Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
0
30
50
(600) = max
1
(700) = max
1
90
110
170
180
0
30
50
90
110
170
180
210
= 180,
= 210,
0
Х = 600;
1
0
Х = 700.
1
Результаты вычислений первого шага и полученные соответствующие условно оптимальные решения сводим в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Результат вычислений первого шага
Объем капиталовло-
жений
Х, выделяемых
первому предприятию,
тыс. р.
Максимальный
Х
прирост ()
вы-
i
пуска продукции,
тыс. р.
Условно оптимальный
объем капиталовложений
0
Х , выделяемых первому
1
предприятию, тыс. р.
0 0 0
100 30 100
200 50 200
300 90 300
400 110 400
500 170 500
600 180 600
700 210 700
Используя данные табл. 5.1 и 5.2, определим условно оптимальные
объемы капиталовложений, выделяемых второму предприятию. Теперь
можно найти
101
()X =
2
max ( ) ( )
XX
0
fX X X
2
22 1 2
для каждого из допустимых значений Х, равных 0, 100, 200, 300, 400, 500,
600 и 700:
(0) = 0,
(100) = max
2
(200) = max
2
(300) = max
2
(400) = max
2
(500) = max
2
2
300
050
500
3050
080
900
5050
= 110,
3080
090
100
9050
5080
3090
0150
1700
11050
9080
5090
30150
0190
0
Х = 0;
2
= 50,
= 80,
= 150,
= 190,
0
Х = 100;
2
0
Х = 100 ;
2
0
Х = 200;
2
0
Х = 400;
2
0
Х = 500;
2
102
1800
(600) = max
2
(700) = max
2
17050
11080
= 220,
9090
50150
0
Х = 100;
2
30190
0210
2100
18050
17080
11090
= 250,
90150
50190
0
Х = 200.
2
30210
0220
Полученные результаты и найденные оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых 2-му предприятию, записываем в табл. 5.3.
Объем капиталовложе-
ний
Х, выделяемых двум
предприятиям,
тыс. р.
0 0 0
100 50 100
200 80 100
300 110 200
400 150 400
500 190 500
600 220 100
700 250 200
Переходим к нахождению значений
Результат вычислений второго шага
Максимальный при-
()
Х
рост
i
выпуска
продукции, тыс. р.
Условно оптимальный
объем капиталовложе-
ний
второму предприятию,
Таблица 5.3.
0
Х , выделяемых
1
тыс. р.
103
(Х) =
f
3
max ( ) ( )
XX
0
3
XXX
33 2 3
,
используя для этого соответствующие данные табл. 5.2 и 5.3. Поскольку в
данном случае число предприятий равно 3, то проводим вычисление только для одного значения Х = 700:
2500
(Х) = max
3
22040
18050
150110
= 270,
110120
80180
0
Х = 600.
3
50220
0240
Следовательно, максимальный прирост выпуска продукции составляет 270 млн р. Это имеет место тогда, когда 3-му предприятию выделяется 600 млн р., а 1-му предприятию 50 млн р. Тогда, как видно из табл. 5.3,
и 2-му предприятию следует выделить 50 млн р.
Итак, в результате расчета получен оптимальный план распределения капиталовложений между предприятиями, согласно которому обеспечивается максимальный прирост выпуска продукции.
Методу динамического программирования присущ ряд особенностей, среди которых следует отметить невозможность применения принципа Беллмана для отдельных категорий целевых функций и их ограничений [9]. Кроме этого, во многих случаях определить, что собой представляет понятие «полезность», становится проблематичным. Привлечение к
этому экспертов вносит в решение задачи оптимальности элементы субъективизма, существенно снижая тем самым эффективность и точность метода динамического программирования.
6. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.1. Позиномы и геометрическое неравенство
Термин «геометрическое программирование» применяется для обозначения теории решения широкого класса задач оптимизации, основы которой были опубликованы в 1967 г. Р. Д. Даффином, Э. Л. Питерсоном и
К. Зенер [11]. Геометрическое программирование, или метод геометрического программирования, основывается на использовании свойств неравенств.
