Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
Суть метода заключается в том, что уравнение целевой функции Z(X)
fXx
fXx
при Х = (х
ничений )( Xg
, х2, …, х
1
при i < m в одну функцию, которая называется функцией
i
) объединяется через множители с уравнениями огра-
m
Лагранжа и имеет вид
F(Х,
, 1 , …, i ) =
0
f0(Х) +
0
f1(Х) + … +
1
fi(Х),
i
(3.6)
где i – множители Лагранжа. Множители Лагранжа существенны с точностью до const, один из них можно положить равным единице. Обычно
для практического применения полагают
равным 1 или 0.
0
Для построения функции Лагранжа необходимо к целевой функции
Z(X) ≡ f0(х) прибавить сумму произведений множителей Лагранжа
уравнения ограничений )(Xg
≡ fi(х). Ограничения )(Xg
i
, накладываемые
i
i
на
на целевую функцию, могут быть представлены в виде равенств и (или) в
виде неравенств.
Этот метод отыскания оптимизирующих значений вектора переменных Х = (х
называется правилом множителей. А именно, если Х
х
) есть решение задачи по отысканию экстремума непрерывной и диф-
m opt
ференцируемой функции Z(X) при ограничениях )( Xg
, х2, …, х
1
), Х Rn основывается на утверждении, которое
m
= (х
opt
, то существует
i
1opt
, х
2opt
, …,
хотя бы одна ненулевая система множителей Лагранжа
Λ
( , , ..., )
такая, что точка Х
opt
01
opt opt iopt
opt
, Λ
является точкой стаци-
opt
онарности функции Лагранжа по переменным хm и
, рассматриваемым
i
как независимые переменные. Необходимые условия стационарности
функции Лагранжа приводят к системе (m + i) уравнений. В стационарной
точке производная функции (3.6) обращается в нуль:
i
i
0
()
i
i
= 0,
1
…
i
i
0
()
i
i
= 0.
m
При построении уравнения Лагранжа происходит своеобразная модификация целевой функции. Множители
при
i
1
рассматриваются
0
как мнимые переменные, что позволяет вычислять частные производные
по переменным вектора Х = (х
Λ
(, ,..., )
и переменным u
12
i
, х2, ..., х
1
2
, которые используются при ограниче-
i
), переменным вектора
m
ниях в виде неравенств. Система уравнений, дающая алгебраическое решение оптимизационной задачи, формируется из вычисленных частных
51
производных, приравненных к нулю. Таким образом, количество уравне-
ний (m + i) равно количеству переменных (m + i +u), что позволяет найти
решение.
Оптимизация при ограничениях в виде равенств. Предположим,
что целевая функция вектора m-переменных Х = (х
, х2, …, х
1
), описываю-
m
щая определенный выбранный критерий эффективности исследуемого
объекта, задана как f(Х) ≡ Z(Х). На нее наложены ограничения в виде системы равенств
gί (Х) = bi,
где ί = 1, 2, …, I, здесь I – количество заданных ограничений.
Применение метода Лагранжа позволяет объединить целевую функцию и уравнения ограничений в одно уравнение (функции Лагранжа) с
учетом влияния на нее каждого ограничения. Такое объединение дает возможность вычислить значения вектора оптимизирующих переменных и
решить задачу оптимизации значения целевой функции. Влияние ограничений на целевую функцию учитывается множителями Лагранжа, соответственно, функция Лагранжа имеет вид
I
F(X, Λ) = Z(X) +
i
·[gί (Х) – bi],
i
1
(3.7)
где λί – множитель Лагранжа, i =1, 2, …, здесь i – количество ограничений
функции Z(X); Λ – вектор этих i множителей, или i-мерный вектор, Λ = (λ
λ2, …, λ
ί
).
