Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, сформированная задача сводится к определению оп-
(, )
тимизирующего вектора
Xxx
opt
, который удовлетворяет системе
12
уравнений и неравенств ограничений и дает наибольшее значение целевой
функции Z(X).
Для геометрического анализа этой задачи линейного программирования рассмотрим плоскость с координатами (х
, х
) (рис. 4.1). Найдем на
1
2
ней множество точек, координаты которых удовлетворяют ограничениям
при условии, что х1 и х2 не отрицательны.
Составим результирующее множество точек, полученное пересечением трех множеств между собой (рис. 4.2).
х
х2 х2
2
10х1 + 40х2 = 5000 5х1 + 10х2 = 1500 20х1 + 20х2 = 5000
250
150
125
0 500 х1 0 300 х1 0 250 х
1
Рис. 4.1. Графический анализ задачи
Если же точка не принадлежит пятиугольнику, то такой план не может быть выполнен. Геометрически задача линейного программирования
заключается в отыскании такой точки многоугольника допустимых решений, координаты которой определяют экстремальное значение показателя
эффективности, целевой линейной функции.
х
2
Область допустимых
решений
250
М
( 0, 125)
150
М
125
1
М
2
М
3
1
М
(100, 100)
2
М
(200, 50)
3
М
(250, 0)
4
0 х
М
250 300 500
0
М
Рис. 4.2. Выделение области допустимых решений М
Результирующее множество как область допустимых решений по
вектору Х имеет вид пятиугольника с вершинами М
1
4
1М2М3М4
, М1, М2, М3, М
0
, явля-
4
71
ющимися точками пересечения прямых, на которых неравенства (а) пере-
ходят в точное равенство. Любой точке, принадлежащей данному пятиугольнику, кроме точки М0 с целочисленными координатами х1 и х
> 0,
2
соответствует план выпуска шлюпок, который может быть выполнен при
имеющихся запасах сырья и трудоемкости (реализуемый план).
Рассмотрим на плоскости х
, х
изолинии целевой функции:
1
2
90x1 + 130x2 = С.
Это уравнение описывает семейство прямых, параллельных прямой:
90х1 +130х2 = 0, х1 = – 1,44х2.
При параллельном переносе этой прямой вправо параметр С возрастает, а влево – убывает. Свойства целевой функции Z(Х) тесно связаны с
прямыми, представленными системой уравнений. Вдоль каждой из них целевая функция сохраняет постоянное значение, Z(Х) = C. Исходя из максимизации целевой функции оптимальный план (решение) должен располагаться на одной из прямых семейства 90х
+ 130х
1
= С, наиболее удален-
2
ной от начала координат и принадлежащей границе области допустимых
значений вектора переменных Х.
Как видно из рис. 4.2, предельной точкой семейства является точка
М
с координатами х
3
оптимальный вектор оптимизируемых переменных х
= 200, х
1
= 50. Следовательно, оптимальный план как
2
, х
предусматривает
1
2
изготовление 200 шлюпок типа I и 50 шлюпок типа II. Доход предприятия
от реализации этой продукции получается оптимальным и равным:
90 · 200 + 130 · 50 = 24 500 тыс. р.
На выполнение оптимального плана нужно затратить 10 · 200 +
+ 40 · 50 = 4000 м2 материала, 5 · 200 + 10 · 50 = 1500 кг краски, 20 · 200 +
+ 20 · 50 = 5000 чел.-ч рабочего времени.
Нужно отметить, что этот план требует полного использования краски и трудоемкости, в то же время третий ресурс, материал, будет израсходован не полностью.
Помимо решения задач разработки производственной программы,
метод линейного программирования применен для решения задач оптимального распределения деталей по технологическому оборудованию.
Задача 4.2.2. Назначение технологических маршрутов.
Исходные данные. В процессе подготовки производства строящегося
грузового судна технологи корпусообрабатывающего цеха, разрабатывая
плазово-технологические карты, приступили к назначению технологических маршрутов изготовления деталей унифицированного узла, который
используется в конструкции корпуса.
