Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
131
возникает необходимость в определении напряженно-
k
k
деформированного состояния тонких оболочек с дефектами типа
«вмятина» [65]. Оболочку с дефектом можно рассматривать как
составную конструкцию, состоящую из исходной оболочки с вырезом
в виде вмятины и оболочки-вмятины. Причем, если оболочка без
дефектов имеет первоначально каноническую форму, то при наличии
дефектов она становится составной тонкостенной конструкцией
сложной формы, т.к. во-первых, граничная линия вмятины может
иметь криволинейную форму, во-вторых, срединная поверхность
вмятины может иметь сложную геометрию. Если размеры вмятины
малы по сравнению с размерами оболочки, то для получения
приемлемых результатов на основе метода конечных элементов
потребуется в окрестности вмятины и в самой вмятине использовать
достаточно мелкую сетку, сопоставимую с размерами вмятины. Кроме
того, если вмятина имеет криволинейные границы, то возникает
необходимость в использовании криволинейных конечных элементов.
При этом, граничные линии должны быть с аппроксимированы с
достаточно большой точностью, т.к. вид граничной линии
существенно влияет на распределение напряжений во вмятине.
Предложенный в работе метод расчета составных тонкостенных
конструкций позволяет определять напряженно-деформированное
состояние тонких оболочек с дефектами типа «вмятина», обходя выше
перечисленные трудности. При этом получается достаточно хорошее
решение задачи на малом количестве элементов (подобластей),
сопоставимое с результатами других авторов и экспериментальными
данными. Причем, вид граничной линии вмятины может
варьироваться в широких пределах.
Довольно часто дефекты, получаемые тонкостенными
конструкциями, имеют гладкую или кусочно-гладкую форму как в
плане, так и в пространственной геометрии. Предположим, что
вмятина может быть представлена в виде одной или нескольких
подобластей вида
(рис.1.2.1). Разбивая также срединную
поверхность оболочки (без вмятины) на подобласти вида
и
используя метод, предложенный в параграфе 3.1, получаем решение
данной задачи.
Вмятины моделируются в виде областей, получающихся в
результате пересечения данной оболочки другой оболочкой. Как сама
оболочка, так и оболочка-вмятина могут быть заданы аналитически
или численно в виде совокупности точек. Рассмотрим случай, когда
срединная поверхность оболочки-вмятины входит в класс
поверхностей второго порядка и одна из плоскостей симметрии
(главная плоскость) поверхности проходит через область вмятины.
На линии пересечения срединной поверхности вмятины и
плоскости симметрии задаются три точки (рис.4.3.1): точки А и В - на
границах вмятины, точка
O
- внутренняя наиболее глубокая точка
1
вмятины. На данном рисунке показывает срединную поверхность
оболочки,
вмятины выбираются точки
проходящая через точки
- срединную поверхность вмятины. Также на границе
B
таким образом, чтобы плоскость,
DC,
DOC ,,
, являлась параллельной второй
1
плоскости симметрии образующей поверхности вмятины. Если точки
BOA ,,
или
1
DOC ,,
лежат на одной прямой, то для построения
1
соответствующих плоскостей задаются дополнительные точки,
определяющие эти плоскости.
Вводится декартовая система координат
Ось
zO
является линией пересечения плоскости симметрии и
11
плоскости, проходящей через точки
На плоскости
yO
. Направление оси
11
система координат
DCO
перпендикулярно к оси
1
xO
выбирается таким образом, чтобы
11
zyxO
была правой. Оси введенной системы
1111
DOC ,,
.
1
zyxO
(рис.4.3.2).
1111
zO
строится ось
11
координат являются параллельными к главным осям поверхности
вмятины. В связи с этим уравнения, описывающие эти поверхности,
будут наиболее простыми и потребуют наименьшей входной
информации.
Рис.4.3.1
132
Рис.4.3.2
133
В зависимости от вида вмятины производится построение
DOC ,,
1
1
2
1
2
101
2
1
2
1
c
zz
b
y
1011
,, zcb
DOC ,,
1
2
111
11
1
101
121121
212
1
212
1
10
2
,,
2
CC
C
DCCD
DCCD
zcz
cy
b
zc
zyzy
zyzy
z
DDCC
zyzy
1111
,,,
DC,
zyxO
1111
zyxO
10
z
11
zO
1
2
1
2
2
1
2
c
z
b
y
DOC ,,
1
1
2
2
2
2
c
z
b
y
конкретной поверхности второго порядка. Для определенности
предположим, что кривая, проходящая через точки
, является
дугой эллипса. Уравнение эллипса имеет вид:
, (4.3.1)
где
- неизвестные постоянные.
