Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
51
i
e
- единичные векторы координатных линий
2,1 i
i
31,j,iC
ij
,,
21
ji
i
ji
i
ji
i
j
i
ji
z
C
y
C
x
C
A
A
2
3
2
2
2
1,
212121
,,,,, zzyyxx
0
o
n
0
,
o
o
nrr
21
, oorr
0
M
0
21
, rr
M
- направляющие косинусы локальной системы
;
координат
.
В определяющие уравнения входят производные от
коэффициентов Ляме, которые вычисляются по формулам
дифференцирования сложных функций и имеют вид:
. (2.1.2)
Если функции
заданы аналитически (это в основном оболочки канонических форм),
то по формулам (1.1) - (1.2) можно аналитически или численно
получить необходимые для расчетов величины.
При задании срединной поверхности оболочки численно (в виде
таблицы координат точек) бывает удобнее задавать координаты точек
не в глобальной системе координат, а от некоторой поверхности
отсчета. Обычно оболочки сложной геометрии близки по форме к
каким-то оболочкам канонической формы. Эти оболочки и выбирают
за поверхности отсчета. Например, если срединная поверхность
оболочки близка по форме к сферической поверхности, то в качестве
поверхности отсчета целесообразнее выбрать сферическую
поверхность. Для пологой панели поверхностью отсчета является
плоскость.
Предположим, что для срединной поверхности оболочки
(рис.2.1.1) можно ввести поверхность отсчета
таким образом,
чтобы прямая проведенная по нормали
поверхность не более одного раза. В этом случае положение точки
на срединной поверхности оболочки можно представить в виде:
где
;
- радиус-вектор точки
- радиус-вектор точки
к
пересекала
(2.1.3)
на поверхности отсчета
на срединной
52
поверхности оболочки , лежащей на нормали
o
n
21
,
0
M
21
,
0
.
**
jiijjiji
AAа
o
i
o
ii
kAA 1
*
i
i
i
A
*
1
o
i
o
i
kA ,
0
ji
jiесли
jiii
,0;1
21
,
;
-
расстояние между точками M и
.
Рис. 2.1.1
Если система координат
ортогональна на поверхности
и координатные линии являются линиями кривизны, то
коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности
оболочки определяются по формулам [28, 80]:
(2.1.4)
координат
условия
Здесь
,
;
- параметры Ляме и главные кривизны на поверхности
- символы Кронекера (
).
Из формулы (1.4) видно, что в общем случае гауссова система
на поверхности не ортогональна. Если наложить
;
53
1~2
i
то получим
~,1
2112
*
ааkAAаA
o
i
o
iiiii
i
A
ii
i
A
1
i
0
21
, ee
21
,
oo
ooi
o
i
i
eennnee
2211
,
o
ioi
o
i
Are /
i
0
.
,21,
1
2
2
1
2
1
2122112
1
1
2
1
2
2
11111
2
111
o
o
o
o
oo
A
A
AkAAb
A
A
kAAkAb
122211
,, kkk
, (2.1.5)
, (2.1.6)
где
- параметры Ляме на поверхности ,
.
Следовательно, при выполнении условий (1.5) систему координатных
линий на поверхности можно считать почти ортогональной [80].
Геометрический смысл параметров
состоит в том, что они
определяют тангенсы углов между соответствующими базисными
векторами на поверхности
и поверхности . Неравенства (1.5)
показывают, что система координатных линий на поверхности
можно считать почти ортогональной, если квадраты этих углов малые
величины порядка . В этом случае параметры Ляме оболочки
определяются по формулам (1.6). Условия (1.5) можно рассматривать
как условия пологости оболочки относительно поверхности отсчета
[80].
При выполнении условий (1.6) единичные вектора
координатных линий
и вектор единичной нормали n к
поверхности приближенно определяются по формулам:
, (2.1.7)
где
орты координатных линий
на поверхности
.
Коэффициенты второй квадратичной формы
1.8)
Здесь
- кривизны и кручение координатных линий
на поверхности .
54
Из этих формул следует, что в общем случае координатные
21
,
~,~
, jii
.~
,21
122112
11111
2
111
kAAb
kAAkAb
oo
nee ,,
21
.,
1
111
2
2
1
2
1,1
nkAe
A
A
e
,
1
122
2
1
2
1
2,1
nkAe
A
A
e
.21
22111111
ekekAn
,
1
,
1
2
1
1
1
12
1
1
1
1
11
A
A
Г
A
A
Г
,
1
,
2
2
2
2
22
1
2
2
1
2
1
22
A
A
Г
A
A
A
Г
.,
1
2
1
2
2
1
2
11
1
2
2
2
12
A
A
A
Г
A
A
Г
линии на поверхности не являются линиями главной кривизны.