,
1
Множители Лагранжа в (3.7) представляют собой переменные величины, которые участвуют в решении вместе с переменными вектора
Х = (х1, х2, …, х
). Далее для определения оптимизирующих переменных х
m
m
последовательно вычисляются частные производные функции Лагранжа
по всем переменным хm и λί. Затем полученные выражения приравниваются к нулю, таким образом с использованием множителей Лагранжа формируется система из (М + I) уравнений:
F
x
m
...
F
i
0,
или
0,
Z
xx
mm
...
i
i
1
i
i
1
g
i
i
i
g
i
i
0.
0,
(3.8)
Алгебраическое решение системы уравнений (3.8) дает значения
всех переменных хm и λί. Поскольку в полученной системе уравнений (3.8)
множители Лагранжа, являясь фиктивными переменными, не несут на себе
52
практического смысла, после ее решения во внимание принимают только
х
оптимизирующие значения переменных вектора Х. Рассмотрим несколько
таких задач.
Задача 3.4.1. Организация механизированного склада.
Исходные данные. Транспортная компания планирует организовать
открытый склад из двух расположенных рядом площадок для размещения
М = 1500 шт. грузовых единиц. Исходя из характера груза одна площадка
должна быть квадратной в плане, а вторая – прямоугольной.
Укрупненные грузовые единицы на поддонах, которые планируется
размещать на складе, имеют размеры в плане a × b = 1,6 × 1,8 м. Для работы погрузчиков на каждой площадке склада должно быть предусмотрено
столько проездов шириной с = 2,4 м, чтобы полностью механизировать работу на складе, т.е. чтобы погрузчик мог подойти к каждому грузовому
месту.
Требуется определить размеры склада, обеспечивающие минимальную занимаемую им площадь.
Решение. Целевая функция будет представлять собой площадь склада. Чтобы погрузчики могли подходить к каждому месту хранения, количество проездов и количество рядов грузовых единиц должно находиться в
соотношении 1:2. Длина одной стороны первой площадки склада составит
с
ха
1
стороны
, а второй стороны – х
2
сх
ах , второй стороны – х
1
2
b. У второй площадки длина одной
1
b.
2
Соответственно, площадь склада будет иметь вид (рис. 3.5)
сх
ах
Z(x1, x2) =
1
1
2
· х1b +
ах
1
сх
1
· х
b → min,
2
2
где х1 – количество грузовых единиц, уложенных вдоль одной стороны
площадки открытого склада; х2 – количество грузовых единиц, уложенных
вдоль другой стороны площадки открытого склада.
На целевую функцию накладываются ограничения, определяемые
общим количеством грузовых единиц, которое планируется разместить на
обеих площадках склада:
2
(
1
ххх ) = М,
21
где х1 – количество грузовых единиц, уложенных вдоль одной из сторон
склада; х2 – количество грузовых единиц, уложенных вдоль второй стороны склада; М – количество грузовых единиц на складе.
53
Функция Лагранжа примет вид
х
F(X, λ) =
ах
1
1
2
с
ха
1
Проезд
1
2
сх
· х
b +
1
ах
1
сх
· х
b + λ(
2
2
1
2
1
ххх – М).
21
с
с
х
х
·b
1
2
·b
Один ряд грузовых
единиц
Рис. 3.5. Схема склада из двух грузовых площадок
Вычисление экстремума целевой функции с учетом уравнения ограничений представлено на листинге прикладного пакета MathCad.
а:= 1,0 b:= 1,4 с:= 2,4 М:= 1500
Вычисление частных производных функции Лагранжа
d
F(х1,х2, )
→ 6,160·х1 + 3,080·х2 + λ·(2·х1 + х1·х2 – 1500);
dx1
d
F(х1,х2, )
→ 3,080·х1 + λ·х1;
dx2
d
F(х1,х2, )
d
→ х12 + х1·х2.
Составление уравнений и вычисление оптимизирующих значений
переменных произведено с использованием вычислительного блока
Given/Find.
