Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография

61

условие минимального изгибания этой кривой по отношению к

)(

102

 f

 

1





f

 









K

k

kk

tbf

1

k

b

     

1101





fff

)(' af

)(' bf

0)('' bf

0)('' af

 





 





 





 





 











 





 











b

a

T

dA

d

df

A

p

d

Ad

AA

fФ

1

0

1

2

1

0

1

2

1

0

2

020

1

11

),(

 







J

j

jjj

ffp

1

2

1

)(

 

1



линии

.

Функция

представляется в виде (2.4):

. (2.2.9)

После нахождения по рассмотренной выше методике

коэффициентов

, искомая функция определяется по формуле:

. (2.2.10)

Численные эксперименты показывают, что использование

формулы (2.10) и функционала (2.8) в некоторых случаях дает более точные результаты, чем использование функционала (2.1).

Как отмечалось выше, при применении функционала (2.1)

должны быть заданы первые производные выполняться условия (2.2), т.е.

и

,

или должны

. Однако, для

реальных объектов условия (2.2) могут и не выполняться, а удовлетворить условиям равенства заданным значениям первых производных от аппроксимирующей функции довольно сложно. В особенности задача усложняется для двумерных задач, тем более, если области имеют криволинейные границы. Использование полиномов в качестве аппроксимирующих функций позволяет получать достаточно точные решения без удовлетворения этих условий. Если же требуется выполнить эти условия, то получение решения на основе функционала (2.1) и аппроксимирующих функций в виде полиномов не позволяет достичь результата. В этом случае вместо (2.1) предлагается использовать функционал

где р – дополнительный весовой коэффициент, аппроксимирующая первую производную от искомой функции.

, (2.2.11)

- функция,

Второе слагаемое в подынтегральном выражении обеспечивает

выполнение равенства:

1

df

.

0

d

A

1

Если обозначить прогиб балки через f, угол поворота через ,

то функционал (2.11) в декартовой системе координат определяет полную энергию изгиба балки с учетом поперечных сдвигов.

 

В связи с тем, что функционал

,fÔ

T

содержит только

первые производные от искомых функций, в граничных точках требуется удовлетворить только условиям непрерывности этих функций. Однако количество неизвестных функций при использовании функционала (2.11) увеличилось.

Аппроксимирующие функции представляются в виде

K

где

 

,

- неизвестные постоянные.

kkbb21



k

K



k

 



tbf

,

kk

11

1

21

1

(2.2.12)

 



tb

,

kk

Из условия минимума функционала относительно неизвестных

постоянных получается система линейных уравнений:

 

   

qbA 

. (2.2.13)

Здесь

T

,,,,,,,

bbbbbbAA 

222122111

kmn



,,,,,,,

ablqqqqqq

,kn,im,ttp

1212



,kn,im,dt'tpA

212



   

 

1

A

p



0

Al

1

J





j

1



0

   

 

   

kimn

kjmn

 

k

222122111

dtt

 

jkjij



если

''

если

T

62

1



A

q

m

   



0

1

11



Al

0

J









j

1



 



kimn





t

       



0







1

2

012

   

ki

 

j

jij

l

0

A

2

если

dA

dx

если

0

2





если

im,

20





tt









,im,tfp

12



,kn,im,d'ttpA

122



0

dA

l

2

0

dx

A

2

kn,im,dttAlp

22



)K,k,i(;

1





''''

t

kkiimn





 

Для задания весового коэффициента р можно использовать

 

условие, что в декартовой системе координат функционал

,fФ

T

с

точностью до множителя совпадает с полной энергией балки. На основании этого можно записать, что

p0

AGk

,

IE

где момент инерции поперечного сечения балки; параметр, зависящий от формы поперечного сечения балки.

поперечного сечения с длиной стороны балки) и коэффициентом Пуассона

весового коэффициента получится формула

линии отсчета

(2.10):

- модули упругости и сдвига балки;

GE,

k

- площадь и

IA,

- геометрический

0

Если предположить, что рассматривается балка квадратного

(l=b-a – длина

lc 01.0

, то для определения

0

4

104

p

. (2.2.14)

2

l

Для функционала (2.11) также является рациональным введение

)(

 f

(рис.2.2) и представление решения в виде

102

     



,



fff

1101



(2.2.15)

,



1101

63

64

где

 

1

0

1

10

1





d

fd

A

 

21

,

k



Jj

jjj

,1),,,(

21



j



),(

21 jj



k0



k



o

n

k0











J

j

J

1

Jj

jjj

,1),,,(

21



k0



k0



21

,

21

,

  

 

  



12*44412*3331

1 sgfsgf

oooo

 

 

 



2112111111

11

*o

sg

.

