Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

101

3.4. Определение напряженно-деформированного состояния оболочечно-стержневых конструкций.

При определении напряженно-деформированного состояния

тонкостенных конструкций, состоящих из оболочек и стержней, необходимо рассматривать их совместную работу.

Рассмотрим тонкостенную конструкцию, которая может быть

разбита на подконструкции трех типов:

1) подконструкции, содержащие только оболочки, не

контактирующие со стержневыми элементами;

2) подконструкции, содержащие только стержневые элементы,

не контактирующие с оболочками;

3) подконструкции, содержащие оболочки и стержни,

контактирующие между собой.

Формирование матриц жесткости для первых двух типов

подконструкций было рассмотрено в предыдущих параграфах. Рассмотрим подконструкции третьего типа.

Предположим, что стержневые элементы (рис.3.4.1) могут

жестко контактировать с оболочками, как по линиям (ребра жесткости), так и в точках. Для оболочек и стержней принимаем все те гипотезы, которые рассматривались в предыдущих параграфах при расчетах оболочек с ребрами и стержневых систем.

Рис.3.4.1

102

Срединные поверхности оболочек разбиваются на подобласти





   

 

















 

 

jsj

k i

kikikk

VEVEUEE

   

 



 





 



 





k i

kikikk

ikk

dsWПdWП

 











sjsj

dsWП

kkk

WПE ,,



kikiki

WПE ,,



sjsjsj

WПE ,,



 

kkkkkkk

wuuU

32121

,,,,, 



 ,,

 

kikikikikikiki

vvvV

321321

,,,,, 



kikiki

zy ,,

вида

(рис.1.2.1) таким образом, чтобы стержневые элементы

проходили вдоль граничных линий подобластей (ребра жесткости) или имели контакты в угловых точках подобластей.

Стержневая подсистема разбивается на элементы вида

(рис.1.6.1), оси которых являются гладкими кривыми.

Вариационное уравнение Лагранжа данной системы

представляется в виде:

(3.4.1)

где деформации и вариация работы внешних сил подобласти

деформации и вариация работы внешних сил ребра жесткости

деформации и вариация работы внешних сил стержня

поворота срединной поверхности подобласти координат

поворота ребра жесткости

;

- полная энергия, удельная потенциальная энергия ;

- полная энергия, удельная потенциальная энергия

;

- вектор перемещений и углов

, заданный в системе

;

- вектор перемещений и углов

, заданный в системе координат

103

 

jjjjjjj

vvvV

321321

,,,,, 

- вектор перемещений и углов



jjj

zys ,,

 ,,

, 

kikiki

zy ,,



jjj

z,y,s



zy ,

   

 

1 1



 



 





mjmj

MmN

tBV

ttDU

 

DDDDDDD

654321

,,,,,

 

BBBBBBB ,,,,,,

654321



1jjjj





21,jj





 

mt



BD ,

поворота стержня

Система координат

поверхностью оболочки, где

, заданный в системе координат

связана со срединной

- ортогональная криволинейная

система координат в линиях главных кривизн. Система координат

связана с осью ребра жесткости

связана с осью стержня

. Система координат

, где

- главные

центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

За искомые неизвестные принимаются компоненты

перемещения и углов поворота подобластей оболочек и стержней, заданные в глобальной системе координат. Они аппроксимируются следующим образом:

(3.4.2)

Здесь

- вектора неизвестных

постоянных;

;

- координаты начала и конца

оси стержня

Выражая перемещения ребер жесткости

соответствующих граничных линий подобласти

параграфе 3.3, и подставляя аппроксимирующие функции (4.2) в вариационное уравнение (4.1), после соответствующих преобразований получим систему уравнений относительно

неизвестных параметров жесткости и вектор правой части для подконструкций третьего вида.

; функции формы

имеют вид (1.2.3).

через перемещения

, как в

, которая определяет матрицу

104

Добавляя к данной матрице жесткости и к вектору правой части матрицы жесткости и вектора правой части, построенные для подконструкций первого и второго типа, получаем глобальные матрицу жесткости и вектор правой части для исследуемой оболочечно-стержневой конструкции.

