Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография
.pdf
41
Глобальная матрица жесткости и вектор правой части оболочки
k
K
k
P
k
KKKK
K
K
KKK
KKK
KKK
K
21
22221
11211
T
K
PPPP 21,
),1,( KjiК
ji
),1( KkP
k
k
D
k
k
k
D
5
k
D
43210
,,,,
кккккk
DDDDDD
k
K
k
P
i
i
k
D
i
формируются из матриц жесткости
(7.3) подобластей
и принимают вид:
и векторов правой части
,
В этих выражениях подматрицы
формируются в зависимости от векторов
стыковки подобластей
и граничных условий.
. (1.7.4)
и вектора
, условий
Так как параметры, определяющие перемещения внутренних
точек подобласти, не входят в условия стыковки подобластей и не
используются для удовлетворения граничных условий, то при
формировании локальной матрицы жесткости подобласти эти
параметры можно исключать. Следовательно, в глобальной матрице
жесткости оболочки будут содержаться только те неизвестные
постоянные, которые определяют перемещения граничных линий
подобластей
, т.е. из вектора
исключаются параметры
и
вместо выражения (7.2) будем иметь:
. (1.7.5)
В соответствии с этим преобразуются матрица жесткости
вектор правой части
(7.3). При формировании глобальной
и
матрицы жесткости всей конструкции после прохождения по всем
подобластям, контактирующим по граничной линии
, можно
исключать параметры, определяющие перемещения данной границы.
То есть из вектора (7.5) исключаются вектора
, определяющие
перемещения соответствующих граничных линий
. В результате
42
такого преобразования для каждой подобласти
k
k
D
0
кk
DD
1
к
D
2
к
D
3
к
D
4
к
D
5
к
D
k
D
k
k
D
k
k
остается по четыре
параметра, определяющие перемещения угловых точек. Вектор
(7.5) при этом будет иметь вид:
. (1.7.6)
Однако следует отметить, что при решении обратной задачи в
пределах одной подобласти по четырем узловым значениям, не зная
перемещения граничных линий или не имея граничные условия на
этих линиях, невозможно найти решение задачи для этой подобласти,
т.е. определить параметры
,
,
,
,
.
Если требуется определить искомые функции в какой-то одной
подобласти конструкции, то для этой подобласти не исключаются
параметры, определяющие перемещения граничных линий, т.е. вектор
будет иметь вид (7.5). Если же требуется определить решение
задачи для всей конструкции, однако возможности оперативной
памяти компьютера не позволяют получить решение сразу для всей
конструкции в связи с большими размерами матрицы жесткости, то
возможны два пути решения задачи. В первом случае, решение можно
получить последовательно для каждой из подобластей
, на
которые разбивается конструкция. Или на каждом шаге оставлять
вектора
(7.5) для нескольких подобластей в зависимости от
возможности компьютера. Во втором случае, конструкция
разбивается на области, которые в свою очередь разбиваются на
подобласти
. Для каждой подобласти оставляются только те
параметры, которые определяют искомые функции только на
границах, являющихся одновременно границами областей. Зная
решение на граничных линиях областей, можно отдельно для каждой
области найти решение для подобластей, входящих в эту область.
Если при формировании локальной матрицы жесткости
подобласти
исключать параметры, определяющие перемещения
внутренних точек подобласти и граничных линий, кроме узловых
значений, то можно создать несогласованный четырехугольный
четырех узловой конечный элемент с двадцатью степенями свободы с
43
произвольной степенью аппроксимации. В этом случае вектор
k
D
'k
''k
k
k
ij
K
k
неизвестных параметров
приводится к виду (7.6) и в нем остаются
только четыре параметра, являющиеся значениями перемещений в
угловых точках, т.е. узловые значения.
Аналогичным образом строятся матрицы жесткости для
треугольных подобластей вида
и
.
Для составных оболочек, которые будут рассмотрены в третьей
главе, все построения идентичные, только в этом случае в матрице
жесткости подобласти
подматрицы
будут иметь размерности
шесть на шесть.
1.8. Об особенностях численной реализации задачи.
В данном параграфе рассматриваются некоторые вопросы,
касающиеся численной реализации метода расчета тонких оболочек,
предложенного в этой главе.
1. Задание числовых параметров оболочки.
Срединная поверхность оболочки разбивается на подобласти
. Для каждой из этих подобластей аналитически или численно
задается вид срединной поверхности. Предусмотрены варианты
аналитического задания элементов конструкций в виде пластин,
цилиндрических, конических, сферических и других оболочек, а
также параметрического задания оболочки любого типа.