72
Сборочный узел состоит из i = 1, 2, …, m; m = 2, деталей. Для их из-
k
готовления необходимо выполнить технологические операции, которые
можно делать на станках j = 1, 2, …, n; n = 3, имеющих различную производительность аij (табл. 4.5).
Таблица 4.5
Производительность станков
а
Производительность станков
Обозначения а
Величины,
5,0 6,0 7,0 5,5 6,5 7,5
11
а
а13 а21 а22 а23
12
i
деталей в смену
Требуется принять решение о маршрутах изготовления деталей сбо-
рочных узлов такое, чтобы в течение планового периода изготовить максимальное количество комплектов узлов.
Решение. Целевая функция Z(х
), которая описывает количество де-
ij
талей для производства сборочных узлов, где хij – время изготовления i-й
детали на j-м станке в долях рабочей смены, имеет вид
Z(Х) = а11х
11
+ а
12х12
+ а
13х13
+ а
21х21
+ а
22х22
+ а
23х23
,
по смыслу ее следует устремить к максимуму.
Уравнения ограничений, исходя из физического представления о пе-
х
ременных
, будут х11 ≥ 0; х12 ≥ 0; х13 ≥ 0; х21 ≥ 0; х22 ≥ 0; х23 ≥ 0. Уравнения
ik
ограничений, если учесть, что станки при изготовлении обеих деталей
должны быть загружены полную рабочую смену, имеют вид
х
+ х12 + х13 = 1;
11
х
+ х22 + х23 = 1.
21
Уравнения ограничений, определяющие производство того количе-
ства деталей, которое комплектует сборочные узлы, представлены
а11х
а11х
а13х
а21х
11
11
13
21
= а
= а
= а
= а
12х12
13х13
21х21
22х22.
;
;
;
Целевая функция и уравнения ограничений образуют математиче-
скую модель, систему уравнений, решение которой приведено ниже в ко-
MathCad с использованием функции Maximize из библиотеки f(x).
дах
а11:= 5,0 а12:= 6,0 а13:= 7,0 а21:= 5,5 а22:= 6,5 а23:= 7,5
z(х11, х12, х13, х21, х22, х23):= а11х11 + а12х12 + а13х13 + а21х21 +
+ а22х22 + а23х23
73
а11:= 0 а12:= 0 а13:= 0 а21:= 0 а22:= 0 а23:= 0
Given
х11 ≥ 0; х12 ≥ 0; х13 ≥ 0; х21 ≥ 0; х22 ≥ 0; х23 ≥ 0
х11 + х12 + х13 = 1
х21 + х22 + х23 = 1
а11х11 = а12х12
а11х11 = а13х13
а13х13 = а21х21
а21х21 = а22х22
R:= Maximize(z, х11, х12, х13, х21, х22, х23)
393,0
R:=
327,0
280,0
357,0
302,0
341,0
Первая деталь на 1-м станке должна изготавливаться в продолжительности 0,393 части рабочей смены, на 2-м станке ее нужно делать
0,327 смены, а на 3-м станке – 0,280 смены. Соответственно, вторую деталь нужно изготавливать на 1-м станке 0,357 рабочей смены, на 2-м станке изготавливать ее 0,302 смены, а на 3-м станке 0,341 смены. Зная продолжительность рабочей смены, несложно перевести полученный результат в часы работы.
Довольно широко метод линейного программирования используется
в транспортных задачах. В них рассматривается проблема рациональных
перевозок однородного по назначению и качеству груза из пунктов отправления в пункты получения. При этом для получателей безразлично, из
каких пунктов отправления будет поступать груз, лишь бы он поступал в
требуемом объеме. Естественно, что оттого, насколько рационально раскреплены пункты отправления груза к пунктам его получения, полностью
зависит объем транспортной работы. Это обстоятельство требует не только
рационального раскрепления пунктов отправления, но и определения оптимального объема перевозок груза по каждому из возможных маршрутов.
Следует отметить, что термин «транспортные» носит условный характер, потому что к этому типу относятся не только задачи оптимизации
грузовых перевозок. Метод применяется и к задачам вооруженной борьбы.