104
Довольно часто показатель эффективности исследуемого объекта со-
стоит из суммы n членов. Тогда целевая функция, описывающая критерий
эффективности, Z(X) = g0(X) при X = (x
g
(X) = U1 + U2 +…+ Un, (6.1)
а обозначения g
(X), g2(X), …, g
1
0
(X) оставим для ограничений, накладывае-
i
, x2, …, x
1
) представляет собой
m
мых на целевую функцию. Каждый член выражения (6.1) может быть
представлен как степенная функция
aa
U
=
i
,
i
1211
21
где сi – положительная постоянная величина, с
x
, x2, …, x
1
а
– произвольные вещественные (действительные) числа.
im
– положительные переменные величины, х
m
a
im
xxxc ....
m
> 0; i = 1, 2, …, i;
i
> 0, m = 1, 2, …, m;
m
(6.2)
Положительные полиномы, выпуклые функции вида (6.1), (6.2) для
краткости называют позиномами
i
() ...
gX cxx x
0
i
aa
im
12
1
12
ii
a
im
или
n
()
gX c x
0
i
m
a
im
im
m
1
.
Метод геометрического программирования, называемый также методом позиномов, удобен для отыскания минимального значения целевой
степенной функции. В этом методе усилия направлены на определение
минимального значения функции и относительного вклада каждого из ее
членов в это минимальное значение. Только после этого отыскиваются оптимизирующие значения переменных X = (x
, x2, …, xm).
1
Основой метода геометрического программирования для отыскания
экстремального значения целевой функции служит неравенство О. Л. Коши
(1789–1857) [4]. Согласно этому неравенству, которое называют геометрическим, среднее арифметическое всегда больше среднего геометрического,
кроме случая, когда все числа расчетного ряда равны. Доказательство
справедливости этого неравенства в общем виде довольно объемно, поэтому есть смысл ограничиться доказательством его простейшего вида, когда неравенство состоит из двух величин. Тогда оно имеет вид
UU
12
2
UU
12
или
11
UUUU
12
22
11
22
12
,
(6.3)
где U1 – первое неотрицательное число; U2 – второе неотрицательное число.
Для доказательства (6.2) возьмем очевидную зависимость U1 и U
(U1 – U2)
2
≥ 0 или
2
2 UUUU
1
2
≥ 0.
221
:
2
(6.4)
105
После добавления 4 U
в правую и левую часть неравенства (6.4)
1U2
получаем
2
2 UUUU
1
2
≥ 4U
221
1U2
.
(6.5)
Извлечение квадратного корня из выражения (6.5) дает неравенство
(6.3). Следует отметить, что неравенство (6.3) обращается в равенство при
условии, если U
= U2.
1
Если распространить зависимость (6.3) на четыре неотрицательных
числа, то получим
11 1 1
UU U U ≥
1234
44 4 4
U
1
4
U
1
1
4
U .
3
1
4
4
(6.6)
1
4
U
2
Точно так же, как и при двух числах, выражение (6.6) становится равенством при U
= U2 = U3 = U4.
1
Если же имеет место равенство только части неотрицательных чисел
U
, то левая часть неравенства превращается в средневзвешенную величи-
i
ну. Например, при равенстве U
= U3 =
2
U4
13
UU
12
44
≥
неравенство (6.6) имеет вид
3
1
4
4
U
1
U
.
2
(6.7)
Левая часть неравенства (6.7) представляет собой средневзвешенную
величину чисел U1 и U2 с весами
1
4
3
и
, а правая часть выражения соот-
4
ветствует геометрическому среднему.
Условием применения геометрического программирования как метода оптимизации является представление характеристик объекта исследования в виде обобщенных положительных полиномов, зависящих от переменных параметров. Это обстоятельство дает возможность использовать
геометрическое среднее, а также геометрические понятия: векторы, векторные пространства, ортогональность и нормализация, отсюда и возникло
название метода.
Геометрическое неравенство может быть использовано для нахождения минимальных значений позиномов. Например, если целевая функция
имеет вид g0(х) = 4х +1/х, то применение зависимости (6.1) дает выражение
1
g
(х) ≥
0
2
х
42
1
2
2
= 4.