2.3 Построение сглаживающей функции двух переменных.

Рассмотрим численный метод построения функции

(2.1.3), которое было введено в параграфе 2.1 и

определяет расстояние между поверхностью отсчета и срединной поверхностью оболочки, отсчитываемое по нормали к поверхности отсчета. Зная эту функцию, по формулам, приведенным в первом параграфе этой главы, определяются все геометрические параметры срединной поверхности оболочки.

Пусть в пределах подобласти

срединная поверхность 

оболочки задается совокупностью точек с координатами

, где

- расстояние от точки с координатами

на поверхности отсчета

нормали

. При этом поверхность отсчета

выбирать таким образом, чтобы параметр

был сравнительно небольшим, т.е. точки с координатами

поверхности

На поверхности

которая определяется через координаты аналогичным (1.2.1):

до поверхности

желательно

располагались по возможности близко к

.

вводится система координат

по формулам

по

,

65

 

 

,sg

*o

2114113122

1 

(2.3.1)

  

 

  



21*22221*1112

1 sgfsgf

oooo

 

 

 



1223221233

11

*o

sg

 

 

1224222244

1 

*o

sg

2,1,)(,)(

22112





iff

o

i

o

i

o i

o i 2,



k0



0



o i

o i 2,



2,ii

k



),(21

o

i

o

i

ff2,



 

21

,

Здесь функции

определяют уравнения граничных линий поверхности отсчета прообразами граничных линий

(рис.2.3.1). Линии

подобласти

поверхности оболочки.

подобласти

являются

срединной

Для определения аппроксимирующей функции

предварительно задать функции функций можно использовать численные методы, рассмотренные в

предыдущем параграфе, или задать эти функции аналитически.

Рассмотрим порядок построения функции

функцию представим в виде (1.2.2)

Рис.2.3.1

надо

. При построении этих

. Искомую

66

     

 

 



0 0

1 1

2121

,

MmN

n

nmmn

ttB

, (2.3.2)

mn

B

 

1m

t

),(21









 





 



 





 





 













k

A

AA

Ф

k

0

2

101

02

10201

1

)(







 



 

  





 





 













0

2

202

01

20201

1

d

A

AA

 







J

j

jjj

o

j

p

1

2

21

),(

o

j

p

 



k

Ф

k



0

),(21

k



iA0

i

A

где

- неизвестные постоянные, функции

имеют вид (1.2.3).

Для определения аппроксимирующей функции

используется функционал

где

- весовые коэффициенты.

В функционале

скомбинированы интерполяционные

условия прохождения поверхности

, (2.3.3)

вблизи заданных точек и

условие минимального изгибания поверхности. С механической точки зрения функционал (3.3) соответствует функционалу полной энергии изгиба оболочки с учетом гипотез Кирхгофа-Лява, в котором не происходит деформаций в срединной поверхности оболочки и

коэффициент Пуассона

. Функция

определяет прогиб

оболочки. Следовательно, деформация оболочки происходит таким образом, что все точки срединной поверхности оболочки перемещаются перпендикулярно к срединной поверхности.

Здесь рассматривается приближенное выражение

потенциальной энергии оболочки, т.к. для определения точного значения в выражении (3.3) надо интегрировать по поверхности

и

параметры Ляме окончательная система уравнений относительно неизвестных

параметров получится нелинейной.

заменить на

. Однако, в этом случае

67

Выражения для вторых производных от функции

),(21

 



 







 





 



























1

2

11

2

22

1

2

11

L

d

L

d

oo

 

,21,

1

2

1

22

1



 







 





 





















 L

d

o

,2)(

2

1

2

21

2

2 1

2



 





 





























 





 











L

 

,1

2

2 1

2

1

2

2 1

1

2













d

gd

d

gd























1

2

3

2

4

21

1

2

''

d

dg

d

dg

d

dg

f

d

dg

f

14131211



 





 





 







 



 











1

2

3

2

3

2

3

2

1

2

1'''

d

gd

f

d

dg

f

,'''

1

2

4

2

4

2

4





 





 







 



 



 d

gd

f

d

dg

f

 

,1

1

2

4

2

1

2

3

2













d

gd

d

gd























2

3

2

4

1

2

21

2

''

d

dg

d

dg

d

dg

f

d

dg

f

24232221



 





 





 







 



 











2

2 1

1

2

1

2

1

2 1

2

1'''

d

gd

f

d

dg

f

.'''

