Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
111
элементов
21,kk
4,1, i
iк
К
к i
s
ik
j
kj
ППП
1
4
1
2
1
2,1, jUПП
kjkjkj
kisik
s
ik
VПП
iк
kikj
VU ,
,2,1,
~
1 1
21
jttDU
MmN
n
nm
kj
mnkj
,
~
1
1
M
m
mkimki
tBV
,
~
1
2
2,
2,
N
n
n
ik
nik
tBV
2,1i
ikj
,
~
1
1
M
m
mkjmikji
tDU
.
~
1
22,
N
n
nkjinikj
tDU
,0
~
1
1
M
m
m
ki
m
i
kj
kj
mi
tBAD
,0
~
1
2
2,2
N
n
n
ik
n
i
kj
kj
in
tBAD
2,1,2,1 ij
и четырех стержневых элементов
проходящих вдоль граничных линий оболочечных элементов.
Потенциальная энергия деформации системы представляется в
виде:
,
,
где
верхнего и нижнего слоев к-го суперэлемента;
- потенциальные энергии деформации
-
потенциальная энергия деформации стержневого элемента
- векторы перемещений и углов поворота соответственно
оболочечных и стержневых элементов.
В пределах суперэлемента искомые функции в глобальной
системе координат представляются в виде (5.3), (5.4):
(3.6.1)
. (3.6.2)
В дальнейшем для решения задачи используется метод,
рассмотренный в предыдущем параграфе. Перемещения граничных
линий
определяются по формулам:
(3.6.3)
После этого для каждого из оболочечных элементов
составляются уравнения вида (5.6):
;
;
112
из которых параметры
kj
in
kj
mi
DD ,
jik
2,,ik
n
ki
m
BB
2,,ikik
i
kj
i
kj
T
i
kj
i
kj
CACA
~
i
kj
i
kj
i
kj
С
С
С
0
0
100000
010000
001000
00100
00010
0001
kji
kji
kjikji
i
kj
b
a
ba
A
kjikji
ba ,
jik
ik
**
,
jiji
zy
i
kj
С
***
,,
jijiji
zy
***
,,
jijiji
zy
kj
***
,,
iii
zy
M
kikji
m
kj
mi
BGD
1
, определяющие перемещения
граничных линий
, выражаются через параметры
определяющие перемещения стержней с осями
уравнениях
,
где
,
- эксцентриситеты граничных линий
по координатным линиям
;
- матрица направляющих
,
. В этих
,
относительно осей
косинусов системы координат
координат.
Система координат
таким же образом, как система координат
3.5 (рис.5.1).
Решение данной задачи в общем случае имеет вид (5.8):
в глобальной системе
вводится для каждой подобласти
в параграфе
,
113
N
ikikj
n
kj
in
BGD
1
2,2,
,
2,1,2,1 ij
mеслиGAG
kji
m
i
kj
kji
mm
,0,
~
nеслиGAG
kji
m
i
kj
ikj
nn
,0,
~
22,
2,,ik
n
ki
m
GG
kj
,
kjkjkj
PDK
2,1j
kj
D
kj
mn
D
kj
kjkjkj
PDK
2,1j
jik
kj
2,,ikik
o
kk
o
k
PBK
kj
j
T
kj
o
k
j
kjkj
T
kj
o
k
PGPGKGK
2
1
2
1
,
kj
G
2,,ik
n
ki
m
GG
k
B
2,,ik
n
ki
m
BB
В частном случае решение задачи имеет вид (5.7), которое
получается из этого решения, если положить
,
.
, (3.6.4)
В общем случае неизвестные постоянные
определяются из систем уравнений вида (5.9).
Для подобластей
на основании вариационного принципа
Лагранжа формируются матрицы жесткости и вектора правой части,
которые приводят к системе уравнений вида (5.10):
- вектор неизвестных постоянных, состоящий из элементов
, (3.6.5)
.
Исключая из данной системы уравнений параметры,
определяющие перемещения внутренних узлов подобластей
получаем
,
.
Параметры, определяющие перемещения граничных линий
подобластей
перемещения стержней с осями
, выражаются через параметры, определяющие
в соответствии с
формулами (6.4). Система уравнений принимает вид (5.11):
, (3.6.6)
где
,
- матрица, составленная из матриц
состоящий из векторов
;
;
- вектор,
.
114
Проходя таким образом по всем подобластям конструкции и
PBK
PK ,
T
T
L
TT
BBBB ,...,,
21
j
B
j
2,,ik
n
ki
m
BB
2,1,2,1,, ijDD
kj
in
kj
mi
jik
kj
2,1,2,1,, ijDD
kj
in
kj
mi
kj
mn
D
kj
добавляя к полученной матрице жесткости оболочек матрицы
жесткости отдельных стержней, приходим к системе уравнений:
.
Здесь
- матрица жесткости и вектор правой части конструкции,
,
- вектор неизвестных параметров стержня
L – количество стержневых элементов.
Задача свелась к расчету стержневой системы с некоторыми
обобщенными характеристиками.
Решая данную задачу, определяются параметры
дающие перемещения стержней. После этого, в случае
необходимости, по формулам (6.4) находятся параметры
, определяющие перемещения граничных
линий
подобластей
. Подставляя найденные параметры
в систему уравнений (6.5), из нее находятся
остальные параметры
точек подобласти
, определяющих перемещения внутренних
.