На срединной поверхности подобласти задаются координаты
угловых точек и аналитически или численно граничные линии,
проходящие через эти точки. В качестве граничных линий могут быть
отрезки прямых, парабол и окружностей, а также любого другого вида
линии, представленные в параметрическом виде.
44
Один из численных методов параметризации срединной
k
поверхности и граничных линий оболочки рассмотрен во второй главе.
Каждая из граничных линий подобласти может быть свободна
или закреплена. Возможно закрепление любого из компонентов
перемещения и углов поворота граничных линий подобласти. Также
предусмотрена возможность точечного закрепления подобластей в
угловых точках.
Механические характеристики оболочки задаются для каждой
подобласти
отдельно. Это позволяет рассчитывать оболочки,
составленные из элементов с различными механическими свойствами.
В каждой подобласти могут действовать сосредоточенные и
распределенные нагрузки. Компоненты распределенной нагрузки могут
быть определены в глобальной или в локальной системе координат.
2. Нумерация подобластей и узлов.
Нумерация подобластей, на которые разбивается оболочка,
сторон подобластей и узловых точек производится автоматически в
процессе ввода данных для подобластей. В качестве примера
рассматривается срединная поверхность пластины в виде уголка,
представленного на рис.1.8.1.
Рис. 1.8.1
45
Данная пластина разбита на три подобласти
321
,,
1
21
,
1
2
21
,
. У
каждой подобласти сначала нумеруются две взаимно параллельные
стороны (для подобласти
это стороны
), затем другие две
стороны в соответствии с представленной на рисунке схемой.
Нумерация узлов производится следующим образом. Сначала
нумеруются угловые точки в соответствии с направлениями,
показанными стрелками. Затем производится нумерация «фиктивных»
граничных узлов в соответствии с порядком нумерации сторон и
направлением стрелок. После этого нумеруются «фиктивные»
внутренние узлы подобласти. «Фиктивные» граничные и внутренние
узлы не имеют своих носителей и не соответствуют никаким
конкретным точкам. Поэтому при вводе данных для подобластей
требуется задание только положения угловых точек, т.е. для каждой
подобласти задается только четыре узла.
На рис.1.8.1 для подобласти
показана нумерация угловых и
«фиктивных» (в скобках) граничных узлов в случае, когда в
аппроксимирующих функциях (4.4) количество членов в рядах
N=M=5. Так как при формировании глобальной матрицы жесткости
параметры, определяющие перемещения внутренних точек
подобласти, исключаются, то при глобальной нумерации оболочки не
требуется задания номеров для внутренних «фиктивных» узлов. В
связи с этим для подобласти
угловые узлы имеют номера 17, 18.
Нумерация внутренних узлов необходима только при формировании
локальной матрицы жесткости подобласти и при решении обратной
задачи для конкретной подобласти, т.е. носит только локальный
характер.
3. Задание положения точки в различных системах
координат.
В пределах подобласти искомые функции (4.4) задаются в
локальной системе координат
, связанной с граничными
линиями подобласти. Определяющие уравнения оболочки задаются в
46
ортогональной криволинейной системе координат
21
,
21
,
)(
1 ii
sg
)(
2 jj
sg
)(1iiqs
)(2jjqs
2,1,2 iij
)(1iiqs
i
s
i
1
)(
111
qs
1
)(
111
sg
)(
111
qs
)(1iiqs
)(2jjqs
2,1,2 iij
)(
1 ii
sg
)(
2 jj
sg
, которая
определяется через координаты
по формулам (2.1), (3.1) или
(3.2) в зависимости от вида подобласти. В эти формулы входят
функции
обратными к функциям
Функции
введенные на граничных линиях
Например, на граничной линии
конкретного значения
(рис.1.8.2). Функция
,
, которые являются функциями
,
определяют дуговые координаты
.
функция
определяет длину дуги отрезка АС
является обратной к функции
для
.
.
,
Рис.1.8.2
Функции
,
определяются численно. Интегралы, входящие в эти функции,
вычисляются с помощью квадратурных формул Гаусса [13]. Для
построения обратных функций
,
используется
итерационный метод Ньютона решения нелинейных уравнений [134].
