Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Эти подобласти получаются из подобласти



, 





  

 

  



12*44412*3331

1 sgfsgf

 

 

,sg

2114113122

1 

 

  



21*2222212

1 sgf

 

 

 



1223221233

 

 

,sg

1224222244

1 





  

 

  



12*44412*3331

1 sgfsgf

 

 

 

,sg

2112111111

11 

  

 



22321*1112

1sgf

 

 

 



1223221233

 

 

1224222244

1 

   

 

 



MmN

ttDU

1 1

'k

MmDDD

,2,0,

12111



''k

MmDDD

k m

,2,0,

22212



соответственно угловые точки A и B или C и Д совпадают.

При вводе локальной системы координат соотношений (2.1) путем предельного перехода получается для

треугольной подобласти

, когда

из

для подобласти

Аппроксимирующая функция в этих случаях также имеет вид

(2.2):

в которой для подобласти

для подобласти

достаточно положить

(1.3.1)

(1.3.2)

, (1.3.3)

, (1.3.4)

Из формулы (3.3) при значениях N=M=2, перегруппировав слагаемые и введя новые обозначения, получается

. (1.3.5)

213221

 dddU

, (1.3.6)

kkkkk

DDdDDdDd

1222311122111

,, 



02

01





321

,, ddd

222

2 2162215

2 24213221

 dddddddU











02

где

В формуле (3.6) на первый взгляд получается не полный полином, отсутствует слагаемое с коэффициентом

. Однако надо

иметь в виду, что при значении

функция Uдолжна быть

постоянной и равной перемещению угловой точки A (рис.3.1), что и определяется значением

относительно координаты Коэффициенты

определяются через узловые значения трех

. При значениях

получается линейная функция.

угловых точек.

При значениях N=M=3 имеем пробную функцию

в которой отсутствуют слагаемые с коэффициентами

, что

объясняется аналогичным образом.

Доказать полноту аппроксимирующей функции (3.3) для рассматриваемой треугольной подобласти

образом. Рассмотрим вместо подобласти

можно следующим

четырехугольную

подобласть, в которой вместо точки A возьмем две точки A1 и A2, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга по

линии

. Для полученной четырехугольной подобласти в

качестве аппроксимирующей возьмем функцию (2.2), которая, как известно, является полной. Так как точки A1 и A2 расположены на бесконечно малом расстоянии друг от друга, потребуем, чтобы перемещения на линии A1 A2 были постоянными. Это условие удовлетворяется, если выполняются равенства (3.4). Следовательно, функцию (3.3) можно рассматривать как полученную из функции (2.2), обладающей полнотой, в результате выполнения некоторых граничных условий.

Аналогичным образом доказывается полнота функции (3.3) для

''k

, 

















   















dWПUEE

подобласти

Предложенные четырехугольные и треугольные элементы имеют одинаковую структуру, что позволяет автоматически выполнять условия стыковки этих элементов. Для этого достаточно в аппроксимирующих функциях задать одинаковые порядки в полиномах, определяющих перемещения на линиях стыковки рассматриваемых элементов.

Таким образом, если в качестве исходных выбрать уравнения теории оболочек типа Тимошенко и вариационный метод решения задачи, а также использовать для задания искомых функций предложенные выше аппроксимирующие функции, то, как известно из основ вариационного исчисления, будут обеспечены условия конформности (совместности) решения, т.к. в этом случае для гарантированности условия сходимости решения искомые функции должны входить в класс функций С

(О)

, т.е. должны быть

непрерывными.

1.4. Вариационный метод расчета тонких оболочек сложной

формы в плане.

Рассмотрим тонкую оболочку, срединная поверхность  которой имеет кусочно-гладкие граничные линии. При этом граничные линии могут не совпадать с координатными линиями системы координат

. Предположим, что поверхность  может

быть разбита на подобласти видов

(рис.2.1, 3.1, 3.2). В

дальнейшем для упрощения записей будут рассматриваться только подобласти вида

. Для подобластей

выкладки

аналогичные.

Для определения напряженно-деформированного состояния оболочки используется вариационный принцип Лагранжа [1], на основании которого должно выполняться условие

, (1.4.1)

где E – полная энергия оболочки,



W'



 

wuuU

2121

,,,, 



, 



202

101

 



 























 



 



























 

21413

21211



 



 









 



 













 



 



 









 



 













11412

11311

,21gg 

 



 



 













22221

4322432



 



 









 

12422

12321



 



 









 



 













;

- соответственно удельная потенциальная энергия

– полная энергия подобласти

деформации и вариация работы внешних сил единицы площади подобласти

;

- вектор перемещений и углов

сдвига подобласти

В потенциальную энергию компонент вектора U по координатам

оболочки в системе координат

входят частные производные от

. Вычисление этих

производных производится по формулам дифференцирования сложных функций:

(1.4.2)

в которых частные производные получаются из формул (2.1) и имеют вид:



















d

,

 ddad

*22*

aaaa 

,

, AA

, 

0,,

2112











 aaAaaa

kkk

klij



   

 

 



MmN

ttDU

1 1

 

wuuU

2121

,,,, 



, 

 

k mn

DDDDDD

54321

,,,,

 

1m

PDK ][

. (1.4.3)

Полная энергия Е является инвариантной величиной по отношению к преобразованию системы координат. Поэтому интегрирование в уравнении (4.1) можно произвести в системе

координат

метрического тензора системы координат

, т.е. положить

- ковариантные компоненты первого основного

. Величины

, где

определяются через коэффициенты первой квадратичной формы

системы координат

следующим образом:

Для каждой подобласти

вектор искомой функции

представляется в виде (2.2):

, (1.4.4)

где срединной поверхности подобласти

координат

;

неизвестных постоянных;

- вектор перемещений и углов поворота

, заданный в системе

- вектор

- функции формы, которые имеют

вид (2.3).

