
46
42.5
0.795
59.1
59.1
42.4
42.5
59.9
59.6
46.5
44.1
1.18
58.4
58.4
54.6
54.8
61.8
61.2
47
45.8
1.57
58.2
58.1
58.8
59
62.2
64.5
47.2
46.7
,cossin50
21
x
2
,0,sinsin50
2121
y
,cos50
1
z
параметров оболочки в точках, не совпадающих с узлами (значения
при
), такая же, как и в узловых точках (значения при
).
Результаты аппроксимации эллипсоидальной поверхности,
заданной в параметрическом виде
,
представлены в таблице 2.4.8.
Таблица 2.4.8
За поверхность отсчета принята сфера
.
82
Значения функции задавались на равномерной сетке 5х5 в
1
2
57.10
12
при
57.1,00
221
при
6,,1,12 pJjp
j
3
1015.0
точках с координатами:
= 0.262, 0.524, 0.785, 1.05, 1.31,
= 0, 0.393, 0.785, 1.18, 1.57.
Выполнялись граничные условия
;
.
Для весовых коэффициентов принимались значения
. Полагалось
.
Результаты расчетов показывают, что уже аппроксимация
сеткой 5х5 дает максимальную погрешность по коэффициентам
первой квадратичной формы менее 1%, по коэффициентам второй
квадратичной формы – менее 9%.
83
Г Л А В А 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
В данной главе на основе предложенного в первой главе метода
расчета тонких оболочек и стержней проводятся исследования в
области определения напряженно-деформированного состояния
составных оболочек, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости,
оболочечно-стержневых конструкций.
Довольно часто тонкостенные конструкции, являющиеся
элементами реальных объектов, состоят из различных видов
оболочек, жестко соединенных между собой по линиям контактов.
Такие конструкции называются составными. Расчет составных
конструкций производится в основном вариационными или
численными методами, в частности методом конечных элементов или
методом суперэлементов.
Определение напряженно-деформированного состояния
составных оболочек вызывает большие трудности, если стыковка
оболочек происходит по линиям, не совпадающим с координатными
линиями на этих оболочках.
В работах [79, 85, 89] для расчета составных оболочек
вариационным методом в функционал посредством множителей
Лагранжа вводится слагаемое, из которого следуют условия
сопряжения оболочек.
При использовании методома конечных элементов [8, 44, 75,
155] обычно на линиях сопряжения оболочек вводятся специальные
степени свободы и строятся соотношения, связывающие перемещения
сопрягаемых оболочек.
Вопросам расчета тонких оболочек, подкрепленных ребрами
жесткости, посвящено довольно много работ. Однако в большинстве
работ рассматривается симметричная система ребер, проходящих
вдоль координатных линий, и решения представляются в виде
разложения в одинарные или двойные ряды, или рассматриваются
84
осесимметричные задачи. Определение напряженно-
k
T
uuuU
321321
~
,~,~,~,~,
~
~
zyx~,~,
~
,,
21
деформированного состояния оболочек с произвольным
расположением ребер производится в основном методом конечных
элементов.
Во многих реальных конструкциях несущей является
оболочечно-стержневая система. Для таких конструкций необходимо
рассматривать совместную работу оболочек и стержней. В
зависимости от постановки задачи могут возникнуть случаи, когда в
этих конструкциях требуется определить напряженнодеформированное состояние или только оболочек или только
стержневых элементов. Тогда является целесообразным освободиться
соответственно в первом случае от параметров, определяющих
напряженно-деформированное состояние стержневых элементов, а во
втором случае - от параметров, определяющих напряженнодеформированное состояние оболочек. Это позволяет существенно
понизить порядок решаемой системы уравнений, к которой сводится
исходная задача.
3.1. Определение напряженно-деформированного состояния
составных оболочек
Рассмотрим тонкостенную составную конструкцию, элементами
которой являются тонкие оболочки, жестко соединенные между собой
по линиям контактов (рис.3.1.1). Данная конструкция разбивается на
подобласти вида
(рис.1.2.1) таким образом, чтобы подобласти
имели однородную структуру, гладкую срединную поверхность и
гладкие граничные линии. Линии контактов оболочек с различными
механическими свойствами и линии разрывов гладкости оболочек
должны лежать на граничных линиях подобластей.