Given
x1:= 1 x2:= 1 λ:= 1
6,160·х1 + 3,080·х2 + λ·(2·х1 + х1·х2 – 1500) = 0
3,080·х1 + λ·х1 = 0
х12 + х1·х2 = 0
54
21, 226
Find(x1, x2, λ) =
49,442
3, 08
.
Размеры площадок склада для грузовых единиц, имеющих размеры
а × b = 1,6 × 1,8 м, составят по короткой стороне приблизительно 34 м, а по
длинной стороне – 128,2 м.
Задача 3.4.2. Хранение навалочного груза.
Исходные данные. Грузоотправитель планирует временное хранение
навалочного груза Q = 9500 т на причале в штабеле. Плотность груза
q = 5,6 т/м
3
, угол естественного откоса 45°. Длина штабеля x1 должна быть
в k = 5 раз больше его ширины x2. Плата за хранение груза на причале
определяется двумя нормативами: первый – за одну тонну с1 = 3,7 р./т·сут.,
второй – за 1 м2 площади, занимаемой штабелем, с2 = 2,3 р./ м2·сут.
Требуется определить длину x
и ширину x2 штабеля так, чтобы
1
оплата за временное хранение была минимальной.
Решение. Целевая функция представляет собой стоимость оплаты за
временное хранение навалочного груза в штабеле с углом естественного
откоса 45°. При использовании формулы объема пирамиды для описания
массы штабеля целевая функция имеет вид
2
2
Z(x
, x2) = с1·q·
1
3
xxx
21
62
xxc
212
→ min.
Первое уравнение ограничений описывает объем навалочного груза,
который занимает его масса, равная Q, а второе – соотношение между длиной и шириной штабеля груза:
2
2
3
xxx
21
62
Q
=
, k
q
х
1
.
х
2
Функция Лагранжа имеет вид
F(X, Λ) = с
23
xx x
21 2
·q·
1
26
cxx
212
+ λ
·
1
23
xx x
21 2
qQ
26
+
x
1
2
k
x
2
.
Вычисление экстремума целевой функции представлено по листингу
прикладного пакета MathCad. Вычисление производных по переменным
х1, х2, λ1, λ2:
Q:= 9500 q:= 5,6 k:= 5 с
:= 3,7 с2:= 2,3
1
55
d
х
х
х
F(x1,x2, 1, 2)
10,3х2
dx1
d
F(Х,)
20,72х1х2 – 10,36х2
dx2
d
F(x1,x2, 1, 2)
d1
d
F(x1,x2, 1, 2)
d2
Составление системы уравнений и ее решение вычислительным блоком Given/ Find:
Given x1:= 1 x2:= 1 λ1:= 1 λ2:= 1
2
+ 2,30х2 + 2,80λ1х2
2
+ 2,30х1 + λ1(5,6х1х2 – 2,8х2) – λ2
2,80х22х1 – 0,93х2
х
1
– 5.
2
х
2
– 9500
2
2
+
х2
1
х
2
2
10,3х22 + 2,30х2 + 2,80λ1х2
2
+
2
= 0
2
1
20,72х1х2 – 10,36х22 + 2,30х1 + λ1(5,6х1х2 – 2,8х2) – λ2
2,80х22х1 – 0,93х2
х1
– 5 = 0
2
– 9500 = 0
х
2
= 0
2
х2
44,96
8,99
Find (x1,x2, λ1, λ2) →
3, 76
53,13
.
Длина и ширина штабеля, оптимизирующие арендную плату за использование площадки на причале, составляют с учетом округления размеров до практического использования x1 = 44,96 ≈ 45,0 м, x2 = 8,99 ≈ 9,0 м.
Задача 3.4.3. Планирование перевозки.
Исходные данные. Судоходная компания получила заказ на перевоз-
ку Q = 48,9 тыс. т однородного наливного груза и планирует его перевозку
зафрахтованными танкерами типа А и типа В грузоподъемностью р1 = 7000 т,
и р
= 3500 т. Стоимость перевозки одной тонны груза на них составляет
2
а
= 20 р./т, и а2 = 25 р./т соответственно. Судно типа В, имея более высо-
1
кую скорость и более короткое сталийное время, может совершить на
n = 110 % больше рейсов, чем судно типа А.
