Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями. Монография

91

z

v

vk

v

Azk 





 



 













2

22

3

22

32

1

2121

,,, kkAA

z,y,

o

aa,

1),1(

21

 AykAA

gS

0),1(

21

 kykkk

gn

gnS

kkA ,,

 





 



 





























d

y

d

z

d

h

d

du

ykAzk

gSn

3

2

1

11

)1(

1

   

 









112122

)1(

1

ywykkzhu

yk

k

gn

g

 





 



 





















d

z

d

h

d

du

ykAzk

gSn

1

2

1

2

12

)1(

1

 

3322221

)1(



 











yzhu

ykA

k

gS

g

. (3.2.2)

Здесь поверхности оболочки.

В малой окрестности линии  вводим дополнительную ортогональную систему координат

прямой. Вследствие малости величин (2.2), определяющих перемещения и деформации ребра жесткости,

координату  можно заменить на координату y и для параметров Ляме и кривизн с погрешностью теории пологих оболочек

использовать формулы:

где геодезическая кривизна кривой  [49, 76].

Подставляя соотношения (2.1) в формулы (2.2), учитывая при этом выражения (2.3), получим

- параметры Ляме и кривизны срединной

, в которой ось y является

в соотношениях (2.1) и

,

; (3.2.3)

- соответственно параметр Ляме, нормальная и

,

92

 





 



 















d

y

d

dw

ykAzk

gSn

1

13

)1(

1

 

2322221













yzhuk

n

0

323322



yk

g

zk

n



 



 





























d

y

d

z

d

h

d

du

A

S

3

2

1

11

1

 





112122

ywkzhuk

ng



 



 





















d

z

d

h

d

du

A

S

1

2

1

2

12

1

 

3321221





yzhuk

g



 



 















d

y

d

dw

A

S

1

13

1

 

2321221





yzhuk

n

0

323322



 

dVdVПP

SS

VV

SS





131312121111

0

2

1

0

S

П

Пренебрегая в этих соотношениях величинами порядка

по сравнению с единицей, приходим к следующим выражениям

для деформаций ребра:

Потенциальная энергия деформации ребра определяется по формуле

.

. (3.2.4)

,

и

,

Здесь

- объем ребра.

при этом линейно упругое изотропное тело, получим

- удельная потенциальная энергия деформации ребра, VS

Подставляя соотношения (2.4) в формулу (2.5), рассматривая

. (3.2.5)

93





L

SS

L

SS

dAПdsПР

2

1

Здесь



 



 









2

4

1

2

32

1

RIERkRk

d

dR

A

FEП

YSng

S

SSS



54

2

5

1

11

2 RRIERIE

ZYSZS



 





 





2

6

2

31

2

1

1ddR

A

YSg

S

SS



76

2

7

111

2 RRIGRIG

ZYSZS



 



 









2

8

1

2

21

3

1

RIGRk

d

dR

A

FG

YSn

S

SS



2

8

1

98

11

2

9

1

2 RIGRRIGRIG

YSZYSZS

98

11

2

9

1

2 RRIGRIG

ZYSZS



1111

,,,

ZYZYS

IIIF

22

haa 

,

121222

30222211









ahuR

aahuR

,

1

,

1

2

4103











g

S

k

d

A

RawR

,

1

,

1

2

1

61

3

5















g

S

n

S

k

d

A

Rk

d

A

R

,,

2837



ng

kRkR

.

1

3

1

9









n

S

k

d

A

R

(3.2.6)

, (3.2.7)

- площадь, центральные осевые и центробежный

моменты инерции поперечного сечения ребра;

;

(3.2.8)

94

Если

11

, zy

11

ZY

I

21

 ,



21,





2211

,

,,

12230211



 auRaauR

,

1

,

1

2

4103













g

S

k

d

A

RawR

,

1

,

1

2

1

6

1

3

5



















g

S

n

S

k

d

A

R

k

d

A

R

,,

2837





ng

kRkR

.

1

3

1

9











n

S

k

d

A

R

главные оси, то в формуле (2.7) необходимо

центробежный момент инерции

приравнять к нулю.

