Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
71
,
21
22221
11211
T
II
T
I
T
I
T
I
TT
T
I
TT
T
KKK
KKK
KKK
K
T
I
T
T
T
T
I
T
T
T
Q
Q
Q
Q
B
B
B
B
2
1
2
1
,
k
J
j
jkljmno
jklmnklmn
T
pdpK
0
1
0221111,
,2
k
dpK
klmn
T
0
,
0212,
k
dpK
klmn
T
0
,
0113,
k
dpK
klmn
T
0
,
0221,
k
dpK
klmnklmnklmn
T
0
,
0223322,
k
dK
klmnklmn
T
0
,
0243123,
k
dpK
klmn
T
0
,
0131,
k
dK
klmnklmn
T
0
,
0421332,
k
dpK
klmnklmnklmn
T
0
,
0441133,
,
3
2
1
mn
mn
mn
T
B
B
B
B
,
72
0,2
3,2,
1
1,
TT
J
j
j
mnjoj
T
QQpQ
),()(
21
nmmn
tt
,,1),()(
21
Jjtt
jnjm
j
mn
1
2
21
2
2
21
01
1
)()()()(
1
nmnmmn
tttt
dA
,)()()()(
1
2
1
21
1
1
21
02
2
nmnmmn
tttt
dA
mnmnmnmn
A
AA
A
AA
1
2
21
4
2
1
21
3
1
,
1
00
1,1 NklNmn
o
j
p
Jj
jjj
J
1
2
21
),(
1
21
,
21
,
,
Весовые коэффициенты
,
.
, как и в одномерном случае,
,
определяются из условия выполнения неравенства
, (2.3.7)
где - малое положительное заданное число.
Функционал (3.5) содержит только первые производные от
искомых функций ,
. Следовательно, для выполнения
условий сходимости решения необходимо обеспечить непрерывность
аппроксимирующих функций.
При использовании функционала (3.5) существенно облегчается
решение задач, когда на границах области требуется удовлетворить
условиям для первых производных от функции , т.е. задать углы
наклона нормали к срединной поверхности оболочки. Для этого
необходимо просто задать значения функций
на границах. С
помощью аппроксимирующих функций (3.6) это выполняется
автоматически. При использовании же функционала (3.3) это сделать
довольно трудно, особенно для оболочек сложной формы. В этом
случае придется удовлетворять граничным условиям для производных
от аппроксимирующей функции .
73
2.4 Численные результаты.
)(' af
)(' bf
xy sin
2/,0
К = 5
x = 1.178
x =
2
Работа
b
f '
)(' xf )('' xf )(' xf )('' xf
[38]
0
0.383
-0.925
0
-1.14
0.01
0.38
-0.955
0.01
-0.929
0.1
0.356
-1.16
0.1
-1.41
2
0 h
0.378
-0.961
0.015
-0.89
[120]
-
0.384
-0.924
-0.003
-1.03
(2.4)
-
0.383
-0.92
-0.002
-1.02
Точное
-
0.383
-0.924
0
-1
810
)(' af
)(' bf
На основе предложенного метода разработан алгоритм и
создана программа по построению одномерных и двумерных
сглаживающих функций, значения которых заданы в дискретных
точках.
Как отмечалось выше, достоинством представления
аппроксимирующей функции в виде полиномов является то, что
можно получать достаточно точные решения, не задавая значения
и
. В таблице 2.4.1 представлены результаты
аппроксимации функции
по данной методике и другими авторами.
Таблица 2.4.1
В предпоследней строке приведены результаты, полученные на
основании функционала (2.1) с использованием аппроксимирующей
функции (2.4). В этой таблице и в последующих примерах значения
функции задавались с равномерным шагом и полагалось, что
Количество точек аппроксимации выбиралось равным количеству
членов в аппроксимирующей функции, т.е. J=К.
Чтобы показать влияние на результаты расчетов погрешностей,
связанных с заданием значений
результаты, которые получены на основании сглаживающего сплайна
на отрезке
и
, полученные
, в таблице приводятся
.
74
и программы, опубликованной в работе [38]. При этом полагалось,
10 )('f
b
ff
2/
)(' af
)(' bf
2
0 h
.43
2
1
)('
,43
2
1
)('
21
321
KKK
fff
h
bf
fff
h
af
)(' bf
)(' bf
xy sin
2,0
xxf sin8.00
что на левом конце отрезка задается точное значение, т.е.
,
на правом конце может быть погрешность:
строке для данной работы представлены результаты, когда значения
и
погрешностью
Из таблицы видно, что при использовании кубических
сплайнов результаты расчетов существенно зависят от граничных
значений производных. Даже при точном задании значения
результаты, полученные с помощью сплайнов, менее точны, чем с
помощью полиномов. Отмеченный факт имеет место и в других
примерах. Как показывают результаты, использование решения в виде
полинома (2.4) позволяет получить достаточно точное решение как по
первым, так и по вторым производным без удовлетворения условию
=0.