Подставляя аппроксимирующие функции (4.4) в вариационное уравнение (4.1), удовлетворяя соответствующим граничным условиям и условиям стыковки подобластей, после численного интегрирования по некоторой квадратурной формуле получается система линейных

уравнений относительно неизвестных постоянных

, (1.4.5)

где

][K























k JJ

KKK

22221

11211







dKK

 





rlmnrlmnrlmnrlmn

14414411111,

  















rlrlmnmn 3232

  

rlrlmnmnrlmn

kkkkBB

322132213552



 





rlmnrlmnrlmnrlmn

12434213112,

  















rlrlmnmn 3241

  

rlrlmnmn

kkkkB

322141123



 

 



rlmnrlmnrlmnrlmn

16454615113,

rlmnB512



  

rlrlmnmn

kkBK

322114314,



  

rlmnrlrlmnmn

BkkBK

52322132315,



 





rlmnrlmnrlmnrlmn

34212431121,

- матрица жесткости оболочки, D - вектор неизвестных

постоянных, P - вектор правой части, учитывающий действие внешних нагрузок.

Матрица жесткости оболочки

формируется из матриц

жесткости

Здесь

подобластей

- подматрицы размерности пять на пять, элементы

которых представляются так:

, которые имеет вид

. (1.4.6)

;

  















rlrlmnmn 4132

  

rlrlmnmn

kkkkB

411232213



 









rlmnrlmnrlmnrlmn

,ij

23323322122

  















rlrlmnmn 4141

  

rlrlmnmnrlmn

kkkkBB

411241123662



 

 



rlmnrlmnrlmnrlmn

36252635123,

rlmnB622



  

rlmnrlrlmnmn

BkkBK

62411214324,



  

rlrlmnmn

kkBK

411232325,



 

 



rlmnrlmnrlmnrlmn

54616451131,

rlmnB152



 

 



rlmnrlmnrlmnrlmn

52636253132,

rlmnB262



 

 

 

;

22112

56656655133,

rlmnrlmn

rlmnrlmnrlmnrlmn





rlmn

2234,



rlmn

1235,



  

rlrlmnmn

kkBK

143221341,



  

rlmnrlrlmnmn

BkkBK 

62144112342,

rlmn

BK 

2243,

 









rlmnrlmnrlmnrlmn

,ij

2332332244

;

  

rlmnrlrlmnmn

B 













24141

 









rlmnrlmnrlmnrlmn

,ij

3421243145

  













rlrlmnmn 4132

  

rlmnrlrlmnmn

BkkBK 

52323221351,

  

rlrlmnmn

kkBK

324112352,



rlmn

BK 

1253,

 









rlmnrlmnrlmnrlmn

,ij

1243421354

  

rlmnrlrlmnmn

B 













23241

 









rlmnrlmnrlmnrlmn

,ij

1441441155

  

rlmnrlrlmnmn

B 













23232

),()(



nmmn

 



 























)()()()(

nmnmmn

tttt

,)()()()(

 



 























nmnmmn

tttt

3 mnmn









4 mnmn









2615 mnmnmnmn

kk 

;;,1, NMJJji 

;

где

;

; (1.4.7)

   

BBB

312









, 

, 

       

,,,

3211

syszsvzysv

oooo





     

,,,

122

szsvzysv

ooo





     

,,,

133

sysvzysv

ooo





   

,,,

szys





   

,,,

szys





   

,,,

szys





Индексы i и j в этих формулах определяются соответственно через индексы m, n и r, l . Порядок их определения будет рассмотрен ниже в параграфе 1.7.

Таким образом, основные соотношения и искомые функции задаются в системе координат

, в которой определяющие

уравнения являются наиболее простыми. В криволинейной же системе координат

производится аппроксимация искомых

функций (4.4) и вычисление интегралов, входящих в полную энергию оболочки.

1.5. Определяющие уравнения для стержней.

В качестве расчетной модели будем рассматривать стержни с пространственной криволинейной осью. Предполагается, что материал стержней изотропный и линейно упругий, перемещения малы. Принимаются следующие гипотезы:

1) поперечные сечения стержня плоские до деформации остаются плоскими и после деформации;

2) напряжения, действующие в плоскости поперечных сечений стержня, пренебрегаются.

На основании принятых гипотез можно записать следующие формулы, определяющие перемещения и углы поворота точек поперечного сечения стержня (рис.1.5.1):

(1.5.1)

где

 

vvvV





321321

,,,,,

zy ,

 

vvvV

321321

,,,,, 

zy ,

 



 



 



 















3223

222

vkvk

kzyB



 



 













1331

vkvk

 



 



 













2112

vkvk

321

,, kkk

3020

1 kykzB 

- вектор компонентов перемещения

и углов поворота точки поперечного сечения стержня, имеющего координаты

;

- вектор компонентов

перемещения и углов поворота оси стержня; s – длина дуги оси стержня;

- главные центральные оси инерции поперечного

сечения стержня.

Рис. 1.5.1

Осевая деформация произвольного волокна стержня определяется по формуле [2]:

Здесь

Подставляя аппроксимирующие функции (5.1) в выражение (5.2), осевая деформация произвольного волокна записывается через деформации оси стержня:

. (1.5.2)

- кручение и кривизны оси стержня, .

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]