Для того чтобы координатные линии
можно было бы с
точностью до величины считать линиями главной кривизны
необходимо выполнение сильных ограничений:
.
В этом случае
(2.1.9)
Производные от единичных векторов
в случае
выполнения условий (1.5) определяются по формулам:
(2.1.10)
Символы Кристоффеля
(2.1.11)
Ниже предлагается численный метод параметризации
срединной поверхности оболочки при дискретном задании радиус-
вектора r, который основан на применении аппроксимирующих
функций, использованных при расчете оболочек сложной формы.
Предварительно рассматривается методика аппроксимации
граничных линий срединной поверхности оболочки при дискретном
задании информации о них.
55
21
,
)(12 f
Jjf
jj
,1,2
ba
J
11211
)(1f
b
a
dA
d
fd
A
A
d
d
AA
fФ
1
0
1
2
1
0
1
0
2
1
020
1
1
)(
2.2 Параметризация граничных линий оболочки.
Геометрические параметры граничных линий оболочки могут
задаваться как аналитически, так и численно. Если граничные линии
не могут быть заданы аналитическими функциями, т.е. имеется
информация только о дискретных значениях этой функции, то
необходимо построить аппроксимирующую функцию, которая
описывала бы эти линии.
В данном параграфе рассматриваются методы построения
сглаживающих аппроксимирующих функций, которые позволяют на
малом количестве узловых точек получать хорошие результаты не
только для самой функции, но и для ее первой и второй производных.
Пусть в криволинейной системе координат
требуется
построить аппроксимирующую функцию
значения которой
определены с некоторой
погрешностью в точках
Рис.2.2.1
Потребуем, чтобы искомая функция
функционал:
(рис.2.2.1),
.
минимизировала
56
J
j
jjj
ffp
1
2
1
)(
, (2.2.1)
j
p
0
i
A
02
fФ
)(12 f
j
p
),(
1 jj
f
0)('' af
0)('' bf
)(' af
)(' bf
j
p
jj
fp
j
p
Jj
jj
ff
J
1
2
1
)(
1
где
определенные на линии отсчета
- весовые коэффициенты,
- параметры Ляме,
.
В работах [38, 67] уравнение (2.1) задается в декартовой системе
координат.
В функционале
условия прохождения кривой
скомбинированы интерполяционные
вблизи заданных точек и
условие минимального «изгибания» кривой [67]. Чем больше
коэффициенты
, тем ближе к точкам с координатами
проходит кривая. Если в декартовой системе координат вывести
уравнения, следующие из функционала (2.1), то получим
дифференциальное уравнение изгиба балки под действием
сосредоточенных сил и пружин, приложенных в узловых точках, а
также статические граничные условия. Естественными граничными
условиями уравнения являются условия
,
. (2.2.2)
Эти условия должны выполняться в случаях, когда на границах
балки не задаются углы поворота, т.е. первые производные
и
.
Весовые коэффициенты
податливости пружин, величины
пропорциональны коэффициентам
пропорциональны значениям
сосредоточенных сил.
Величины весовых коэффициентов
определяются из
условия выполнения неравенства [171, 172]:
, (2.2.3)
где - положительное малое заданное число.
В качестве аппроксимирующих функций довольно часто
используются сплайн-функции [38, 52, 67, 155]. Обычно используются
57
кубические сплайн-функции. В этом случае должны быть заданы
)(' af
)(' bf
)(' af
)(' bf
K
k
kk
tbf
1
1
,
k
k
b,
111
111
kt
0 bФ
значения производной искомой функции на границах интервала, т.е.
и
. Причем, для достижения достаточно точной
аппроксимации эти значения должны задаваться с большой
точностью. При параметризации срединной поверхности оболочки это
условие не всегда выполнимо, особенно для оболочек
неканонической формы с криволинейными граничными линиями.
Кроме того, при использовании кубического сплайна сетка разбиения
должна быть сравнительно густой. Это, во-первых, приведет к
необходимости задания большой входной информации, во-вторых,
система уравнений может получиться плохо обусловленной.
