Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
141
Балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами
yx
~~
6,128,1,108,102
45
IмнmмlМПаGМПаE
о
45
смv 947.0
~
2
о
90
смv 835.0
~
2
b = 4 см, h = 6 см, угол поворота которого на свободном конце балки
равен . Изгибающий момент m действует в плоскости
. Приняты
следующие числовые значения:
.
Рассмотрены два случая. При угле наклона
перемещение свободного конца балки
, при
-
, что совпадает со значениями, приведенными в работе
[98].
4.5. Оболочки с вырождающейся областью.
Как известно [35, 161], при использовании метода конечных
оболочек для достаточно тонких оболочек возникает эффект
«заклинивания» решения. Это связано с тем, что для аппроксимации
искомых функций обычно используются степенные функции низких
порядков. Даже, если эти аппроксимирующие функции
удовлетворяют условиям конформности (согласованности), они не
могут с достаточной точностью воспроизвести состояния с
постоянными деформациями, в частности, представить смещение
элемента как твердого целого. Имеются различные способы борьбы с
этим явлением: методы сокращенного интегрирования [162], метод
двойной аппроксимации [114] и т.д. Аналогичные явления
«заклинивания» решения возникают, когда в конечном элементе
имеются близко расположенные друг к другу узлы или один
геометрический размер элемента намного больше другого. Это
приводит к плохо обусловленной матрице жесткости оболочки, что не
позволяет получить устойчивое решение задачи.
В данном параграфе показывается, что предложенный в работе
метод расчета оболочек сложной формы позволяет по теории
оболочек типа Тимошенко определять напряженно-деформированное
состояние, как достаточно тонких оболочек по толщине, так и
оболочек, у которых один геометрический размер в срединной
поверхности намного меньше другого, т.е. можно сказать оболочек с
«вырождающейся» областью. Название «вырождающаяся» здесь
142
вводится по отношению к области применения теории оболочек типа
4
10/ah
ah/
0,1
0,01
10
-3 10-4
10-5
10-6
10-7
T
ww/
1,19 1 1 1 1 1 0,78
T
/
1,23 1 1 1 0,9
0,77
0,25
lb/
lb/
1
0.1
10
-2 10-3
10-4
10-5
10-6
б
ww/
1,06
1.01 1 1 1 1
1,12
б
/
1,04 1 1 1 1 1 1,16
Тимошенко.
1. Тонкие пластины.
В таблице 4.5.1 для защемленной по контуру квадратной
пластины шириной a и толщиной h, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой, представлены максимальные прогибы и
напряжения, в сравнении с результатами, полученными в работе [133],
иллюстрирующие влияние толщины пластины на сходимость
решения. Из таблицы видно, что даже при относительной толщине
наблюдается хорошая сходимость решения как по
прогибам, так и по напряжениям.
Таблица 4.5.1
2. Узкие пластины.
В таблице 4.5.2 приводятся относительные значения
максимальных прогиба и напряжения для прямоугольной пластины,
нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, две
параллельные стороны которой шарнирно закреплены, две другие –
свободны. Расчеты приведены для различных значений отношений
, где l – длина пластины (расстояние между шарнирно
закрепленными сторонами), b – ширина.
Таблица 4.5.2
143
В таблице w
Сетка КЭ
[157]
[160]
[173]
N=М=7
11
5.84
(20)
5.89
(72)
-
6.06
(140)
14
6.10
(50)
-
5.91
(103)
18
6.11
(90)
-
6.27
(187)
22
-
6.21
(162)
38
6.14
(180)
-
44
6.23
(450)
и б - соответствующие значения прогиба и
б
напряжения, полученные по формулам сопротивления материалов для
балок.
3. Тонкая цилиндрическая оболочка.
В параграфе 4.1 исследовалась сходимость решения задачи об
изгибе круговой замкнутой цилиндрической оболочки со свободными
торцами под действием самоуравновешенной системы двух
сосредоточенных сил F (рис.4.1.9).
Как известно, при уменьшении толщины оболочек возникает
«эффект заклинивания» решения. Для проверки этого явления
рассматривается достаточно тонкая оболочка с параметром R/h=321.
Результаты даны для следующих числовых параметров: L=26.2 см,
R=12.5 см, R/h=52.5, F=453н, E=74 ГПа, =0.3125.