Например, расчет оптимального противолодочного рейда или нанесения
74
поражающего ракетно-бомбового удара по объектам противника. Ниже
рассмотрим пример решения транспортной задачи.
При решении практической транспортной задачи оптимизации методом линейного программирования целесообразно проверить соотношение
суммы величин груза, предназначенного для вывозки, и суммы величин
груза, предназначенного для получения в портах. Принципиально возможны три варианта соотношения запасов и потребностей:
a
=
i
Ii
1
a
>
i
Ii
1
a
<
i
Ii
1
Jj
Jj
Jj
,
b
j
1
,
b
j
1
.
b
j
1
(4.11)
(4.12)
(4.13)
Выражение (4.11) определяет задачу оптимизации как закрытую и
является обязательным условием ее решения. В вариантах (4.12) и (4.13)
задача оптимизации определяется как открытая, для ее решения необходимо предварительно привести эти выражения к виду (4.11).
В варианте (4.12), когда суммарные запасы в портах отправления
превышают потребности в портах получения, вводится фиктивный получатель В
с потребностью b
J+1
J+1
:
b
=
J+1
Ii
a1–
i
.
b
j
Jj
1
Для варианта (4.13), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик А
a
=
I+1
Постоянные величины c
i+1j
и c
–
Jj
b
1
ij+1
a1.
j
i
Ii
, характеризующие перевозку еди-
с запасами a
I+1
I+1
:
ницы груза на маршрутах с участием фиктивного получателя или фиктивного отправителя, следует установить нулевыми, т.к. фактически груз по
этим маршрутам перевозиться не будет.
Задача 4.2.3. Северный завоз топлива.
Исходные данные. В трех портах (Владивосток, Ванино, Находка)
сосредоточен запас угля в количествах а
, а2, а
1
соответственно. Запас угля
3
нужно перевезти в четыре порта (Анадырь, Нагаево, Охотск, Петропавловск-Камчатский), распределив его по каждому из портов b
, b2, b3, b
1
со-
4
75
ответственно. Стоимость перевозки 1 т угля на каждой из линий между
портами, имеемые запасы и потребности сведены в табл. 4.6.
Требуется составить план морских перевозок так, чтобы затраты на
его реализацию были минимальными.
Для понимания задачи целесообразно составить транспортную схему
(рис. 4.3). Транспортные линии имеют маркировку, состоящую из номера
порта-отправителя и номера порта-получателя груза.
Таблица 4.6
Маршруты перевозки угля и тарифы
Порты-
отправители
1) Владиво-
1) Анадырь,
потребность
b
1
с
с12 с13 с14
11
потребность
Порты-получатели
2) Нагаево,
b
2
3) Охотск,
потребность
b
3
4) Петропав-
ловск-
Камчатский,
потребность
b
4
сток,
а
а
1
с
с22 с23 с24
21
а
2
с
с32 с33 с34
31
3
с
11 с12 с13 с14
с
21с22
с
23
с
24с31
с
32
50 20 30 40 45 15 25 35 40 10 20 30
а
а2 а3 b1 b2 b3 b4
1
20 15 30 12 20 15 18
с
33 с34
запас угля
2) Ванино,
запас угля
3) Находка,
запас угля
Стоимость,
р./т
Потребности
и запасы,
тыс. т
Решение. Транспортная схема северного завоза представлена на
рис. 4.3.
Если обозначить переменными хij количество угля, перевозимого по
каждому ij-му направлению, то целевая функция Z(Х) будет представлять
собой стоимость всей перевозки, состоящей из суммы стоимостей перевозки на каждому из 12 морских маршрутов:
Z(Х) = с
+ с23·х
+ с24·х
23
11·х11
+ с12·х
+ с31·х
24
+ с13·х
12
31
13
+ с32·х
+ с14·х
+ с33·х
32
+ с21·х
14
33
21
+ с34·х
+ с22·х
→ min
34
22
+
Запасы угля, имеемые в портах отгрузки, и потребности в портах
назначения определят составление уравнений ограничений, накладываемые на целевую функцию:
х11+ х12+ х13+ х
14
= а
– ограничения по запасу во Владивостоке;
1
76
х21+ х22+ х23+ х
х31+ х32+ х33+ х
х11+ х21+ х
31
= b
х12+ х22+ х32 = b
х13+ х23+ х
х14+ х24+ х
33
34
= b
= а
24
34
1
2
3
= b
– ограничения по запасу в Ванино;
2
= а
– ограничения по запасу в Находке;
3
– ограничения по потребности в Анадыре;
– ограничения по потребности в Нагаево;
– ограничения по потребности в Охотске;
– ограничения по потребности в Петропавловске-
4
Камчатском.
