Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
31
3020
2
1
222
11
1
yzB
kzyB
oo
11
22
kzy
oo
321
,,,
,
3223
1
vkvk
ds
dv
,
22112
3
2
vkvk
ds
dv
,
31331
2
3
vkvk
ds
dv
,
3223
1
1
kk
ds
d
,
1331
2
2
kk
ds
d
2112
3
3
kk
ds
d
32
,
oo
zy ,
1~~~
2030
p
kzky
p
2
01
2
2
2122
120
2
0
max
k
L
kkzy
, (1.5.3)
где
- продольная деформация, изменения кручения и
кривизн (деформации кручения и изгиба) оси стержня.
Деформации оси стержня определяются из соотношений
Клебша [158]:
(1.5.4)
Здесь в соотношения Клебша введены дополнительные углы
поворота
вокруг осей
, вызванные деформациями
сдвига.
В формуле (5.3) не учтено, что стержень является тонким. Для
тонких стержней при малых деформациях выполняются оценки
,
где
- максимальное относительное удлинение в пределах
действия закона Гука [27]. Из условия
,
32
где
01
k
1~
01
k
1~~
22
120
2
01120
2
0
p
kzykzy
1~
01
k
302011
yz
1312
,
.
,
10213
10312
y
z
,
1111
SE
,
1212
S
G
,
1313
SG
SS
GE ,
dVdVПP
SS
VV
SS
131312121111
2
1
- относительное кручение стержня (кручение на единицу
длины стержня), следует, что, если относительное кручение
то
.
Следовательно, в формуле (5.3) можно пренебречь этими
слагаемыми. В результате этого, для тонких стержней, при условии,
что относительное кручение стержня
, получается
. (1.5.5)
Деформации сдвига
представляются в виде:
(1.5.6)
Из этих формул следует, что деформации сдвига
(следовательно, и касательные напряжения), вызванные изгибом
стержня, распределяются равномерно по поперечному сечению
стержня, а деформации сдвига, вызванные кручением,
распределяются по линейному закону пропорционально расстоянию
от центра тяжести сечения, как при кручении круглых стержней. Учет
отклонений от этих законов распределения напряжений будет
произведен ниже.
На основании обобщенного закона Гука и введенных гипотез
можно показать справедливость следующих физических
соотношений, связывающих напряжения и деформации:
,
где
– модули упругости и сдвига стержня.
Потенциальная энергия деформации стержня определяется по
формуле:
(1.5.7)
. (1.5.8)
33
Здесь
S
П
S
V
L
SS
L
SS
dAПdsПР
2
1
2
3223
1
1
vkvk
d
dv
A
FEП
S
SSS
2
1331
2
1
0
kk
d
d
A
JE
S
yS
2
2112
3
1
0
kk
d
d
A
JE
S
zS
2
3223
1
1
kk
d
d
A
JGk
S
pSp
2
22112
3
1
vkvk
d
dv
A
FGk
S
SSy
,
1
2
31331
2
vkvk
d
dv
A
FGk
S
SSz
S
F
p
o
z
o
y
JJJ ,,
pzy
kkk ,,
zy
kk ,
- удельная потенциальная энергия деформации,
объем стержня.
Подставляя соотношения (5.4) - (5.7) в формулу (5.8) и
интегрируя по площади поперечного сечения стержня, получим
, (1.5.9)
где
-
- площадь;
- соответственно главные центральные
(1.5.10)
осевые и полярный моменты инерции поперечного сечения стержня; L
– длина стержня.
Здесь введены постоянные коэффициенты
зависящие от формы поперечного сечения. Коэффициенты
учитывают неравномерность распределения касательных напряжений
в поперечном сечении стержня при изгибе стержня и могут быть
найдены по формулам
,
34
,,
1
2
22
1
2
22
F
y
zz
z
F
z
yy
y
dF
b
S
F
J
kdF
b
S
F
J
k
zyzy
bbSS ,,,
p
k
ppk
JkJ
k
J
,
3223
1
vkvk
ds
dv
FEN
SSS
,22
SSS
FGQ
,33
SSS
FGQ
,
3223
1
kk
ds
d
JGT
pSS
,
1331
2
2
0
kk
ds
d
JEM
ySS
2112
3
3
0
kk
ds
d
JEM
zSS
3232
,,,,,
SSSSSS
MMTQQN
1312
,
если для определения касательных напряжений использовать
формулы Журавского, где
- геометрические
характеристики поперечного сечения стержня. Коэффициент
учитывает отклонение от линейного закона распределения
касательных напряжений в поперечном сечении стержня при
кручении и может быть определен из равенства
, где
момент инерции при кручении [136], или из решения задачи СенВенана для призматического стержня.