х
Здесь при положительных значениях х величина 4 является оценкой
функции g0(х), точным нижним ее значением.
Предположим, что исследуемая целевая функция имеет вид
106
6
g
(х) = 2х3 +
0
,
х
тогда применение неравенства (6.5) с взвешенными средними числами
дает выражение
1
3
g
(х) ≥
0
4
х
2
4/1
х
3
4
6
= 8.
4/3
Величина 8 служит оценкой минимального значения функции g(х)
для положительных значений х. Функция принимает значение 8 при х = 1,
g(1) = 8.
Теперь возьмем позином g0(Х) с двумя переменными Х = (х
4хх
х
g0(Х) = 4х1 +
1
2
х
2
2
.
1
, х2):
1
Для того чтобы найти минимальное значение функции g0(Х) используем геометрическое неравенство уже известного вида:
2
1
1
4
1
4
2
4
1
4
4
4
1321
2
UUUUUU ,
3
тогда
1
4
4
g
(Х) ≥
0
1
х
2
1
4
хх
1
2
4/4/1
4
х
Здесь величина 8 является минимальным значением функции g
при положительных значениях компонент вектора переменных Х = (х
которое функция получает при х
= ½, х2 = ½, g0(1/2, 1/2) = 8.
1
2
4
х
2
= 8.
4/2
1
(Х)
0
, х2),
1
6.2. Регулярные позиномы
Среди позиномов m переменных можно выделить такие, наименьшее
значение которых находится сравнительно просто. Предположим, что
n
g0(х) =
i
1
a
i
хс
i
есть позином одной переменной х. Этот позином g0(х) будет называться
регулярным, если сумма произведений его коэффициентов сi на соответствующие показатели ai степени равна нулю, т.е. коэффициенты сi позинома g0(х) удовлетворяют уравнению
107
n
ca
= 0 или c
ii
i
1
+ c2а2 + … + cnаn = 0.
1а1
(6.8)
Позиномы, для которых условие (6.8) не удовлетворяется, называются произвольными. Примером простого регулярного позинома от х будет
служить выражение
g0(х) =
1
x ,
1
xx
x
в котором с
= с2 = 1, а1 = 1, а2 = – 1.
1
Теперь предположим, что выражение
n
aa
12
g0(x1, x2, …, xm) =
cxx x
i
1
ii
im
12
...
a
mi
(6.9)
есть регулярный позином от m переменных. В соответствии с (6.8) это значит, что имеет место система уравнений
ac ac ac
11 1 12 2 1
... 0,
nn
... 0,
ac ac a c
21 1 22 2 2
nn
....
... 0
ac a c ac
11 2 2
mm mnn
при условии, что коэффициенты с
, с2, …, с
1
позинома g
n
, х2, …, х
0(х1
) яв-
m
ляются решением однородной системы линейных уравнений, матрицей которой служит матрица экспонент (показателей степеней) позинома g
…, х
). Это равносильно тому, что позином (6.9) порождает m позиномов
m
0(х1
, х2,
одной переменной (6.8):
n
a
1
() ,
gx cx
11
i
1
...
n
() ,
gx cx
mm im
i
1
которые называются компонентами этого позинома. Позином g
x
) будет регулярным, когда его компоненты регулярны.
m
i
i
1
a
mi
, x2, …,
0(x1
108
Для отыскания минимального значения регулярных позиномов используется теорема о том, что наименьшее значение позинома (6.9) равно
сумме его коэффициентов и достигается при х
min g0(x1, x2, …, xm) = g0(1, 1, ..., 1) =
= х2 = … = х
1
n
с1.
i
= 1, т.е.
m
i
(6.10)
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться в [25]. Следует отметить, теорема не утверждает, что точка Х = (1, 1, …, 1) является
единственной точкой глобального минимума регулярного позинома. Однако регулярный позином одной переменной g0(x) имеет единственный минимум в точке Х = 1.
Примером использования регулярного позинома в решении задач
оптимизации может служить задача организации перевозки навалочного
груза.
Задача 6.2.1. Перевозка навалочного груза.