В работе [120] для построения аппроксимирующей функции
используются полиномы. Показано, что в этом случае для достижения
достаточной точности требуется меньше входной информации, чем
при использовании сплайн-аппроксимаций, не требуется задания
значений производных
и
, хотя и не выполняются
условия (2.2), а также не происходит ухудшения решения в точках,
находящихся между узлами, как для самой функции, так и для ее
производных.
В данной работе аппроксимирующую функцию предлагается
представлять в виде:
(2.2.4)
где
- неизвестные постоянные, функции
имеют вид (1.2.4).
Использование функции (2.4), во-первых, сохраняет все
преимущества, исходящие из использования полинома в качестве
аппроксимирующей функции, во-вторых, позволяет автоматически
выполнять условия стыковки граничных линий подобластей в
узловых точках.
Подставляя выражение (2.4) в функционал (2.1) и выполняя
условие минимума функционала
, (2.2.5)
58
относительно постоянных
k
b
qbA
T
K
T
Kik
qqqqbbbbAA ,,,,,,,,
2121
jkji
J
j
jik
ttpA
1
1
0
0
1
0
2
0
1
0
2
1
2
020
1
3
'''
11
kk
t
A
A
t
A
A
ab
AA
ab
,'''
0
1
0
2
0
1
0
2
1
dt
A
A
t
A
A
ab
ii
.0'''');,1,(,
21
1
ttKkitfpq
jkj
J
j
jk
k
b
1
f
j
p
1
j
p
i
j
i
j
pcp
1
1c
Здесь
получаем систему линейных уравнений:
. (2.2.6)
,
Решая систему алгебраических уравнений (2.6), находим
неизвестные параметры
, которые определяют искомую функцию
.
Найденное решение значительным образом зависит от весовых
коэффициентов
. Подбор этих величин производится по результату
проверки выполнения условия (2.3) в ходе итерационного процесса.
Для первой итерации задаются значения
, определяется
аппроксимирующая функция и проверяется выполнение условия (2.3).
Если это условие не выполняется на i-ой итерации, то для следующей
итерации принимается
, где с - некоторая постоянная,
.
В данном процессе важным является выбор значений весовых
коэффициентов для первой итерации. Если эти значения выбраны
достаточно большими, то первое слагаемое в функционале (2.1) не
будет учитываться, что может привести к сильно осциллирующей
функции и к большим погрешностям в вычислении ее производных.
59
Для выбора значений
1
j
p
21
,
j
J
j
jjj
ffp
d
fd
11
1
1
4
1
1
4
j
F
EI
d
p
EI
F
fp
j
j
j
jj
,
j
d
EI
lF
f
3
3
48
3
1
l
p
j
можно использовать следующую
методику. Предположим, что система координат
является
декартовой. В этом случае из вариационного уравнения (2.5) можно
получить уравнение
, (2.2.7)
где - дельта-функция Дирака.
Уравнение (2.7) совпадает с уравнением изгиба балки под
действием сосредоточенных сил
, где
,
- коэффициент податливости пружины, EI – жесткость балки.
Известно, что при изгибе балки сосредоточенной силой (без
пружин) прогиб балки в любой точке может быть представлен в
следующем виде:
.
Здесь l - длина балки, - некоторый постоянный
коэффициент, зависящий от конкретной задачи. Например, при
определении максимального прогиба консольной балки с
сосредоточенной силой на конце
концам балки с сосредоточенной силой по середине
; для шарнирно опертой по
.
Предполагая, что на балку действует сила в точке с
наибольшим прогибом и учитывая выше приведенные формулы, для
определения весовых коэффициентов в первом приближении можно
использовать следующую формулу:
.
60
Эта формула дает заниженные значения весовых
)(12 f
)(
102
f
1011
fff
b
a
dA
d
fd
A
A
d
d
AA
fФ
1
0
1
2
1
0
1
0
2
1
020
1
0
1
)(
J
j
jjj
ffp
1
2
1
)(
jjj
fff
10
0
i
A
)(
102
f
)(12 f
коэффициентов, т.к. учет пружин привел бы к увеличению
коэффициента .
В некоторых случаях бывает проще, а иногда и целесообразнее
задавать координаты узловых точек не от координатной оси, а от
некоторой заданной линии (рис.2.2.2).
Рис.2.2.2
Предположим, что кривая
по форме похожа на
кривую
этом случае можно ввести функцию
вместо (2.1) использовать функционал
где
отсчета
В функционале (2.8) скомбинированы интерполяционные
условия прохождения кривой
, уравнение которой имеет аналитический вид. В
и
, (2.2.8)
;
- параметры Ляме, определенные на линии
.
вблизи заданных точек и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]