Неизвестные величины определяются из условия прохождения
эллипса через точки
. Решая эту задачу, имеем
Здесь
- координаты точек
.
Если ввести новую систему координат
параллельного переноса системы координат
по оси
, то уравнение эллипса (3.1) запишется так:
на расстояние
. (4.3.2)
Аналогичным образом можно получить уравнение кривой,
проходящей через точки
, для других линий семейства
второго рода.
Уравнение срединной поверхности оболочки-вмятины может
быть представлено в одном из следующих видов:
- для цилиндрической поверхности
путем
- для эллипсоида
, (4.3.3)
134
1
2
2
2
2
2
2
0
c
z
b
y
a
xx
- для однополостного гиперболоида
1
2
2
0
2
2
2
2
a
xx
c
z
b
y
2
2
2
2
0
2
c
z
b
y
xx
0
,,, xcba
0
,,, xcba
0x
1
2
2
0
1
2
2
0
1
,1
c
a
x
c
b
a
x
b
,1
2
2
2
2
2
2
0
c
z
b
y
a
xx
AA
A
,1
2
2
2
2
2
2
0
c
z
b
y
a
xx
BB
B
BBBAAA
zyxиzyx ,,,,
- для эллиптического параболоида
, (4.3.4)
, (4.3.5)
, (4.3.6)
где
Например, определим неизвестные постоянные
эллипсоида. При
- неизвестные постоянные.
для
уравнение (3.4) должно перейти в уравнение
(3.2). Следовательно,
(4.3.7)
Условие прохождения эллипсоида через точки А и В дает
(4.3.8)
где
- координаты точек А и В.
Из системы уравнений (3.7), (3.8) определяются неизвестные
постоянные.
Рассмотренная методика позволяет на малом количестве
входной информации задать геометрию срединной поверхности
оболочки-вмятины.
135
Элементы граничных линий вмятины аппроксимируются
B
r
B
f
квадратичными функциями в виде парабол, дуг окружностей
(эллипсов) или линейными функциями.
Если срединная поверхность вмятины имеет неканоническую
форму, то для задания оболочки-вмятины можно использовать метод
параметризации срединной поверхности оболочки, предложенный в
главе 2. Причем, если оболочка-вмятина является пологой
относительно срединной поверхности оболочки без вмятины, то за
поверхность отсчета можно взять исходную срединной поверхность.
Также данный метод можно использовать для задания граничных
линий вмятины.
Для иллюстрации достоверности результатов приводятся
решения задач расчета цилиндрических оболочек, нагруженных
внутренним давлением и имеющих вмятины в форме круга в плане.
Вмятины моделируются в виде подобластей, получаемых
пересечением данной оболочки другой цилиндрической оболочкой,
радиус которой выбирается по радиусу основания
и максимальной
глубине
вмятины (рис.4.3.3). В случае симметричной вмятины
рассматривается четверть оболочки и для нее линия пересечения
оболочек (граничная линия вмятины) аппроксимируется
квадратичной параболой. При численной реализации рассматриваемая
часть оболочки разбивалась на три подобласти.
Рис.4.3.3
В таблице 4.3.1 представлены численные результаты,
полученные по данной методике, и результаты других авторов для
различных параметров оболочки и вмятины. Приведены значения
136
коэффициента концентрации напряжений
0
2
21
2
12
2
2
2
1
0
R, см
[88]
РД26-6-87
[65]
45
3.24
3.27
3.67
3.20
80
2.96
2.92
3.67
2.95
120
4.19
3.70
11.0
4.01
160
3.20
2.94
2.18
3.30
,186 ГПаE
28.0
R,
мм
h,
мм
B
r
,
мм
B
f
,
мм
q,
МПа
450 6 100 9 0.9
800
14
133
21
1.5
1200
10
167
30
0.6
1600
18
350
18
2
соответствии с энергетической теорией прочности:
, полученного в
,
где
- напряжение для гладкого цилиндра.
Таблица 4.3.1
В данных примерах точка концентрации напряжений находится
на границах вмятины на оси симметрии. Оболочки изготовлены из
стали марки 12Х18Н10Т с механическими характеристиками
. Геометрические параметры оболочек и
вмятин даны в таблице 3.3.2.
Таблица 4.3.2
Результаты расчетов показывают, что предложенный метод
позволяет довольно точно определять величину концентрации
напряжений для различных размеров оболочек и вмятин. Причем,
размеры вмятины могут быть достаточно малыми по сравнению с
размерами оболочки.
137
4.4. Результаты расчетов стержневых систем.