В таблице 2.4.2 для функции
производится сравнение результатов, полученных по формулам (2.4) и
(2.10). При использовании формулы (2.10) в качестве начального
приближения выбиралась функция
Результаты показывают, что при использовании
полиномиальной аппроксимации уже при К=9 на девяти узловых
точках получаются достаточно точные результаты как по самой
функции, так и по ее производным. Причем, использование
начального приближения (2.10) дает более точные результаты, чем без
него (2.4). Если процент расхождения приближенного значения от
максимального точного по вторым производным без начального
приближения составляет примерно 8%, то с начальным
приближением только 1%. При использовании начального
вычислялись приближенно по разностным формулам с
:
на отрезке
. В четвертой
=0
.
75
приближения даже при К=5 решения получаются точнее, чем при
К
Работа
2/x 2x
)(' xf )('' xf )(' xf
)('' xf
5
[38],
2
0 h
-0.091
-1.04
1.27
0.694
[155]
-0.212
-0.81
1.7
1.62
(2.4)
-0.212
-0.81
1.69
1.62
(2.10)
-0.042
-0.96
1.14
0.322
9
[38],
2
0 h
0.012
-1.1
1.16
0.734
[155]
4
105
-1.001
1.01
0.084
(2.4)
4
104
-1.001
1.01
0.079
(2.10)
6
102
-1
1.001
0.01
Точное значение
0
-1 1 0
22
50 xy
4.354.35 x
120
cos40
0
x
xf
использовании сплайн-аппроксимации [38] по девяти узловым точкам.
Таблица 2.4.2
В таблице 2.4.3 приводятся значения первых и вторых
производных, полученных при аппроксимации функции
равномерным шагом в К точках.
формулы (2.10) выступала функция
узлами, погрешность в определении производных функции может
быть значительно большей, чем в самих узлах. При использовании же
полиномов в качестве аппроксимирующих функций этого не
наблюдается [120].
, заданной на интервале
В качестве начального приближения при использовании
.
При аппроксимации сплайнами в точках, находящихся между
с
76
Таблица 2.4.3
K x
Точное
(2.4)
(2.10)
[38],
2
0 h
5
0
)(' xf
0 0 0
0
10)('' xf
-0.2
-0.198
-0.197
-0.162
17.7
)(' xf
-0.378
-0.382
-0.382
-0.402
10)('' xf
-0.244
-0.253
-0.253
-0.289
35.4
)(' xf
-1
-0.961
-0.962
-0.877
10)('' xf
-0.566
-0.419
-0.424
-0.248
8
5.05
)(' xf
-0.102
-0.102
-0.102
-0.103
10)('' xf
-0.203
-0.203
-0.203
-0.204
25.3
)(' xf
-0.585
-0.587
-0.587
-0.6
10)('' xf
-0.311
-0.315
-0.313
-0.355
35.4
)(' xf
-1
-0.993
-0.995
-0.936
10)('' xf
-0.566
-0.513
-0.524
-0.307
)(''),(' xfxf
xy sin
2,0
xxf sin8.00
942.0cx
Точное
(2.10) I II
III
IV
)(' xf
0.588
0.588
0.559
0.604
0.422
0.608
0%
6%
2.7%
28%
3.4%
)('' xf
-0.809
-0.808
-0.770
-0.925
-1.267
-0.951
0.1%
4.8%
14%
57%
18%
Для иллюстрации этого факта в таблице 2.4.4 приводятся
значения производных
и их проценты расхождения от
точных значений для функции
вычисленные не в узловой точке. Предполагалось, что К=9,
. Результаты приведены для точки
Таблица 2.4.4
В столбцах таблицы I, II, III, IV представлены значения
производных, подсчитанные с использованием различных
на отрезке
.
,
77
интерполяционных функций по точным узловым значениям. Длина
c
x
2
''''
'',
2
''
'
3232
ff
f
ff
f
cc
,'''''''
43332212
xHfxHfxHfxHfxf
xfxf '''
,'''
43332212
xHfxHfxHfxHfxf
xfxf '''
,2,231
32
2
32
1
xxxxHxxxH
,,23
23
4
32
3
xxxHxxxH
.
23
2
xx
xx
x
256.1,628.0
32
xx
951.0'',309.0',588.0'',809.0'
3322
ffff
отрезка разбивалась на 10 равных интервалов. Значения вычислялись
для середины второго интервала в точке
. Столбец I соответствует
линейной интерполяции
;
столбцы II и III – интерполяции с использованием функций формы
метода конечных элементов в виде одномерных функций Эрмита [77,
127]:
,
,
где
Здесь
- граничные точки второго
интервала,
Столбец IV соответствует интерполяции кубическим сплайном [38].
Из приведенных результатов видно, что, если даже узловые
значения определены правильно, использование интерполяционных
функций I-IV не обеспечивает необходимой точности вычисления
производных в промежуточных точках. Применение
аппроксимирующих функций в виде полиномов позволяет получать
решения в промежуточных точках с такой же точностью, как и в
узловых точках.
