Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
11
Г Л А В А 1
,,,
2122111
uU
,,,
2112122
uU
,,
213
wU
321
,, UUU
2121
,,,, wuu
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И СТЕРЖНЕЙ
В данной главе приводятся определяющие уравнения теории
тонких оболочек типа Тимошенко. Приводится порядок построения
аппроксимирующих функций с конечными носителями
иерархического типа для четырехугольных и треугольных
подобластей, на основе которых строится вариационный метод
расчета тонких оболочек сложной формы в плане, а также составных
оболочек. Данный метод используется для определения напряженнодеформированного состояния тонких стержней. Показываются
порядок формирования матрицы жесткости конструкций и
особенности численной реализации задачи.
1.1. Основные соотношения теории тонких оболочек.
Рассмотрим деформирование тонкой оболочки, срединная
поверхность которой имеет сложную форму в плане. Пусть срединная
поверхность оболочки задана в гауссовой ортогональной системе
координат в линиях главной кривизны. Предполагается, что
перемещения и деформации малы, материал оболочек изотропен,
справедлив закон Гука.
Для определения напряженно-деформированного состояния
оболочек используются соотношения теории оболочек типа
Тимошенко [26, 87] без учета обжатия поперечных слоев, на
основании которых перемещения произвольной точки оболочки
представляются в виде:
где
- компоненты перемещения произвольной точки
оболочки;
- компоненты перемещения и углов сдвига
12
срединной поверхности оболочки;
,,
21
,,
222111
ee
.,,
23231313121212
,
1
1
2
1
21
2
1
1
1
1
wk
A
AA
uu
A
,
1
2
1
2
21
1
2
2
2
2
wk
A
AA
uu
A
,
2
2
11
2
1
1
22
1
12
A
u
A
A
A
u
A
A
,
1
11
11
213
uk
w
A
,
1
22
22
123
uk
w
A
,
1
2
1
21
1
1
2
1
1
A
AAA
,
1
1
2
21
2
2
1
2
2
A
AAA
1
2
21
2
2
1
2
1
2
1
11
2
1
2
22
1
12
1 A
AA
uu
A
k
AA
A
AA
A
,
1
2
1
21
1
1
2
1
2
A
AA
uu
A
k
23131221
,,,, ee
122123131221
,,,,,,,
2121
k,k,A,A
- ортогональная
криволинейная система координат, связанная со срединной
поверхностью оболочки; - координата, направленная по нормали к
оболочке.
Деформации тонкой оболочки определяются через перемещения по
формулам
(1.1.1)
Здесь
(1.1.2)
- компоненты деформации произвольной точки
оболочки;
срединной поверхности;
- компоненты деформации
- коэффициенты первой
13
квадратичной формы и главные кривизны срединной поверхности
,1
2
1
,
1211
BSBN
jii
,1
2
1
,
12
BHBM
jii
,,2,1,1
2
1
31
ijiBkQ
ii
SNN ,,
21
HMM ,,
21
21
,QQ
2
3
2
1
112
,
1
Eh
B
Eh
B
,E
,
1
21
2
1
eeE
,
1
12
2
2
eeE
,
12
1212
E
,)(
12
1313
zf
E
k
),(
12
2323
zf
E
k
оболочки.
Формулы для вычисления усилий и моментов в оболочке имеют
вид
(1.1.3)
где
моменты;
мембранная и изгибная жесткости оболочки;
- усилия;
- поперечные силы;
- изгибающие и крутящий
-
- соответственно
модуль упругости и коэффициент Пуассона; h - толщина оболочки; k
- коэффициент сдвига.
На основании закона Гука напряжения в оболочке определяются
по формулам:
где f(z) – функция, характеризующая распределение напряжений по
толщине оболочки.
соотношений (1.2) – (1.3), получим следующие выражения для
определения напряжений:
Подставляя в эти соотношения формулы (1.1) с учетом
14
,
121
1
2
11
M
h
N
h
,
121
2
2
22
M
h
N
h
,
121
2
12
H
h
S
h
),(
2
1
13
zf
k
Q
).(
2
2
23
zf
k
Q
122211122211
2
1
HMMSNNП
dQQ
232131
2
1
2
1
21
2
1
1
1
1
1
2
1
wk
A
AA
uu
A
BП
2
2
1
2
21
1
2
2
2
1
wk
A
AA
uu
A
wk
A
AA
uu
A
1
2
1
21
2
1
1
1
1
2
wk
A
AA
uu
A
2
1
2
21
1
2
2
2
1
2
2
2
11
2
1
1
22
1
2
1
A
u
A
A
A
u
A
A
(1.1.4)
Потенциальная энергия деформации оболочки, приведенная к
срединной поверхности , имеет вид
.