В выше полученных формулах не учитывалась связь между углами поворота

ребра и соответствующими углами поворота

оболочки. Эти углы отличаются между собой на величины

деформаций сдвига. Если деформации от сдвига сравнимы с соответствующими деформациями от изгиба или кручения, то эти углы необходимо рассматривать отдельно. Если же углы сдвига оболочки и ребра малы по сравнению с углами поворота, вызванными изгибом или кручением, то можно положить

. (3.2.9)

Тогда формулы (2.8) примут вид:

(3.2.10)

В этом случае потенциальная энергия деформации ребра полностью определяется через перемещения и углы поворота линии 

оболочки.

95

3.3. Расчет тонких оболочек с ребрами жесткости.

k



1

C

   

















 

 

K

k i

ikik

VEUEE

1

4

1

   

 



 





 



 





K

k i

kikikk

kik

dsWПdWП

1

4

1

0''

Срединная поверхность оболочки разбивается на подобласти вида

(рис.1.2.1) таким образом, чтобы ребра жесткости проходили

вдоль граничных линий подобластей (рис.3.3.1) и их оси имели эксцентриситеты относительно граничных линий, величины которых соизмеримы с размерами поперечного сечения ребра и толщиной оболочки. Предполагается, что в пределах одной подобласти ось ребра, проходящего вдоль граничной линии подобласти, описывается

функцией класса

, ребро имеет однородную структуру, постоянное

поперечное сечение.

Рис.3.3.1

При выполнении данных предположений для определения напряженно-деформированного состояния оболочки, подкрепленной ребрами жесткости, могут быть использованы соотношения, полученные в предыдущем параграфе и метод расчета оболочек сложной формы, предложенный в первой главе.

Вариационное уравнение Лагранжа представляется в виде:

3.3.1)

96

где

 

T

wuuU

32121

,,,,, 

k



 ,,

21

 

T

iiiiiii

vvvV

321321

,,,,, 

ki



iiis

zy ,,

k

П

k

W'

k



ki

П

ki

W'

ki



k



ki



ki



k



i

V

ki





i

U

ki



 





iii

UAV

- вектор перемещений и углов

поворота срединной поверхности подобласти локальной системе координат

;

, заданный в

- вектор перемещений и углов поворота

ребра жесткости

, заданный в локальной системе координат

;

,

деформации и вариация работы внешних сил подобласти

,

деформации и вариация работы внешних сил ребра жесткости

- соответственно удельная потенциальная энергия ;

- соответственно удельная потенциальная энергия .

Здесь и в дальнейшем для упрощения записей в некоторых

случаях индекс «к», определяющий принадлежность к подобласти

, будет упускаться.

Если вдоль какой-то границы не проходит ребро жесткости, то

соответствующие компоненты в уравнении (3.1) полагаются равными нулю.

Предположим, что потенциальная энергия деформации ребра находится по формуле (2.6), в которой используются соотношения (2.7), (2.9), (2.10). Тогда компоненты перемещения и углы поворота

ребра жесткости с продольной осью

полностью определяется

через перемещения и углы поворота граничной линии

оболочки. В этом случае из соотношения (2.1) с учетом равенств

(2.9) вектор перемещений перемещений

где

граничной линии

оси ребра

подобласти

определяется через вектор

:

, (3.3.2)

97

 

















100000

010000

001000

00100

00010

0001

oi

i

oii

i

a

aa

A

,

oii

aa ,

ii

yz ,

ki





i

U

iiis

zy ,,

k



 

T

uuuU

321321

~

,

~

,

~

,~,~,

~



zyx~,~,

~

   

 

 



MmN

n

nm

k

mn

ttDU

1 1

21

~

 

T

k

mn

k

mn

k

mn

k

mn

k

mn

k

mn

k

mn

DDDDDDD

654321

,,,,,

 ,,

21

zyx~,~,

~

 

UCU~

 

,

0

 



 





о

С

 















ooo

о

CCC

С

333231

232221

131211

 

о

С

 ,,

21

- эксцентриситеты соответственно по координатным осям

ребра

координат

. Здесь вектор перемещений

.

задается в системе

В качестве искомой функции в пределах подобласти выбирается вектор компонентов перемещений и углов поворота

, заданный в глобальной системе

координат

. Решение представляется в виде:

. (4.3.3)

где

- вектор неизвестных

постоянных.