В таблице 4.5.3 приводятся значения максимального прогиба
w
для различных вариантов разбиения оболочки, полученные
max
различными авторами и в данной работе. В скобках дается число
степеней свободы системы.
Результаты показывают, что предложенный метод позволяет
производить расчеты довольно тонких оболочек с достаточно
высокой точностью.
Таблица 4.5.3
144
В таблице 4.5.4 для оболочки, показанной на рис.4.1.9,
0
/bb
1
0.1
10
-2 10-3
k
ww/
0,94
0,99 1 1
*
/kMM
1,80
1,02 1 0,98
*
k
M
o
11
E
o
390
представлены результаты, исследующие влияние ширины оболочки
на максимальный прогиб w и максимальный момент М в оболочке.
Таблица 4.5.4
Результаты приведены в сравнении с соответствующими
величинами, полученными для кольца по формулам сопротивления
материалов с такими же геометрическими и механическими
характеристиками, как и у оболочки. Для кольца момент
приведен к единице ширины bo поперечного сечения кольца.
Результаты даны для следующих числовых параметров: L=26,6 см,
R=12,5 см, F=453 н, E=74 ГПа, =0,3125, bo=26,2 см.
4. Моделирование граничных условий.
Из сферической оболочки вырежем тонкую полосу (рис.4.5.1),
которая определяется углом
и имеет модуль упругости
в
направлении к оси симметрии. Для оболочки приняты следующие
числовые параметры: R=143см, h=6см, q=2МПа, E=200ГПа, =0.2,
, N=М=7. С учетом условий симметрии рассматривалась
четверть оболочки.
Рис.4.5.1
145
Если изменять модуль упругости
E
EE /'
Шарнир
0.01
0.1 1 10
100
Заделка
, МПа
-220
-230
-300
-484
-563
-574
-575
o
390
полосы, то можно
получать для оболочки различные граничные условия, начиная от
шарнирного закрепления, кончая заделкой.
В таблице 4.5.5 приводятся значения напряжения
в точке B
для различных отношений модулей упругости полосы и основной
оболочки Е. Во втором столбце приведено значение данного
напряжения для однородной оболочки с неподвижным шарнирным
закреплением, в последнем столбце – для аналогичной защемленной
оболочки.
Таблица 4.5.5
Расчеты проведены для следующих числовых параметров:
R=143 см, h=6 см, q=2 МПа, E=200 ГПа, =0.2,
, N=М=7.
5. Цилиндрическая оболочка с круговым фланцем.
На рис.4.2.4 были приведены графики напряжений на
нагруженной (кривая 1) и ненагруженной (кривая 2) поверхностях
цилиндрической оболочки, сопряженной с круглым фланцем (рис.
4.2.5). В этом параграфе рассматривается случай, когда
цилиндрическая оболочка сопряжена с круговым фланцем через
кольцевую втулку квадратного поперечного сечения размерами 2 см, с
модулем упругости ЕВ=20 ГПа (рис. 4.5.2).
На рис.4.5.3 пунктирными линиями приведены напряжения на
соответствующих поверхностях цилиндрической оболочки с учетом
кольцевой втулки, сплошными линиями – без учета втулки.
146
Рис.4.5.2
Рис.4.5.3
Анализ представленных результатов показывает, что
предложенный метод позволяет рассчитывать оболочки с тонкими
вкладышами, моделировать различные граничные условия, а также
дает возможность на основании уравнений теории оболочек
определять напряженно-деформированное состояние довольно тонких
стержней.
4.6. Численный метод определения обобщенных жесткостных
характеристик сотового поликарбоната.
В последние годы в строительной отрасли при изготовлении
различных перекрытий, навесов, стеновых панелей широкое
применение получили листовые поликарбонатные материалы,
особенно, так называемые, сотовые панели. Механические,
147
оптические, теплофизические свойства сотового поликарбоната во
p
x
E
р
y
E
u
x
E
u
y
E
0
xy
G
0
yz
G
0
xz
G
многом зависят от вида сот (рис.4.6.1), которые определяют ту или
иную область его применения.
Рис.4.6.1
Если рассматривать сотовый поликарбонат как трехмерную
конструкцию, составленную из пластин и оболочек, то ее расчет будет
затруднителен из-за необходимости решения задачи большой
размерности. Поэтому для определения напряженно –
деформированного состояния панелей используют модель
ортотропной оболочки.