I
M
max
w
, мм
max
, МПа
К
1
5
1.95
4.79
15 6 2.31
4.55
18 7 2.33
3.96
21 2 4
1.81
3.33
24 5 2.32
4.16
30 6 2.32
3.98
36 4 4
2.36
4.26
48 5 2.33
3.99
60
[98]
2.33
3.98
1. Кольцо, растягиваемое двумя силами.
В таблице 4.4.1 представлены результаты расчета кольца
(рис.4.4.1) радиуса R=1 м, нагруженного двумя
самоуравновешивающими силами F=20 н.
Рис.4.4.1
Таблица 4.4.1
Кольцо имеет прямоугольное поперечное сечение размерами
b=4 см, h=6 см. Механические характеристики кольца Е=200 ГПа,
G=80 ГПа. С учетом симметрии рассматривалась четверть кольца,
которая разбивалась на I элемента. В таблице приводятся
максимальные прогиб и напряжение в кольце. В последнем столбце
задается число степеней свободы К системы. В последней строке дано
точное решение задачи, приведенное в работе [98].
138
Результаты, приведенные в таблице, позволяют получить
смr 1
смR 10
,ÌÏàG,ÌÏàE
45
108102
10100 I,íF
смr 2.0
смR 48.21
представление о сходимости рядов (1.6.1). Из таблицы видно, что чем
выше порядок аппроксимирующей функции, тем требуется меньшее
количество элементов для достижения одинаковой точности решения
и, следовательно, тем меньше число степеней свободы системы. С
этой точки зрения более экономичным является случай, когда порядок
аппроксимирующей функции выбирается более высоким.
2. Цилиндрическая и коническая пружины.
Результаты расчета цилиндрической и конической пружин с
малым шагом витка (рис.4.4.2) сравнивались с данными,
представленными в работе [137].
Цилиндрическая пружина имеет четыре витка круглого
поперечного сечения радиуса
. Радиус винтовой оси пружины
.
Каждый виток пружины разбивался на два элемента. Для
приложения сил F по линиям действия этих сил задавались
прямолинейные стержни.
Рис.4.4.2
Для конической пружины рассматривалось три витка.
Полагалось, что радиус поперечного сечения пружины
радиусы верхнего и нижнего витков соответственно
;
,
139
смR 42
;
8I
l
h
c
w
w
w
c
y
y
M
M
М
y
Mw,
c
yс
Mw ,
l
h
2.0 1.0
210 310 410 510 6
102
w
1.04 1 1 1 1 1 0.33
М
1 1 1 1 1 1 0.33
. Остальные величины такие же, как и для
цилиндрической пружины.
Для цилиндрической пружины при M=3, 4, 5 разница для
полной осадки получилась равной соответственно 2.9%, 2%, 2%, а
крутящие моменты в этих случаях различались на 2.6%, 2%, 1%.
Для конической пружины при M=3, 4, 5 разница для полной
осадки получилась соответственно 6.4%, 3.4%, 3%.
Отметим, что сравнения приведены с результатами,
полученными без учета сдвигов. Хорошее согласование расчетов
объясняется тем, что выбраны такие параметры стержней, при
которых учет сдвигов несущественно влияет на результаты. По
описанному алгоритму можно проводить расчеты при наличии
сдвигов и их отсутствии.
3. Консольная балка.
В таблице 4.4.2 исследуется влияние отношения
на
максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент,
возникающие в консольной балке прямоугольного поперечного
сечения, нагруженного на конце сосредоточенной силой. Здесь h –
высота поперечного сечения балки; l – длина балки;
;
балке;
- максимальные прогиб и изгибающий момент в
- максимальные прогиб и изгибающий момент,
вычисленные по формулам сопротивления материалов.
Таблица 4.4.2
,
140
Из таблицы видно, что предложенный в работе метод позволяет
l
h
i
ii
iii
zy ,,
ii
определять напряженно-деформированное состояние достаточно
тонких стержней. Эффекта «заклинивания» решения не возникает до
значений
=10-5.
4. Естественно закрученные стержни.
По предложенному в этом параграфе алгоритму довольно легко
рассчитывать естественно закрученные стержни, у которых при
движении вдоль оси стержня
поворачиваются вокруг продольной оси на некоторый угол
главные оси инерции
.
В этом случае не требуется привлечения специальных
уравнений для естественно закрученных стержней. Достаточно, в
соотношениях (3.2.4) направляющие косинусы локальной системы
координат
определить с учетом углов
.
Для иллюстрации достоверности выше сказанного приводится
решение задачи изгиба консольной равномерно закрученной балки
(рис.4.4.4) сосредоточенным моментом m, приложенным на конце
балки.
Рис.4.4.4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]