Для определения усилий в стержнях с учетом соотношений (5.4)
- (5.7) получаются следующие выражения:
(1.5.11)
Здесь
- соответственно продольная и
.
поперечные силы, крутящий и изгибающие моменты.
После решения задачи (например, вариационным методом) и
определения перемещений, а затем по формулам (5.8) усилий в
стержнях, в случае необходимости можно уточнить законы
распределения касательных напряжений
, вызванных изгибом
и кручением стержня. Для этого по найденным значениям
35
поперечных сил
32,SS
QQ
S
T
k j
kjkj
i j
ijij
L
j
jjS
mvFdsvqW
3
1
3
1
3
1
321
,, qqq
321
,,
iii
FFF
321
,,
kkk
mmm
321
,,
iii
vvv
i
F
321
,,
kkk
k
m
i
i
i
V
и крутящего момента
по
соответствующим формулам определяются истинные касательные
напряжения, действующие в поперечных сечениях стержней.
Работа внешних сил в стержнях определяется по формуле:
, (1.5.12)
где
компоненты i-той сосредоточенной силы;
к-ого сосредоточенного момента;
перемещения точки, в которой приложена сила
компоненты угла поворота точки, в которой действует момент
- компоненты распределенной нагрузки;
- компоненты
;
-
- компоненты
-
.
1.6. Вариационный метод расчета стержневых систем.
В настоящее время для определения напряженно-
деформированного состояния (НДС) криволинейных стержней
используются либо теория криволинейных стержней [116, 152], либо
методы, основанные на аппроксимации оси стержня ломаной линией,
составленной из прямолинейных участков [108].
В данном параграфе предлагается вариационный метод
определения напряженно-деформированного состояния
криволинейных стержней, который основан на использовании
аппроксимирующих функций иерархического типа, предложенных в
параграфе 1.2 для оболочек. Достоинство метода состоит в том, что он
не требует разбиения стержня на большое количество элементов,
позволяет рассчитывать сложные стержневые системы, элементами
которых могут быть и естественно закрученные стержни. При этом
аппроксимация оси стержня ломаной линией не производится.
Предположим, что стержневая система разбита на элементы
(рис.1.6.1), оси которых являются гладкими кривыми.
В пределах элемента
вектор перемещений
оси стержня
представляется в виде:
36
M
m
imimi
tBV
1
, (1.6.1)
i
m
B
12
1iiii
i
21,ii
im
t
i
i
i
i
BVBV
21
1,0
ii
BB21,
ki
BB21
0)0(
i
V
01
i
B
MmB
i
m
,3,
Рис. 1.6.1
где
- вектор неизвестных постоянных;
;
-
координаты начала и конца оси стержня; функции формы
имеют вид (1.2.3).
Если определить значения искомой функции в узловых точках,
то получается
. Следовательно, коэффициенты
равны значениям вектора перемещений соответственно в
начальной и конечной точках оси стержня, т.е. узловым значениям.
Это обстоятельство позволяет легко осуществлять стыковку стержней
и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Так, если
положить
, то будет выполнено условие стыковки начала i-го
стержня с концом к–го стержня. Чтобы удовлетворить, например,
граничному условию жесткого защемления на конце i-го стержня, т.е.
условию
, следует положить
.
Изменяя количество слагаемых в конечногй сумме (6.1), можно
получать аппроксимирующие функции различного порядка. Так как
параметры
не участвуют в условиях стыковки
37
элементов
i
i
ii
BB21,
zyx~,~,
~
iii
zy ,,
i
ii
zy ,
I
i
L
ii
I
i
ii
dsWПVEE
i
11
0
ii
ПE ,
i
T
iiiiii
i
vvvV
321321
,,,,,
iii
zy ,,
i
L
i
zyx~,~,
~
T
iiiiii
i
vvvV
321321
~
,~,~,~,~,
~
~
M
m
imimi
tBV
1
~
T
i
m
i
m
i
m
i
m
i
m
i
m
i
m
BBBBBBB
654321
,,,,,
, то при формировании локальной матрицы жесткости
элемента они могут быть исключены путем статической конденсации.
Следовательно, для каждого элемента
, вне зависимости от порядка
аппроксимирующей функции, в глобальной матрице жесткости
координат можно оставить только по два параметра
определяющих перемещения граничных узлов.
Введем глобальную систему координат
для всей
,
конструкции и локальные системы координат
стержня, где координатная линия
линии
совпадают с главными центральными осями инерции
направлена вдоль оси стержня,
для каждого
поперечного сечения стержня.
Вариационное уравнение Лагранжа для стержневой системы
представляется в виде:
, (1.6.2)
где
энергии стержня
- соответственно удельные полная и потенциальная
;
- вектор компонентов
перемещения и угла поворота оси стержня, заданный в системе
координат
;
- длина стержня
, I – количество стержней.