1) Владивосток 3) Находка 2) Ванино
14
11
1) Анадырь
13
21
24 31
34
32
4) ПетропавловскКамчатский
12
22
2) Нагаево
23
3) Охотск
33
Рис. 4.3. Транспортная схема северного завоза
Кроме того, количество перевозимого груза не может быть отрица-
тельным, поэтому имеются еще дополнительные ограничения:
х
≥ 0, х12 ≥ 0, х13 ≥ 0, х14 ≥ 0, х21 ≥ 0, х22 ≥ 0, х23 ≥ 0, х24 ≥ 0, х31 ≥ 0,
11
х
≥ 0, х33 ≥ 0, х34 ≥ 0.
32
Решение полученной линейной системы уравнений дает значение
переменных, оптимизирующих целевую функцию.
Целевая функция в кодах прикладного пакета MathCad имеет вид
f(x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24,x31,x32,x33,x34):= 50·х11 + 20·х12 +
+ 30·х13 + 40·х14 +15·х21+15·х22 + 25·х23 + 35·х24 + 40·х31+10·х32 +
+ 20·х33 + 30·х34.
Значения оптимизирующих переменных вычисляются решением системы уравнений ограничений. Для решения использованы данные величин запасов, потребностей и стоимости перевозки 1 т угля на маршрутах
(см. табл. 4.6) и расчетный блок Given / Minimize.
77
х11:= 1, х12:= 1, х13:= 1, х14:= 1, х21:= 1, х22:= 1, х23:= 1, х24:= 1,
х31:= 1, х32:= 1, х33:= 1, х34:= 1.
Given
х11 + х12 + х13 + х14 = 20 · 10
х21 + х22 + х23 + х24 = 15 · 10
х31 + х32 + х33 + х34 = 30 · 10
х11 + х21 + х31 = 12 · 10
х12 + х22 + х32 = 20 · 10
х13 + х23 + х33 = 15 · 10
х14 + х24 + х34 = 18 · 10
3
,
3
,
3
,
3
.
3
,
3
,
3
,
Дополнительные ограничения, связанные с тем, что количество груза, перевозимого по каждой из транспортных линий, не может быть отрицательным:
х11 ≥ 0, х12 ≥ 0, х13 ≥ 0, х14 ≥ 0, х21 ≥ 0, х22 ≥ 0, х23 ≥ 0, х24 ≥ 0, х31 ≥ 0,
х32 ≥ 0, х33 ≥ 0, х34 ≥ 0.
R := Minimize(f,x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24,x31,x32,x33,x34)
R =
0
0 0
1 1,7 · 10
2 3 · 10
4
3
3 0
4 1,2 · 10
5 3 · 10
4
3
6 0
7 0
8 0
9 0
10 1,2 · 10
11 1,8 · 10
f(R0,R1,R2,R3,R4,R5, R6,R7,R8,R9,R10,R11) = 1,795·10
4
4
6
р.
Минимум затрат на перевозку угля обеспечивает объем перевозок по
линии Владивосток – Нагаево 17 тыс. т, Владивосток – Охотск 3 тыс. т,
Ванино – Анадырь 12 тыс. т, Ванино – Нагаево 3 тыс. т, Находка – Охотск
12 тыс. т, Находка – Петропавловск-Камчатский 18 тыс. т. На остальных
линиях перевозок нет. При этом общая стоимость перевозки угля в северном завозе составит 1795 тыс. р.