Компоненты перемещения в локальной системе координат

связаны с компонентами перемещения в глобальной

системе координат

соотношениями:

. (3.3.4)

Здесь

- матрица направляющих косинусов локальной системы

координат

в глобальной системе координат.

98

Перемещения граничных линий

ki



k



 







M

m

mkimi

tDU

1

,

~

 

2,1,

~

1

22









itDU

N

n

nknii

ki



 

оi

С

iiis

zy ,,

zyx~,~,

~

 

4,1,

~





iUCU

iii

 

,

0

 



 





оi

i

С

 















oioioi

оi

CCC

С

333231

232221

131211

 

   

 

 



MmN

n

nm

k

mn

ttDCU

1 1

21

 

 









M

m

mkimii

tDCU

1

,

 

 

2,1,

1

222













itDCU

N

n

nkniii

k

mn

D

по формулам:

подобласти

находятся

. (3.3.5)

Определяя для граничных линий косинусов

локальной системы координат

глобальной системе координат

матрицу направляющих

, можно записать

. (3.3.6)

Здесь

Подстановка аппроксимирующих функций (3.3) и (3.5) соответственно в соотношения (3.4) и (3.6) дает

,

. (3.3.7)

в

.

Найденные выражения подставляются в соотношения (3.2), а затем в вариационное уравнение (3.1). Из этого уравнения после учета геометрических граничных условий и стандартных преобразований получается система уравнений относительно неизвестных постоянных

.

Если же потенциальная энергия деформации ребра определяется по формулам (2.6) с учетом формул (2.7) и (2.8), то соответствующие

99

углы поворота

21

, 



21,

 

T

iiiiiii

wuuU





32121

,,,,,

 

T

iiiiiii

uuuU

321321

~

,

~

,

~

,

~

,

~

,

~



 

T

iiiiiiiii

wuuU

2132121

0

,,,,,,, 



 

T

iiiiiiiii

uuuU

21321321

0

,,

~

,

~

,

~

,

~

,

~

,

~



21

, 

 

4,100



iUAV

iii

 







M

m

mkimi

tDU

1

00

,

~

 

2,1,

~

1

2

00

2









itDU

N

n

nknii

 

4,1

00100000

10000000

01000000

0000100

000010

00001

11

0

















 i

a

ahh

haah

A

i

ii

i

 

,,,,,,,,

87654321

0

T

k

im

k

im

k

im

k

im

k

im

k

im

k

im

k

im

k

im

DDDDDDDDD 

 

.,i,D,D,D,D,D,D,D,DD

T

k

ni

k

ni

k

ni

k

ni

k

ni

k

ni

k

ni

k

ni

k

ni

21

87654321

0



ребра и

оболочки не равны между

собой и должны быть определены отдельно.

Вместо векторов

вводятся новые вектора

,

включающие в себя углы поворота

В этом случае соотношения (3.2) и (3.5) преобразуются следующим образом:

где

Формула (3.6) запишется так:

.

; (3.3.8)

, (3.3.9)

;

100

 

4,1,

~

000

iUCU

iii

Здесь

 

,

00

0















I

С

оi

i

   

 



 



















10

01

,

333231

232221

131211

I

CCC

С

oioioi

оi

 

   

 

 



MmN

n

nm

k

mn

ttDCU

1 1

21

 

 









M

m

mkimii

tDCU

1

000

,

 

 

2,1,

1

2

000

2











itDCU

N

n

nkniii

;2,1,,3,

0

 nMmD

k

mn

;,1,2,1,

0

NnmD

k

mn



NnMmD

k

mn

,3,,3, 

21

, 

NnMmD

k

mn

,1,,1, 

. (3.3.10)

.

По аналогии с выводом формул (3.7), подставляя аппроксимирующие функции (3.3) и (3.9) соответственно в соотношения (3.4) и (3.10), найдем

,

. (3.3.11)

Из вариационного уравнения (3.1), аналогично случаю, когда выполняются условия (2.9), получается система уравнений относительно параметров

.

В задачах, в которых углы поворота в условиях стыковки подобластей, при формировании глобальной

матрицы жесткости конструкции параметры, определяющие эти углы, могут быть исключены из системы уравнений. Тогда в окончательной системе уравнений останутся те же неизвестные, что и в первом

случае, т.е. параметры

ребра не участвуют

.