Требуется разработать план перевозки груза, определив количество
рейсов каждого судна так, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Вычислить стоимость этой перевозки.
56
Решение. Целевая функция будет представлять собой стоимость пе-
n
0
ревозки наливного груза зафрахтованными судами типа А и В:
Z(x
, x2) = а1 · р1 · x1 + а2 · р2 · x
1
→ min,
2
где х1 – количество рейсов, совершенных судном типа А; х2 – количество
рейсов, совершенных судном типа В.
Первое уравнение ограничений будет описывать распределение количества перевозимого груза между судами обоих типов:
р
· x1 + р2 · x2 = Q.
1
Второе уравнение описывает способность судна типа В совершить на
n больше рейсов, чем судно типа А за счет более высокой скорости хода и
более короткого сталийного времени:
x
2
n
.
x
1
Функция Лагранжа будет иметь вид
F(X, Λ) = а
· р1 · x1 + а2 · р2 · x
1
+ λ
2
·(р1 · x1 + р2 · x
1
Вычисление частных производных по векторам X(x
– Q) + λ
2
х
·
2
х
, x
), Λ(λ1, λ2) от
1
2
2
n
.
1
функции Лагранжа, составление и решение системы уравнений дальше
представлено в структуре прикладного пакета
MathCad.
Q:= 48,9·103 p1:= 7000 p2:= 3500 a1:= 20 a2:= 25 n:=1,1
2
x1
x2
2
x1
d
Fx1x212
d
x1
d
Fx1x212
x2
d
d
d
Fx1x212
1
140000 7000 12
87500 3500 1
7000 x1 3500 x2 48900
dx1
F(x 1, x 2, 1, 2 ) 1,1
dl x 2
Give
x1:= 1 x2:= 1 λ1:= 1 λ2:= 1
x2
140000 7000 12
2
x1
57
2
0
Z
87500 3500 1
x1
7000 ·х1 + 3500 ·х2 – 48900,0 = 0
х2
1,1 0
х1
4,5069124423963133641
4,9576036866359447005
Find x1, x 2, 1, 2
21, 774193548387096774
50884,495317377731530
Расчет показал дробное количество рейсов. Но по своему смыслу
этот показатель не может быть дробным числом, поэтому для планирования полученные величины следует округлить. Самый простой, лежащий на
поверхности вариант – округлить обе величины в большую сторону. Но
это не лучшее решение.
Учитывая величину неиспользованной грузоподъемности в пятом
рейсе у судна типа
на типа
В следует принять, что для перевозки объема груза, определенного
заказом, судно типа
А и количество остающегося груза в пятом рейсе у суд-
А должно будет совершить 5 рейсов, судно типа В со-
вершит 4 рейса. Тогда
х
= 5 х
1
= 4, а1·р1·х1 + а2·р2·х2 = 1,05 · 10
2
6
.
Общие затраты на перевозку при этом плане составят 1050 тыс. р.
Оптимизация при ограничениях в виде неравенств. Имеется це-
левая функция Z = Z(X) вектора переменных Х = (х
, х2, …, хm), m = 1, 2, ...,
1
m. Ограничения, накладываемые на целевую функцию, заданы в виде не-
равенств gi(X) ≤ bi, где i = 1, 2, …, i, здесь i – количество этих ограничений.