За искомые неизвестные принимаются компоненты
перемещения и угла поворота оси стержня, заданные в глобальной
системе координат
, которые определяют вектор
. Этот вектор представляется в виде (6.1):
. (1.6.3)
Здесь
постоянных.
- вектор неизвестных
38
Компоненты перемещения в локальной системе координат
iii
VCV~
,
0
0
iо
iо
i
С
С
С
,
333231
232221
131211
ioioio
ioioio
ioioio
iо
CCC
CCC
CCC
С
iо
С
ss
PBK
s
K
s
P
s
K
si
K
i
si
MM
si
M
si
M
si
M
sisi
si
M
sisi
s
KKK
KKK
KKK
K
21
22221
11211
si
mn
K
связаны с компонентами перемещения в глобальной системе
координат соотношениями:
, (1.6.4)
где
- матрица направляющих косинусов локальной системы
координат в глобальной системе координат.
Подставляя аппроксимирующие функции (6.3) в соотношение
(6.4), а затем в уравнение (6.2), удовлетворяя кинематическим
граничным условиям и условиям стыковки стержней, после
соответствующих преобразований получим систему линейных
алгебраических уравнений:
, (1.6.5)
где
неизвестных постоянных,
- матрица жесткости стержневой конструкции, B - вектор
- вектор правой части, учитывающий
действие внешних нагрузок.
Матрица жесткости стержневой конструкции
формируется из матриц жесткости
стержней
, которые имеет
вид
. (1.6.6)
Здесь
- подматрицы размерности шесть на шесть, элементы
которых представляются так:
39
i
l
sio
mn
si
mn
dlKK
nm
sio
mn
DK
111,
nm
sio
mn
DK
1113,,
][K
k
T
K
DDDD 21,
k
MN
kk
k
DDDD
1211
,
k
mn
D
k
k
mn
D
k
mn
D
k
D
k
D
k
i
k
D
,
где
,
.
1.7. Построение матрицы жесткости конструкции.
Формирование матрицы жесткости
оболочки и вектора
правой части P уравнения (4.5) производится поэлементно по
подобластям
. Вектор неизвестных постоянных представляется в
виде
, (1.7.1)
где К – количество подобластей, на которые разбивается оболочка;
- вектора, составленные из неизвестных
постоянных
искомого решения (2.2) подобласти
, входящие в аппроксимирующую функцию
.
В аппроксимирующей функции (2.2) разные параметры
имеют разный физический смысл. Часть из них определяют
перемещения граничных линий подобластей, которые участвуют в
условиях стыковки подобластей. Остальные определяют перемещения
внутренних точек подобластей. Причем, четыре параметра являются
узловыми значениями угловых точек подобластей. Поэтому
параметры
разделяются на подгруппы. Вектор
строится
следующим образом. Сначала в этом векторе располагаются
элементы матрицы
точек подобласти
граничных линий
(2.5), определяющие перемещения угловых
, затем элементы, определяющие перемещения
, и в конце - остальные элементы, определяющие
перемещения внутренних точек подобласти. Вследствие этого вектор
можно представить в виде
40
T
kkkkkk
k
DDDDDDD
543210
,,,,,
Здесь
kkkkk
DDDDD
221221110
,,
k
M
kkk
DDDD
141311
,
k
M
kkk
DDDD
242322
,
k
N
kkk
DDDD
114133
,
,,
224234
k
N
kkk
DDDD
k
MN
k
M
k
M
k
N
kkk
N
kkk
DDDDDDDDDD
4344443334335
,,,,,,
k
D
0
k
D
1
k
D
2
k
D
3
k
D
4
i
k
D
5
k
k
k
JJ
k
J
k
J
k
J
kk
k
J
kk
k
KKK
KKK
KKK
K
21
22221
11211
T
k
J
kkk
PPPP ,,,
21
k
ij
K
k
i
P
.;,1, NMJJji
k
ij
K
k
D
,
. (1.7.2)
,
где
- вектор, состоящий из параметров, определяющих
перемещения угловых точек;
из параметров, определяющих перемещения граничных линий
параметров, определяющих перемещения угловых точек);
,
,
,
,
,
,
- вектора, состоящие
(без
-
вектор, состоящий из параметров, определяющих перемещения
внутренних точек подобласти
.
Матрица жесткости и вектор правой части подобласти
имеет вид:
где
- подматрицы размерности пять на пять;
, (1.7.3)
,
- вектора,
состоящие из пяти элементов;
Подматрицы
вычисляются по формулам (4.7), индексы i и j
определяются соответственно через индексы m, n и r, l в соответствии
с элементами вектора
(7.2).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]