47
При определении перемещений и напряжений в заданных
21
,
21
,
21
,
21
,
21,
21,
,0),(
1211
F
.0),(
2212
F
),(21iF
1
2
1
1
,
jj
j
j
jj
F
F
1
1
1
211
1
2
1
11
),(
),(
,0
),(
12
1
2
211
jj
F
точках оболочки требуется по координатам
определять
координаты этих точек в системе координат
необходимо из соотношений (2.1) выразить переменные
переменные
, т.е. найти обратные функции к функциям (2.1).
. Для этого
через
Для решения этой задачи также используется итерационный метод
Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
Рассмотрим пример. Пусть требуется найти значения
переменных
, соответствующих точке Е с координатами
(рис.1.8.3). Соотношения (2.1) для заданной точки представляются в
виде:
Для j-ой итерации функции
Тейлора в окрестности точки
раскладываются в ряд
. Система (8.1) при этом
(1.8.1)
принимает вид:
Рис.1.8.3
48
j
j
jj
F
F
1
1
1
212
1
2
1
12
),(
),(
,0
),(
22
1
2
212
jj
F
1
2
1
1
,
jj
21
,
jj
21
,
,
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
0
1
j
j
j
jj
d
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
0
2
1
j
j
j
jj
d
2,1,2,1,
),(
),,(
21
21
ki
F
F
k
i
k
i
ii
,
1
1
11
jjj
,
2
1
22
jjj
Jj ,1
,
4
5.0
min,1max,1
14131211
1
0
1
,
4
5.0
min,2max,2
24232221
2
0
2
),,,,max(
4321max, iiiii
2,1),,,,min(
4321min,
i
iiiii
где
предыдущей итерации;
- значения переменных
- поправки к этим значениям.
, полученные из
Из решения этой системы получим
Здесь учтено, что
Частные производные, входящие в эти соотношения,
вычисляются по формулам (4.3).
Значения искомых переменных для j-ой итерации определяются
по формулам
.
За нулевое приближение принимаются значения
.
.
где
.
49
Г Л А В А 2
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ОБОЛОЧКИ
Параметризация срединной поверхности и граничных линий
оболочки может быть произведена как аналитически, так и численно.
В программе предусмотрены варианты аналитического задания
элементов конструкций в виде пластин; цилиндрических, конических
и сферических оболочек. В качестве граничных линий могут быть
отрезки прямых, парабол и окружностей. Имеется возможность
параметрического задания оболочки и граничных линий любого типа,
т.к. геометрические параметры оболочки, необходимые для расчетов,
представлены в программе в общем виде.
Если оболочка имеет не каноническую форму, то ее срединную
поверхность обычно задают сеткой дискретных точек, по которым
строится интерполяционная или сглаживающая функция [38, 52, 67].
При использовании вариационного метода решения задачи в
определяющем функционале имеются слагаемые, которые включают
в себя частные производные второго порядка от искомой функции,
которые с механической точки зрения обеспечивают минимальность
«изгибания» поверхности, заданной этой функцией.
В данной главе предлагается численный метод построения
сглаживающей функции, в основе условия «изгибания» которой
лежит теория оболочек типа Тимошенко. Этот метод приводит к
уменьшению порядка производных в функционале в отличие от
функционала, в котором в основе условия «изгибания» лежит теория
оболочек, основанная на гипотезах Кирхгова-Лява. Это значительно
облегчает параметризацию срединной поверхности оболочки. В
качестве аппроксимирующих функций используются функции,
предложенные в первой главе для задания компонентов перемещений
оболочки.
50
Oxyz
,nr
kzjyixr
2121
,,, yyxx
21
, zz
kji ,,
zyx ,,
,,
21
,
222
iii
i
i
i
zyx
r
r
A
.
11
2
2
33
2
2
32
2
2
31
22
iiii
ii
i
i
z
C
y
C
x
C
A
rn
A
k
,
,
321
232221
131211333231
k
z
j
y
i
x
kCjCiCe
CCC
CCC
kji
kCjCiCn
iii
iiii
2.1. Исходные соотношения.
Пусть произвольная точка оболочки задается в декартовой
системе координат
радиусом-вектором
где
- радиус-вектор соответствующей точки
срединной поверхности оболочки;
координат
- координаты этой точки;
; n- нормаль к срединной поверхности;
- орты системы
-
криволинейная ортогональная система координат, связанная со
срединной поверхностью оболочки.
Если известен радиус-вектор r каждой точки срединной
поверхности оболочки, то коэффициенты первой квадратичной
формы и кривизны оболочки определяются по известным формулам:
(2.1.1)
Здесь
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]