В качестве искомых функций выбираются компоненты векторов
перемещений и углов поворота
в глобальной системе координат
. Компоненты перемещения в
, заданные
локальной системе координат
, введенные в срединной
85
поверхности подобласти, связаны с компонентами перемещения в
zyx~,~,
~
UCU
~
T
wuuU
32121
,,,,,
,,
21
3
,
0
0
*
С
С
С
333231
232221
131211
CCC
CCC
CCC
С
3,1,3,1, jiС
ij
3
2
11
1
22
21
3
2
1 uAuA
AA
глобальной системе координат
соотношениями:
, (3.1.1)
где
срединной поверхности подобласти, заданный в локальной системе
координат
рассматриваемой точки срединной поверхности вокруг нормали;
координат в глобальной системе координат.
;
- направляющие косинусы локальной системы
вектор перемещений и углов поворота
- средний поворот окрестности
,
Угол поворота
Для получения решения задачи используется вариационное
уравнение Лагранжа
Рис. 3.1.1
представляется в виде [87]:
; (3.1.2)
86
K
k
kkkk
K
k
k
dWПUEE
k
11
0'
, (3.1.3)
k
П
k
W'
k
k
2
2
11
1
22
21
3
2
1
uAuA
AA
k
3
k
kk
B001.001.0
k
B
k
k
MmN
n
nm
k
mn
ttDU
1 1
21
~~
T
k
mn
k
mn
k
mn
k
mn
k
mn
k
mn
k
mn
DDDDDDD
654321
~
,
~
,
~
,
~
,
~
,
~~
k
mn
D
~
PDK
~~~
где
,
- соответственно удельная потенциальная энергия
деформации и вариация работы внешних сил подобласти
оболочки;
- постоянные коэффициенты (весовые параметры);
. (3.1.4)
Аналогичное слагаемое используется в работе [163] при
создании билинейного конечного элемента тонкой оболочки.
В вариационном уравнении (1.3) скомбинированы условия
минимума полной энергии системы и минимума квадрата
погрешности определения угла
, вычисленной в соответствии с
формулой (1.2).
Коэффициенты
где
- жесткость на изгиб подобласти
В подобласти
задаются в пределах:
оболочки.
искомые функции представляются в виде
(1.2.2):
. (3.1.5)
Здесь
- вектор
неизвестных постоянных. Остальные величины введены в параграфе
1.2.
Подставляя аппроксимирующую функцию (1.5) в формулу (1.1),
а затем найденное соотношение в вариационное уравнение (1.3),
учитывая при этом геометрические граничные условия и условия
стыковки подобластей, относительно неизвестных постоянных
получается система линейных алгебраических уравнений
, (3.1.6)
,
87
где
]~[K
D
~
P
~
k
K
~
k
k
JJ
k
J
k
J
k
J
kk
k
J
kk
k
KKK
KKK
KKK
K
~~~
~~~
~~~
~
21
22221
11211
k
ij
K
~
k
d
ok
ij
K
k
ij
K
~~
12212211
1,
~
rlmnrlmnrlmnrlmn
ok
ij
BK
5544
2
33
2
1
rlmnrlmnrlmn
B
7766
3
rlmnkrlmn
B
710611
3
5948
23,,
~
rlmnkrlmnrlmnrlmn
ok
ij
BBK
107116
3
9584
2,3,
~
rlmnkrlmnrlmnrlmn
ok
ij
BBK
127712771212
3,3,
~
rlmnrlmnrlmnrlmn
ok
ij
BK
9988
2
1111
2
1
rlmnrlmnrlmn
B
1010
rlmnk
,)(
1
31212
1
1
1
1
mn
mn
mn
CkCA
C
A
,)(
1
32121
2
2
2
2
mn
mn
mn
CkCA
C
A
- матрица жесткости оболочки,
- вектор неизвестных
постоянных,
- вектор правой части, учитывающий действие
внешних нагрузок.