При сведении трехмерной задачи к двумерной для тонкой
оболочки вводятся приведенные механические характеристики:
модули упругости на растяжение
,
и на изгиб
,
, модули
сдвига
,
,
, которые могут быть определены аналитически,
экспериментально или численно. В данном параграфе предлагается
численный метод определения этих характеристик.
Для определения характеристик упругости в направлении
армирования, двумя плоскостями, перпендикулярными к
поверхностям листа, выделяется элемент (рис.4.6.2) длиной L и
шириной, включающей в себя одну соту (ячейку). Этот элемент
148
является составной конструкцией, в которой каждый слой и каждая
p
x
E
u
x
E
0
xy
G
0
xz
G
p
x
E
перегородка рассматриваются как отдельные тонкие пластины,
жестко соединенные между собой по линиям стыковки.
Рис.4.6.2
У данной конструкции размеры ячейки намного меньше длины
L элемента, т.е. с точки зрения использования к данной конструкции
теории тонких оболочек она является составной пластинчатой
конструкцией с «вырождающейся» областью.
Приведенные характеристики
,
,
,
определяются
на основе сравнения деформаций данного элемента с деформациями в
элементе, который получается аналогичным образом из сплошного
ортотропного листа, моделирующего сотовый поликарбонат.
Для вычисления приведенного модуля упругости на растяжение
в элементе создается деформация центрального растяжения
(рис.4.6.3а).
Рис.4.6.3
149
Интенсивность нагрузки
1
q
p
x
E
sx
lu
x
u
s
l
p
x
E
1
q
u
x
E
oso
ww
o
w
os
w
0
xz
G
0
xy
G
xz
xy
h
u
Gq
h
x
xz
0
3
b
u
Gq
b
x
xy
0
4
0
xz
G
0
xy
G
h
x
u
b
x
u
(кусочно-постоянная по пластинам)
выбирается таким образом, чтобы поперечные сечения элемента после
деформации оставались близкими к плоским. Величина
находится
из условия
, (4.6.1)
где
– перемещение правого конца элемента;
– удлинение
однородного стержня с такими же геометрическими размерами, что и
поперечное сечение соты, с обобщенным модулем упругости
который растягивается сосредоточенной силой, равной
равнодействующей нагрузки
Модуль упругости на изгиб
.
определяется на основании
решения задачи изгиба данного элемента (рис.4.6.3б) из равенства
, (4.6.2)
где
– прогиб правого конца элемента,
– прогиб эквивалентной
однородной балки.
Для нахождения модулей сдвига
деформации сдвига, соответственно, в плоскостях
и
моделируются
и
(рис.4.6.3в, г). Из формул
,
определяющих закон Гука при сдвиге, вычислялись величины
. Здесь
,
– перемещения в середине верхней и боковой
, (4.6.3)
и
пластин соты, h и b – высота и ширина соты.
Для определения характеристик упругости в направлении
перпендикулярном к линиям армирования из панели двумя
плоскостями, перпендикулярными к поверхностям листа и линиям
армирования, выделяется полоса единичной ширины и
рассматривается ее часть, состоящая из трех ячеек (рис.4.6.4а). В
результате получается элемент конструкции, слои и перегородки
,
150
которого, можно моделировать стержнями, жестко соединенными
p
y
E
u
y
E
0
yz
G
между собой в узлах.
Рис.4.6.4
Аналогичным образом, как это было сделано для элемента,
представленного на рис.6.3, создавая в стержневой конструкции
деформации растяжения, изгиба и сдвига (рис.4.6.4б – г) и используя
соотношения вида (6.1) – (6.3), находятся приведенные модули
упругости на растяжение
и изгиб
, модуль упругости на сдвиг
.
Для проверки результатов для простейших видов сот выведены
теоретические формулы определения этих величин. Эти формулы
получены из условия равенства жесткостей стержней с поперечным
сечением в виде данной соты и однородного стержня с такими же
размерами поперечного сечения. Для определения обобщенных
характеристик в направлении перпендикулярном к линиям
армирования стержневая система, представленная на рис.6.1а,
моделировалась стержнем с переменным поперечным сечением.
В таблице 4.6.1 производится сравнение результатов,
полученных теоретически и численно. Расчеты приведены для
сотового поликарбоната марки Makrolon Н-образной структуры
(рис.4.6.1а) с модулем упругости Е = 2400 МПа и размерами соты b =
6 мм, h = 6 мм, с = 0,35 мм, d = 0,35 мм.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]