Исходные данные. Транспортная компания планирует организовать
перевозку навалочного груза в количестве Q, м3, с одного берега реки на
другой. Стоимость одного рейса плашкоута в оба конца независимо от величины груза, перевозимого этим рейсом, составляет с1, р. Предполагается
установить на палубу плашкоута открытый прямоугольный контейнер для
груза. Стоимость изготовления 1 м2 дна контейнера равна с2, тыс. р., а 1 м
2
боковых стенок – с3, тыс. р.
Требуется минимизировать суммарные затраты на перевозку нава-
лочного груза, считая, что они складываются из стоимости рейсов плашкоута и стоимости изготовления контейнера.
Решение. По существу, нужно найти оптимальные размеры контейнера и количество рейсов, соответствующие этому условию. Количество
рейсов плашкоута будет зависеть от количества груза и размеров контейнера, поэтому оптимизируемые характеристики могут касаться только его
размеров. Целевая функция, представляющая собой стоимость рейсов и
контейнера, будет иметь вид
сQ
1
+ с2 · х1 · х2 +2с3 · х1 · х3 + 2с3 · х2 · х3,
xxx
321
0(x1
, x2, x
) представляет собой четы-
3
где х
, х2, х
1
– размеры сторон контейнера, м.
3
,, xxxg =
3210
Отсюда видно, что функция g
рехчленный позином. Задача состоит в том, чтобы найти оптимизирующие
значения х
, х
и х3, которые бы минимизировали этот позином.
1
2
Поскольку этот позином регулярный, то его наименьшее значение
при х
= х2 = х
1
= 1 равно сумме коэффициентов. Получается, что наиболее
3
109
выгодный размер ящика составляет 1×1×1 м. Затраты на изготовление контейнера составят с
общие затраты будут Q · с
+ 4с
2
, р., затраты на все рейсы плашкоута – Q · с1, р., а
3
+ с2 + 4с
1
, тыс. р.
3
Таким образом, чтобы найти наименьшее значение целевой функции в
виде регулярного позинома, достаточно просто сложить его коэффициенты.
Решение этой задачи оптимизации при условии, что целевая функция
g
(х) является нерегулярным позиномом, т.е. удовлетворяет условию c
0
+ c2а2 + … + cnа
≠ 0, рассмотрено ниже.
n
1а1
+
6.3. Минимизация произвольных позиномов
Целевые функции, описываемые регулярными позиномами, встречаются относительно редко, по большей части в математических моделях
используются произвольные позиномы. Задача отыскания минимальных
значений произвольных позиномов относится к общим методам решения
задач оптимизации, она более сложна, чем минимизация регулярных позиномов.
Для нахождения оптимизирующего (минимизирующего) значения
переменных произвольного позинома g
, x2, …, x
0(x1
) необходимо отыскать
m
положительное значение некой системы алгебраических уравнений, которая связана с позиномом g0. При этом если эта система уравнений не имеет
положительных решений, то позином g
, x2, …, x
0(x1
) не достигает своего
m
наименьшего значения в области хm > 0, хотя его значения ограничены
снизу нулем. Таким образом, отыскание минимума произвольного позинома сводится к нахождению положительного решения некой системы алгебраических уравнений, связанных с исследуемым позиномом.
Решение задач оптимизации с целевыми функциями в виде произвольных позиномов основывается на идее регуляризации. Суть ее заключается в том, что если позином нерегулярный, то можно построить некий
регулярный позином, имеющий такой же минимум, если он вообще достигается, а затем воспользоваться теоремой (6.10).
Будем считать, что выражение
m
a
m
mn
xc
mi
1
(6.11)
1
=
n
i
n
g0(x1, x2, …, xm) =
i
i
1
a
a
1
21
a
2
ii
mi
xxxc
...
m
является произвольным позиномом. Рассмотрим систему алгебраических
уравнений, в которой для составления очередного i-го уравнения надо
каждый член позинома g
, x2, …, x
0(x1
) умножить на показатель степени
m
при переменной хm в этом члене, результаты сложить, а полученную сумму
приравнять к нулю. Система уравнений имеет вид
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]