Для учета в математической модели ограничений в виде неравенств,
накладываемых на оптимизируемую целевую функцию, их следует предварительно привести к каноническому виду, т.е. к виду g
(X) < b
i
, затем после-
i
довательно преобразовать имеемые неравенства в равенства добавлением к
каждому из неравенств своей неотрицательной переменной величины u
g
(X) ≤ b
i
, g
i
(X) + u
i
2
= b
i
или g
i
(X) + u
i
2
i
– b
= 0.
i
2
:
i
Теперь функция Лагранжа будет выглядеть следующим образом:
I
F(X, Λ, U) =
XgXub
ii ii
1
i
2
,
(3.9)
58
где U – вектор неотрицательных переменных, U = (u
Λ – вектор множителей Лагранжа, Λ = (λ1, λ2, …, λ
, u2, …ui), i = 1, 2,…, i;
1
), i = 1, 2,…, i.
i
Полученное выражение (3.9) решается уже известным способом. По
функции Лагранжа необходимо вычислить частные производные по переменным Х = (х
по положительным переменным U = (u
, х2, …, х
1
), переменным Лагранжа Λ = (λ1, λ2, …, λi), а также
m
, u2, …, ui).
1
Затем каждая полученная частная производная приравнивается к нулю. Так формируется система из (m + 2i) уравнений, решение которой дает
оптимизирующие значения переменных величин Х
, определяющих оп-
opt
тимальное значение целевой функции:
I
gFZ
xx x
mm m
i
1
i
i
0,
...
F
gX u b
iii
i
2
0,
(3.10)
...
F
2.
u
u
i
ii
В сформированной системе (3.10) количество уравнений равно количеству неизвестных, что позволяет вычислить значения всех переменных,
m – реальных, используемых для принятия оптимального решения, наилучшего достижения поставленной цели, и 2i – фиктивных, получив, таким образом, аналитическое решение задачи, значения оптимизирующих переменных величин. Затем по ним можно вычислить оптимальное значение целевой функции Z(Х). Рассмотрим несколько примеров задач этого типа.
Задача 3.4.4. Сооружение грузового терминала.
Исходные данные. Стивидорская компания планирует построить
терминал наливного груза из n = 10 емкостей цилиндрической формы с
объемом хранения Q = 90 тыс. м3 груза. Для размещения терминала местные власти могут отвести ℓ = 650 м береговой черты. Крыши емкостей конические, длина k образующей конуса крыши составляет 0,65d.
Норматив стоимости сооружения днища, крыши, стенок одной емкости, включая фундаменты, обваловку, проезды, коммуникации и прочее,
составляет с1 = 500 тыс. р./м
2
, с
= 420 тыс. р./м
2
2
, c
= 380 тыс. р./м2 соот-
3
ветственно. Вокруг каждой емкости должна быть обваловка шириной
0,25 диаметра емкости для предотвращения разлива груза и загрязнения
территории. Кроме того, между емкостями должны быть предусмотрены
пожарные проезды шириной р = 4 м.
59
Требуется вычислить диаметр емкостей, их высоту, которые обеспе-
чивают минимальную стоимость строительства, а также вычислить стоимость постройки грузового терминала.
Решение. Для разработки целевой функции, описывающей стоимость
строительства, и уравнений ограничений целесообразно начертить схему
сооружаемого терминала (рис. 3.6). Целевая функция имеет вид
2
ddk
42
Z(d, h) = n ·
ccdhc
12 3
или, учитывая k = 0,65d,
22
dd
0,65
→ min.
42
Z(d, h) = n ·
ccdhc
12 3
Уравнения ограничений описывают распределение объема наливного груза по емкостям в предположении, что емкости залиты полностью и
описание габаритов оборудования терминала, размещенного вдоль береговой черты, длина которой отведена властями для строительства терминала
2
n ·
dh
= Q, n · (1 + 2 · 0,25)d + (n – 1) · p ≤ ℓ.
4
h
Рис. 3.6. Схема терминала наливного груза
Неравенство следует перевести в равенство добавлением неотрицательной переменной u
n · (1 + 2 · 0,25)d + (n + 1) · p + u2 = ℓ.
Уравнение Лагранжа имеет вид
F(d, h, Λ, u) = n ·
+
1
2
nd h
4
р
ℓ
2
:
0,65
ccdhc
123
Q
+
2
22
dd
24
1, 5 ( 1)ndnpul
…
Ø d
2
+
.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]