78
Решение транспортных задач методом линейного программирования
может применяться при перспективном, оперативном планировании, а
также при планировании перевозок по заключенным договорам [3]. Как
уже отмечалось, в зависимости от смысла целевой функции ее необходимо
устремить к минимуму или максимуму [2]. Особый интерес представляет
целевая функция, описывающая затраты на перевозку R при R = Z(X). Понятно, что этот показатель эффективности исследуемого процесса следует
минимизировать исходя из его смысла. После решения системы уравнений
ограничений на целевую функцию будут определены объемы перевозок х
ij
по каждому ij-му маршруту, дающие общие по всем маршрутам минимальные затраты R
на перевозку.
min
Однако практическое применение полученных вычисленных оптимизирующих значений вектора переменных X будет затруднено, если количество транспортных средств s будет не равно количеству маршрутов: s ≠ i · j.
В этом случае транспортным средствам, например, судам, придется,
закончив грузовую работу на маршруте i-j, не возвращаться из порта В
в
j
порт Аi, а идти в порт Аk, переходя на маршрут перевозки j-k, или, закончив
перевозку на порт Вj, идти в порт Вl, переходя на маршрут i-l. Протяженность же маршрутов i-j и k-l в общем случае будет различаться между собой: i-j ≠ k-l. Тем самым линейная модель перевозки будет деформироваться. Задача линейного программирования нуждается во втором уровне оптимизации для уточнения оптимального значения целевой функции.
Оптимизация второго уровня может быть проведена на основе использования линейного графика. Он дает возможность, расставляя грузовые суда по маршрутам, организовать их движение, в том числе переход с
маршрута на маршрут. На горизонтальной оси графика (рис. 4.4) представлено время работы грузовых судов на каждом маршруте, а на вертикальной оси – сами суда с указанием объема выполняемой ими работы.
Время работы судна на ij-м маршруте определяется его протяженностью lij, эксплуатационной скоростью судна vэк и количеством рейсов р,
которое вычисляется по объему перевозимого груза хij и грузоподъемности
грузового судна P
.
s
Из рис. 4.4 видно, что каждое судно, закончив свою работу на маршруте ij, начинает перевозку на маршруте kl, т.е. закончив свою работу на
одном маршруте, оно подключается к работе на другом маршруте.
Если, например, в качестве показателя эффективности в линейной
модели перевозки выбраны и определены затраты
Z(X) = R(X) =
)1(
Z , то на
втором уровне оптимизации в значение целевой функции
)1(
Z необходимо
внести поправку. Она образуется на каждом переходе судов с маршрута на
маршрут и зависит от разницы их протяженностей. На каждом переходе
s-го судна на новый маршрут перевозки получаются дополнительные за-
79
траты или экономия ±Δ
Z
s
s
R
мизации по линейной модели процесса, т.к. все
R
относительно результата первоначальной опти-
s
ij-е маршруты в общем
случае будут отличаться своей протяженностью.
Переход грузового судна
на новый маршрут
…
грузовые
суда
s
Маршрут kl
…
…
сутки
…
2
1
0
Маршрут ij
10 20 … t – 10 t
Рис. 4.4. Линейный график работы грузовых судов на маршрутах
Дополнительные затраты (или экономия) ΔRs рассчитывается по
предварительно определенному суточному нормативу затрат
R
времени судна: ±Δ
= N·[±( lij – lkl )]/vэк.
s
N ходового
Установив последовательность перехода судов на следующие марш-
руты в соответствии с линейным графиком, можно для второго уровня оп-
(2)
тимизации рассчитать действительную величину затрат на перевозку
R
Оптимальное значение величины целевой функции на втором уровне оптимизации транспортной задачи линейного программирования составит
S
(2)
R
=
)2(
Z =
opt
(1)
opt
+
,
1
где S – количество судов, совершивших переход с одного маршрута на
другой и деформировавших расчетную линейную модель процесса перевозки.
Двухуровневая оптимизация транспортной задачи линейного программирования дает уточненный результат показателя эффективности, а
линейный график, использованный на втором уровне оптимизации, делает
результаты расчетов пригодными для реального управления процессом
морских перевозок.
.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]