С учетом геометрических (1.2) и физических (1.3) соотношений
потенциальная энергия деформации оболочки записывается через
компоненты перемещения следующим образом:
15
2
22
22
1
2
11
11
2
2
11
2
1
uk
w
A
uk
w
A
k
2
1
2
21
2
2
1
2
2
2
1
21
1
1
2
1
11 A
AAA
A
AAA
B
1
2
21
2
2
1
22
1
21
1
1
2
1
11
2
A
AAA
A
AAA
1
2
21
2
2
1
2
1
2
1
11
2
1
2
22
1
1
2
1 A
AA
uu
A
k
AA
A
AA
A
d
A
AA
uu
A
k
2
2
1
21
1
1
2
1
2
1
dwququqW
2211
'
i
iiiiii
wFuFuF
32211
321
,, qqq
321
,,
iii
FFF
k
)(
112
f
)(
122
f
)(
231
f
)(
241
f
i
f
1
C
1
C
21
,
(1.1.5)
При решении задачи используется вариационный принцип
Лагранжа [1]. В связи с этим приведем выражение вариации работы
внешних сил:
(1.1.6)
где
- компоненты распределенной нагрузки;
компоненты i-той сосредоточенной силы.
1.2. Аппроксимирующие функции с конечным носителем
для четырехугольных подобластей.
Рассмотрим на срединной поверхности
подобласть
в виде криволинейного четырехугольника (рис.1.2.1),
границы которого описываются уравнениями
,
однозначные функции класса
поверхностью класса
,
,
. Пусть поверхность является
, а граничные линии могут не совпадать с
координатными линиями системы координат
тонкой оболочки
, где
.
-
-
16
k
21
,
21
,
12*44412*3331
1 sgfsgf
21121111*11
11sg
,1
21141131*22
sg
21*22221*1112
1 sgfsgf
12232212*33
11sg
,1
12242222*44
sg
1
12,1
11
22
2
2
11
)('
i
dfAAqs
iiiii
2
,2
22
22
2
2
12
)('
i
dfAAqs
jjjjj
)(
2,1*iii
qs
)(
,2*jjj
qs
ji
,
)(
1 ii
sg
)(
2 jj
sg
)(1iiqs
)(2jjqs
Рис.1.2.1
В подобласти
, которая связана с системой координат
образом:
где
,
- функции обратные к функциям
вводится локальная система координат
- длины дуг кривых
следующим
(1.2.1)
,
,
;
,
,
17
2,1,2 iij
;
iiAA21
,
;i
),(
21 ii
.4,1i
21
,
1,0,1,0
2211
k
1,0
21
21
,
i
1
02
,,
1*11121*111
sgfsg
4
11
.,
2*4422*4441
sgsgf
i
21
,
k
21
,
MmN
n
nm
k
mn
ttDU
1 1
21
k
21
,
k
mn
D
,,1
112111
tt
Mmttt
m
m
,3][
2
12111
- коэффициенты первой квадратичной
формы, вычисленные на линиях
точек A, B, C, D;
В системе координат
- координаты угловых
граничные линии совпадают с
координатными линиями
подобласть
Система координат
граничных линиях
линий. Например, уравнение кривой
уравнение кривой
Отметим, что на линиях
равномерной, т.к. координаты
занимает область
уравнения (2.1) переходят в уравнения этих
при
:
.
введена таким образом, что на
получается при
координатная сетка является
на них являются фактически
дуговыми безразмерными координатами.
В подобласти
искомые функции аппроксимируются
функциями, заданными в системе координат
образом:
, т.е.