Решение данной задачи для сложных тонкостенных конструкций вызывает большие трудности, т.к. задача приводит к системам уравнений больших порядков. В связи с этим является целесообразным освободиться от некоторых степеней свободы системы. Рассмотрим два частных случая, когда порядок системы уравнений можно существенно уменьшить.

В первом случае, если требуется определить напряженнодеформированное состояние только оболочек, то при формировании матрицы жесткости конструкции, учитывая условия стыковки стержней с подобластями, можно исключать параметры, определяющие перемещения стержневых элементов, входящих в подконструкции второго и третьего типов. Это можно произвести таким же образом, как было проделано в параграфе 3.3, в котором рассматривались тонкие оболочек, подкрепленные ребрами жесткости.

Во втором случае, если основной несущей является стержневая конструкция и требуется произвести расчеты только стержневой конструкции, то при формировании локальных матриц жесткости подобластей оболочек можно исключить параметры, определяющие искомые функции внутри подобластей. Затем при формировании глобальной матрицы жесткости можно исключить параметры, определяющие перемещения граничных линий подобластей. Алгоритм решения данной задачи будет показан в следующем параграфе. В результате этого задача сведется к стержневой системе с некоторыми обобщенными характеристиками.

3.5. Расчет стержневых систем, несущих тонкостенные

перекрытия.

Если основной несущей конструкцией является стержневая конструкция, расчеты которой требуется произвести, то желательно

105

освободиться от оболочечных элементов и свести задачу к







kiki

ba ,

,iizy



***

iii

zy

kiki

ba ,

стержневой системе. Это значительно уменьшает порядок решаемой системы уравнений при использовании вариационных методов решения задач.

Срединные поверхности оболочечных элементов, контактирующих со стержневыми элементами, разбиваются на

четырехугольные подобласти

так же, как в предыдущем

параграфе. Стержневые элементы должны проходить вдоль граничных линий подобластей или должны иметь контакты в угловых точках подобластей.

Для определенности предположим, что вдоль всех четырех сторон подобласти

проходят стержневые элементы (рис.3.5.1),

относительно осей

имеют эксцентриситеты Здесь координатная линия поверхности оболочки, линия

которых граничные линии

по координатным линиям

направлена по нормали к срединной

- вдоль оси стержня, линии

подобласти

составляют ортогональную систему координат.

Рис.3.5.1

Предполагаем, что эксцентриситеты

одного порядка с

толщиной оболочки и с размерами поперечных сечений стержней. В

106

этом случае в зонах контакта деформации сдвига оболочки и





 

ikii

VAU 

 

















100000

010000

001000

00100

00010

0001

kiki

,iiVU





***

iii

zy

 

ikii

VAU



 

     

kiki

CACA 

 

 



 







***

iii

zy



   

1 1

 

 



MmN

nmmn

ttDU

 







mimi

tBV

 









tBV

2,1i

стержней отличаются незначительно. Тогда перемещения граничной линии

определяются через перемещения стержня с осью

следующим образом:

, (3.5.1)

где

;

- векторы перемещений и углов поворота граничной линии

оболочки и стержня

В глобальной системе координат равенство (5.1) принимает вид:

Здесь

- матрица направляющих косинусов системы координат

в глобальной системе координат.

Перемещения оболочки и оси стержня функциями вида (4.2):

в системе координат

. (3.5.2)

аппроксимируются

(3.5.3)

(3.5.4)

107

Определяя перемещения граничных линий



 







mmii

tDU

 









nini

tDU

 

 







mkimi

tBAD

 

 









nikin

tBAD

2,1i

inmi

DD ,



2,i







 

i mkimi

BAD 

 

22,





nikin

BAD

inmi

DD ,

 









mmi

BGD

 









 



nin

BGD

2,1i

   

2,i

i m

Mll,1,11

Nll,1,22

   

2,i

, получим

(3.5.5)

После подстановки формул (5.4) и (5.5) в равенства (5.2), имеем

Из этих уравнений параметры

перемещения граничных линий

, выражаются через параметры

(3.5.6)

, определяющие

, определяющие перемещения стержней с осью

Уравнения (5.6) разрешаются точно, только если линии совпадают или являютсяконгруентными. При этом получается

(3.5.7)

В общем случае для выполнения условий (5.6) параметры

представляются в виде:

где

уравнения в дискретных точках получим систему уравнений относительно неизвестных элементов матриц

, (3.5.8)

- матрицы неизвестных постоянных.