Численные эксперименты показывают, что результаты,
полученные с помощью функционалов (2.1) и (2.11), практически
.
78
совпадают, если для второго функционала не задаются значения
1
xy sin
2/,0
)(''),(' xfxf
ba
ff ','
К
x = 1.178
x =
2/
)(' xf )('' xf )(' xf )('' xf
Не заданы
3
0.373
-0.671
0,11
-0.671
4
0.392
-0.935
-0.027
-1.20
5
0.383
-0.92
-0.002
-1.02
Заданы
3
0.378
-0.854
0
-1.07
4
0.389
-0.912
0
-1.05
5
0.383
-0.922
0
-1,003
5, J=3
0.383
-0.922
0
-1.004
Точные значения
0.383
-0.924
0
-1
ba
ff ','
функции
в узловых точках и на границе.
С целью исследования влияния на решение задания значений
производных в граничных точках, в таблице 2.4.5 приводятся
результаты расчетов для функции
на отрезке
полученные на основании функционала (2.11). В таблице приведены
значения производных
для разных порядков полиномов
аппроксимирующей функции с учетом задания значений первых
производных в граничных точках и без учета. Здесь задаются точные
значения производных в граничных точках. Во всех примерах, кроме
предпоследней строки, предполагалось, что количество точек
аппроксимации совпадает с количеством членов в
аппроксимирующих функциях, т.е. J=K .
Таблица 2.4.5
,
производных приводит к уточнению решения. Причем, в этом случае
для К=5 при аппроксимации по трем узловым точкам решение
получается точнее, чем при аппроксимации по пяти точкам без
задания граничных значений производных.
граничных значений производных
аппроксимирующей функции. Полагалось, что значение производной
Из таблицы видно, что задание граничных значений
В таблице 2.4.6 приведены результаты, показывающие влияние
на производные от
79
a
f '
задавалась точно, а
b
f '
b
f '
b
f '
J
b
f '
x = 1.178
x =
2/
)(' xf )('' xf )(' xf )('' xf
3
0
0.383
-0.922
0
-1.004
0.01
0.381
-0.909
0.01
-0.953
0.05
0.374
-0.858
0.05
-0.75 5 0
0.383
-0.922
0
-1,003
0.01
0.381
-0.923
0.01
-0.927
0.05
0.375
-0.92
0.05
-0.635
Точные значения
0.383
-0.924
0
-1
b
f '
22
2
130120 xz
50,0 yx
1
A
1
R
принимала различные значения, т.е.
таким образом моделировалась погрешность. Результаты приведены
для случая К=5 при аппроксимации по трем и пяти точкам.
Как видно из таблицы, если значения
рассматривать как
начальную погрешность, то при пятиточечной аппроксимации при
5%-ой ошибке в задании величины производной
получается
погрешность в определении значения второй производной функции в
граничной точке около 36% .
Таблица 2.4.6
Трехточечная аппроксимация дает меньшие погрешности в этой
точке. Однако во внутренних точках пятиточечная аппроксимация
дает более точные результаты, чем трехточечная. Если же значения
рассматривать как подлежащие выполнению для производной
искомой функции, то из таблицы следует, что эти значения
существенно влияют на аппроксимирующую функцию.
В таблице 2.4.7 приводятся результаты аппроксимации
цилиндрической поверхности, заданной уравнением
в пределах
. При решении задачи использовался
функционал (3.5). Поверхностью отсчета являлась плоскость. Здесь
3х5, 5х5 – количество точек аппроксимации по осям x и y;
,
-
коэффициент Ляме и радиус кривизны в окружном направлении
80
цилиндра,
600 NM
5.37,25,5.12x
.50,5.37,25,5.12,0y
y
x
1
A
1
R
Точное
3х5
5х5
Точное
3х5
5х5
25
0 1 1
1
130
151
138
12.5 1 1 1 128
126
25
1,02
1,02
1,02
135
127
37.5
1,04
1,04
1,04
103
118
50
1,08
1,08
1,08
640
130
18.8
0 1 1
1
130
151
138
12.5 1 1 1 128
126
25
1,02
1,02
1,02
135
127
37.5
1.04
1.04
1.04
103
118
50
1,08
1,08
1,08
624
129
45,5x
,00
2
xпри
500 xпри
50,00
1
yyпри
510
x
4,4,4
321
ppp
8.4,160,80
54
ppp
. При аппроксимации 3х5 значения функции
задавались в точках с координатами
;
Таблица 2.4.7
При аппроксимации 5х5 дополнительно задавались в точках с
координатами
. Кроме этого выполнялись граничные
условия:
,
.
При определении весовых коэффициентов полагалось
Вследствие симметрии в точках с одинаковыми координатами по оси
весовые коэффициенты выбирались равными. При аппроксимации
5х5 в направлении оси x приняты следующие значения весовых
коэффициентов:
,
.
Эти значения получены из условия выполнения неравенства
(2.3.7).
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]