,
,
115
1
,, w
1
TTT
w
1
,,
%100%,100
T
T
T
T
w
ww
w
Г Л А В А 4
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
На основе предложенного в данной работе метода определения
напряженно-деформированного состояния тонких оболочек и
стержней разработаны пакеты программ по расчету тонких оболочек
сложной формы, стержневых систем, составных оболочек, оболочек
подкрепленных ребрами жесткости, оболочечно-стержневых систем.
В данной главе приводятся численные результаты, полученные на
основе этих программ. Проводится сравнительный анализ полученных
результатов с результатами других авторов. Показываются основные
возможности рассмотренного метода расчета тонкостенных
конструкций.
4.1. Пластины и оболочки канонической
и сложной формы в плане.
1. Прямоугольная пластина под действием распределенной нагрузки.
Для иллюстрации сходимости решения в таблице 4.1.1
приведены результаты расчета защемленной по контуру
прямоугольной пластины (рис.4.1.1), нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой. Величины искомых функций даны для
различных значений N и M, определяющих число членов в
аппроксимирующих функциях (1.4.4).
В таблице даны значения величин
определяющих проценты расхождения максимального прогиба w,
максимального напряжения в центре пластины и максимального
напряжения
в центре длинной стороны пластины от
,
соответствующих значений
, приведенных в работе [133]:
.
116
Таблица 4.1.1
ab/
1
2
N=M
w
(%)
(%)
1
(%)
w
(%)
(%)
1
(%) 3 5.2
77.1
37.6
12.5
78.2
16.8
4
0.2
20.1
9.7
3.6
10.6
4.4 5 0.6
2.6
1.2 0 3.2
0.6 6 0.6
1.2 0 0.7
0.8
0
505.2 xy
50045
6
1
2
xxy
Рис.1.7.1
Вследствие симметрии рассматривалась четверть пластины,
брался один элемент типа . Результаты приведены для следующих
параметров пластины: h=1см, a=b=100см, E=200ГПа, =0.3,
q=0.1кН/м2.
Результаты показывают, что уже при значениях N=M=5 отличие
по прогибам составляет менее 1%, по напряжениям – менее 4%.
Для исследования выполнения условий стыковки решений на
контактирующих границах подобластей рассматривается случай,
когда четверть квадратной пластины разбивается на две подобласти.
Рассматриваются два вида разбиения пластины. Разделение области
на подобласти производится по прямой линии
и по
параболе
взяты из примера, приведенного на рис.4.1.1.
(рис.4.1.2). Данные для пластины
117
x
Рис.4.1.2
На рисунках 4.1.3 и 4.1.4 представлены графики прогиба w и
напряжения
для линии у=0. Пунктирной линией на рисунках
показаны графики для первого вида разбиения, штрих пунктирной –
для второго при количестве членов в рядах N=M=4. Сплошной
линией дано решение задачи, когда четверть пластины
рассматривалась как одна подобласть при N=M=6.
Рис.4.1.3
Если же построить графики для рассмотренных двух видов
разбиения при N=M=6, то они практически совпадают с
графиками, показанными на этих рисунках сплошными линиями. На
118
рисунке
Т
хT
w ,
y
- максимальный прогиб и максимальное напряжение
в пластине, данные в работе [133].
Из приведенных рисунков следует, что два этих вида разбиения
дают практически одинаковые графики прогибов уже при порядке
полиномов N=M=4. При увеличении же порядка аппроксимирующей
функции происходит выполнение и статических условий стыковки
областей.
Рис.4.1.4
2. Косоугольная пластина под действием распределенной
нагрузки.
Для пластины, имеющей форму параллелограмма (рис.4.1.5),
находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, в
таблице 4.1.4 приводятся проценты расхождения максимального
прогиба w и максимального напряжения
от соответствующих
величин, полученных в работе [133].
119
Рис.4.1.5
N=M
w
, (%)
, (%)
5
8.93
5.12
6
8.04
2.96
7
7.14
1.48
8
1.79
-1.89
k
k
a
Таблица 4.1.4
3. Треугольная пластина.
Для проверки сходимости решений, полученных на основании
треугольных элементов вида
или
, в таблице 4.1.5 приводятся
значения процентов расхождения напряжений в центре тяжести
треугольной пластины (рис.4.1.6) от соответствующих значений
напряжений, полученных в работе [133]. Два края пластины
защемлены, один край свободно оперт, действует равномерно
распределенная нагрузка, h=1см, a=100см, E=200ГПа, =0.3,
q=0.1кН/м2.
Численные эксперименты также показывают, что для
определения напряженно-деформированного состояния треугольной
пластины можно использовать четырехугольные элементы. Вместо
одного верхнего узла возьмем два узла (рис.4.1.7) с координатами (-
,a) и (a,a).
120
Таблица 4.1.5
N=M
5 6 7
8
x
, %
18.4
6.12
4.08
3.40
y
, %
24.8
7.14
4.76
3.97
1.0001.0
001.0
0.1
0.2
0.5 1 2
5
wc, мм
5.64 5.66 5.70 5.75 5.87 6.2
4
c
, МПа
145
145
146
147
149
155
Рис.4.1.6 Рис.4.1.7
Если
, то получаются результаты практически
совпадающие с результатами, полученными для треугольного
элемента. При значениях
происходит заклинивание
решения для четырехугольного элемента. В таблице 4.1.6 даны
значения прогиба и максимального напряжения в точке С для выше
приведенной треугольной пластины со свободно опертыми краями
для различных значений параметра .
Таблица 4.1.6
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]