Подставляя формулы (5.8) в уравнения (5.6) и удовлетворяя эти

108

 

   

 

 

 

   

 

 

.,1;,1,

;,1,,1,

212,2

111

NNltAtG

MMltAtG

lilikln

lilkilm







(3.5.9)



 

   

kkk

PDK 

 

 

PK ,

 



 

   





kkk

PDK

 









 

   

PBK 



 

 

 

 





kkk

PGPGKGK ,

Системы уравнений (5.9) имеют единственное решение, так как определителями этих систем являются определители Вандермонда

[49].

Формирование матрицы жесткости конструкции производится поэлементно. Подставляя аппроксимирующие функции (5.3) в вариационное уравнение Лагранжа, после соответствующих

преобразований для подобласти

оболочки получается система

уравнений

(3.5.10)

где

- матрица жесткости и вектор правой части,

вектор неизвестных постоянных.

Из системы уравнений (5.10) исключаются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти, и получается система уравнений относительно параметров, определяющих искомые

функции на границах подобласти

Здесь

- вектор, составленный из векторов, входящих в

аппроксимирующие формулы (5.5).

В этой системе уравнений для каждого из границ подобластей

заменяются параметры, определяющие перемещения граничных

линий осями

, на параметры, определяющие перемещения стержней с

, в соответствии с формулами (5.8) (в частном случае (5.7)):

, (3.5.11)

где

;

109

 

   

2,i

 



   

2,i



 

   

PBK 

 

 

PK ,

       

 

BBBB ,...,,



 



- матрица, составленная из матриц

;

- вектор,

состоящий из векторов

Проходя таким образом по всем подобластям

оболочки и

добавляя к полученной матрице жесткости оболочки матрицы жесткости отдельных стержней, приходим к системе уравнений:

. (3.5.12)

Здесь

конструкции, неизвестных параметров стержня

- матрица жесткости и вектор правой части ,

- вектор

, J – количество стержневых

элементов.

Если какой-то стержневой элемент находится на границе двух

смежных суперэлементов, то при численной реализации задачи повторный вклад в матрицу жесткости конструкции от этого стержневой элемента не производится. Если вдоль каких-то границ подобластей нет стержневых элементов, то для этих границ вводятся фиктивные стержни с нулевыми жесткостными характеристиками и при формировании глобальной матрицы жесткости параметры, определяющие перемещения этих границ, исключаются.

3.6. Расчет рамной конструкции,

имеющей двухстороннюю обшивку.

В конструкциях, в которых несущей является рама (рис.3.6.1),

имеющая внутреннюю и внешнюю обшивки (оболочки), необходимо рассматривать совместную работу стержневых элементов и оболочек. Такие же задачи могут возникнуть в трехслойных оболочках, когда жесткость заполнителя намного меньше жесткости несущих слоев, что он фактически не передает нагрузку от одного слоя к другому. В этом случае для соединения несущих слоев могут быть использованы жесткие стержневые вкладыши. Если расстояния между соединительными вкладышами довольно большие, то такие конструкции нельзя рассматривать как обычные трехслойные

110

оболочки. При расчете таких конструкций необходимо рассматривать совместную работу оболочек и стержневых элементов и каждый несущий слой задавать как отдельную оболочку.

Рис.3.6.1

Предполагается, что оболочки и стержни жестко соединены

между собой, в зонах контакта деформации сдвига оболочек и стержней отличаются незначительно.

Предположим, что рассматриваемая конструкция может быть

разбита на суперэлементы (рис.3.6.2), состоящие из двух оболочечных

Рис.3.6.2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]