Матрица жесткости
Здесь
- подматрицы размерности шесть на шесть, элементы
которых представляются так:
+
подобласти
,
имеет вид
. (3.1.7)
;
,
,
, (3.1.8)
где
88
2
1
21
2
1
3
11
mnmn
mn
C
A
C
A
,)(
221112 mn
CACA
,
1
11
1
3
1
4
mn
mn
mn
Ck
C
A
,
1
22
2
3
2
5
mn
mn
mn
Ck
C
A
2
1
2
2
1
2
1
1
6
mnmn
mn
C
A
k
C
A
k
,)(
22121121 mn
CAkCAk
,
1
221
2
1
2
7
mn
mn
mn
CA
C
A
,,
1
9
2
8
mnmnmnmn
CC
,
310mnmn
C
2
2
21
1
1
11
11
mnmn
mn
C
A
C
A
,)(
212121 mn
CACA
,
1
112
1
2
1
12
mn
mn
mn
CA
C
A
1
2
21
21
2
1
21
12
1
,
1
A
AA
A
A
AA
A
;;,1, NMJJji
3,1,
;
.
3.2 Основные соотношения для ребер жесткости.
При расчете оболочек с ребрами жесткости целесообразно
компоненты перемещения и углы поворота ребер жесткости
определять через компоненты перемещения и углы поворота
срединной поверхности оболочки. В этом случае уменьшается
порядок системы уравнений, к которой сводится решение задачи.
Рассмотрим тонкую оболочку, подкрепленную ребром
жесткости (рис.3.2.1). Предположим, что осью ребра является
кусочно-гладкая кривая .
89
В срединной поверхности оболочки выбирается кривая и
z,,
,
z,,
o
aa,
o
aa,
Рис.3.2.1
вводится ортогональная система координат
, относительно
которой задается уравнение оси ребра. Полагаем, что координатная
линия направлена вдоль кривой , ось z перпендикулярна к
срединной поверхности оболочки, оси
образуют ортогональную
гауссову систему координат на срединной поверхности оболочки. В
дальнейшем полагаем, что кривые совпадают с граничными
линиями подобластей, на которые разбивается срединная поверхность
оболочки. Линия относительно система координат
имеет
эксцентриситеты
.
Вводятся следующие гипотезы:
1) для оболочки и ребер жесткости справедливы гипотезы типа
Тимошенко,
2) оболочка и ребра жестко соединены между собой по поверхностям
контактов,
3) эксцентриситеты
одного порядка с размерами поперечных
сечений ребер и толщиной оболочки.
90
Также предполагается, что для оболочки и ребер справедлив
,
2232211
zhuv
,
121222
zhuv
,
13
wv
,
33
T
vvvV
321321
,,,,,
T
wuuU
32121
,,,,,
z,,
3
222
,2/ hzzhh
31
1
21
21
11
11
1
1
1
vk
A
AA
vv
Azk
32
2
21
12
22
22
1
1
1
vk
A
AA
vv
Azk
zv
3
33
1
21
12
11
21
1
1
1 A
AA
vv
Azk
2
21
21
22
1
1
1 A
AA
vv
Azk
z
v
vk
v
Azk
1
11
3
11
31
1
1
1
закон Гука, деформации малы.
На основании принятых гипотез устанавливается следующая
связь между компонентами перемещений и углов поворота ребра и
точек оболочки на линии :
где
углов поворота оси ребра,
(3.2.1)
- вектор компонентов перемещения и
- вектор
компонентов перемещения и углов поворота точек оболочки на линии
в системе координат
;
- средний поворот окрестности
рассматриваемой точки вокруг нормали (3.1.2); h - толщина оболочки;
.
Для определения деформаций ребра используются соотношения
теории упругости для компонент деформации тонкой оболочки,
заданные в криволинейной ортогональной системе координат [87]:
,
,
,
,
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]