2

1

2

1

2





 





 







 



 



 d

gd

f

d

dg

f

получаются дифференцированием соотношений (1.4.2), определяющих первые производные:

где

,

68

Первые производные от функций

21

, 

mn

B

 

   

QBK 

 

mnklKK,



00

NM 

 

  

T

oomn

MmNnBB ,1,,1, 

mn

B

 

  

T

oomn

MmNnQQ ,1,,1, 

 

 













101

0

1

122

1

122

2

4

01

,

''

1

nmnmmnmnkl

ttLttLL

A

K

 



 



 ''

1

122

1

122

2

lklkkl

ttLttLL

 



 ''

1

2

1

121

1

121

2

4

02

nmnmmn

ttLttLL

A

 

 







212

1

121

1

121

2

'' ddattLttLL

olklkkl

       







J

j

jljkjnjmoj

ttttp

1

2121

   

.),1,;,1,(,

1

21 oo

J

j

jljkjojkl

NnlMmkttpQ 







 



























 













2121

2

2 1

2

1

),(

iii

o

i

d

L



 





 





 











2

1

2

i

 















 ),(),(

1

)(

21

2

22

1

)1(

12

LL

d

L

iio

i

 







iA

A

2

1

01

1

определяются по

формулам (1.4.3).

Подставляя аппроксимирующую функцию (3.2) в функционал

(3.3), из условия минимума функционала относительно неизвестных постоянных

получается система уравнений

, (2.3.4)

где

- положительно определенная симметричная

квадратная матрица порядка

неизвестных постоянных

Здесь

;

- вектор, составленный из

;

- вектор правой части;

;

,

69



 

















 





 







 ''2''

1

)(

21

2

)2(

nm

ii

nm

i

o

imn

tttt

d

L



 





 





 







''

2

1

nm

i

tt

,

.)(,)(

21



nnmm

tttt

),(21

1

C

 









 





 



 









k

A

AA

Ф

T k

0

2

1

102

0201

21

1

),,(

 





 





 









 

  









2

201

1

2

201

0201

11

A

p

A

AA







 





 





 









0

2

102

2

1

d

A

p

 

 

2

1

21







J

j

jjj

o

j

,p

21

 ,

o

j

pp,

В связи с тем, что в функционале (3.3) содержатся производные

второго порядка от функции функция должна обеспечить непрерывность класса

, аппроксимирующая еѐ

. Получить

решение такой задачи, особенно в случае криволинейных границ, довольно сложно. Наиболее часто для этого, как и в одномерном случае, используются кубические сплайны [57, 58]. Однако, использование сплайнов требует задания достаточно большой входной информации и имеет ряд недостатков, рассмотренных для линейного случая в предыдущем параграфе. В работах [120] показано, что использование полиномов в качестве аппроксимирующих функций дает достаточно хорошие результаты. При этом для искомых функций можно не задавать значения производных на границах оболочки.

Для построения аппроксимирующих функций, у которых не требуется удовлетворять граничным условиям для производных искомой функции, предлагается вместо функционала (3.3) использовать следующий функционал:

где - искомая функция, первые производные от искомой функции, коэффициенты.

, (2.3.5)

- функции, аппроксимирующие

- весовые

70

Третье и четвертое слагаемые в подинтегральном выражении

202

2

101

1

,

1













d

Ad

d

A

 

21

,, 

T k

Ф

),(21

 

21

,, 

T k

Ф

0

21

, 

     

,,

0 0

1 1

21

1

21

 

 



MmN

n

nmmn

ttB

     

,,

0 0

1 1

21

2

211

 

 



MmN

n

nmmn

ttB

     

,,

0 0

1 1

21

3

212

 

 



MmN

n

nmmn

ttB

321

,,

mnmnmn

BBB

 

   

TTT

QBK 

функционала обеспечивают выполнение равенств:

.

В связи с тем, что в функционале

старшими

являются первые производные от искомых функций, требуется удовлетворить только условиям непрерывности этих функций. Однако в отличие от функционала (3.3), где неизвестной была только одна

функция

, в функционале

количество

неизвестных функций увеличилось до трех.

С механической точки зрения функционал (3.5) соответствует функционалу полной энергии изгиба оболочки с учетом поперечных сдвигов, в котором, как и в случае функционала (3.3), не происходит деформаций в срединной поверхности оболочки, коэффициент

Пуассона

. Функции

являются углами сдвига нормали к

срединной поверхности оболочки. Коэффициент p определяется отношением жесткости оболочки на сдвиг к жесткости на изгиб.

Аппроксимирующие функции представляются в виде (3.2):

(2.3.6)

где

- неизвестные постоянные.

Относительно неизвестных постоянных из условия минимума функционала получается система уравнений

где

,