:
, следующим
где U - вектор перемещений и углов поворота срединной
поверхности подобласти
- вектор неизвестных постоянных; функции формы
На границах подобласти
, (1.2.2)
, заданный в системе координат
;
(1.2.3)
18
2,1,
1
22
1
1
itDUtDU
N
n
nknii
M
m
mkimi
i
k
2
k
*
3
*
k
.,,1,
*
12
MNMmDD
k
m
k
m
1
k
MmD
k
m
,1,0
1
,,,,
22122111
kkkk
DДUDСUDВUDАU
kkkk
DDDD
22122111
,,,
0АU
011
k
D
k
mn
D
k
MN
k
M
k
M
k
N
kk
k
N
kk
k
DDD
DDD
DDD
D
21
22221
11211
k
. (1.2.4)
Из формул (2.4) следует, что на граничных линиях
искомые
функции определяются одномерными полиномами, являющимися
инвариантными величинами относительно преобразования системы
координат. Это обеспечивает непрерывность искомых функций при
переходе из одной подобласти на другую и позволяет легко
выполнять геометрические граничные условия и условия стыковки
искомых функций на границах подобластей
граница
подобласти
совпадает с границей
. Например, если
подобласти
то для обеспечения непрерывности вектора перемещений U
достаточно выполнить условия
Если на границе
подобласти
заданы граничные условия
U = 0, то необходимо положить
.
В угловых точках А, В, С, Д
т.е. параметры
являются значениями искомых
функций в угловых точках. Это позволяет также выполнять условия
точечного закрепления подобластей в углах. Например, если
, то полагаем
.
,
В матрице, составленной из параметров
первые две строки и первые два столбца определяют компоненты
перемещений граничных линий подобласти
,
, (1.2.5)
, а остальные
19
элементы матрицы определяют перемещения внутренних точек
kkkk
DDDD
22122111
,,,
21423121
ddddU
,,
11212111
kkk
DDdDd
kkkkkk
DDDDdDDd
22211211411123
,
.
222
19
2
218
2217
2
26
2
1521423121
dd
dddddddU
2218
3
17
2
26215
2
1423121
ddddddddU
223
114
222
113
3
211223111
3
210
2
219
dddddd
323
116
322
115
dd
подобласти.
Таким образом, в матрице (2.5) только четыре параметра
имеют физический смысл и являются значениями
искомых функций в узлах, а именно в угловых точках. Остальные
параметры смыслового значения не несут. Однако при формировании
матрицы жесткости для этих параметров можно ввести понятие
«фиктивных» узлов и данный метод можно назвать методом
фиктивных или обобщенных конечных элементов. Это позволяет
работать с предложенными функциями (2.2) как с обычными
аппроксимирующими функциями, используемыми в классическом
методе конечных элементов.
Из функции (2.2) в качестве частных случаев можно получить
известные аппроксимирующие функции. Например, при значениях
N=M=2, если перегруппировать слагаемые и ввести новые
обозначения, то получается пробная функция для билинейной
аппроксимирующей функции:
,
где
.
При значениях N=M=3 имеем пробную функцию для
квадратичной аппроксимирующей функции:
Если в этом выражении отбросить три последних слагаемых, то
получается пробная функция для биквадратичной аппроксимирующей
функции.
При значениях N=M=4
.
20
В частности, отметим, что эта пробная функция используется в
k
21
,
k
k
Рис.1.3.1
Рис.1.3.2
элементе Галлагера [161] для прямоугольной области при
аппроксимации прогиба оболочки. Если в этой формуле отбросить
четыре последних слагаемых, то получится пробная функция для
аппроксимации прогиба оболочки, предложенный Коннором и
Бреббиа [159].
Как видно из приведенных формул, система этих функций
является полной. Методом математической индукции можно доказать,
что аппроксимирующая функция (2.2) является полной при любых
значениях N и M.
Таким образом, в подобласти
аппроксимирующая функция
(2.2), которая задана в системе координат
, введенной на
основании соотношений (2.1), определяет функцию с конечным
носителем с произвольной степенью аппроксимации. Изменяя в
выражении (2.2) значения величин N и M, можно автоматически
изменять порядок аппроксимирующей функции.
1.3. Аппроксимирующие функции с конечным носителем для
треугольных подобластей.
Рассмотрим на срединной поверхности тонкой оболочки
треугольные подобласти
и
(рис.1.3.1 - 1.3.2).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]