Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
«обобщенный» показатель, по которому и будет отыскиваться оптималь-
ное решение. А если такому «обобщенному» показателю придать вид дроби, то в числителе должны стоять все показатели, которые желательно
максимизировать, а в знаменателе – те, увеличение которых нежелательно.
Однако такой способ объединения нескольких показателей в один «обобщенный» будет страдать серьезными недостатками. Действительно, способ
основан на неявном допущении того, что недостаток в одном показателе
всегда может быть скомпенсирован за счет другого, но это обычно не соответствует реальному положению дела.
Более того, простое использование показателя в виде дроби, где в
числителе – все «за улучшение», а в знаменателе – все «за ухудшение»,
может привести и нередко приводит к парадоксальным выводам. Это хорошо иллюстрирует предложенный в свое время Л. Н. Толстым [6] «критерий оценки человека». Он имеет вид дроби, в числителе которой стоят
действительные достоинства человека, а в знаменателе – его мнение о
себе. Казалось бы, такой подход может показаться вполне логичным. Воспользовавшись исследовательским приемом применения крайностей,
представим себе человека, имеющего ничтожные достоинства и совершенно не обладающего самомнением. В соответствии с предложенным
критерием этот человек должен иметь бесконечно большую ценность. Однако согласиться с таким выводом никак нельзя.
Сложность и сравнительно малая изученность многокритериальных
задач как раздела теории оптимизации предопределяют, что известными
методами можно получить только лишь приближенные решения. Для этих
задач характерна неоднозначность или неопределенность, которые в соответствии с теорией принятия компромиссных решений всегда рассматриваются как области с размытыми или плавающими границами [7]. Оптимальное решение выбирается в пределах такой области на основе сущности, направленности исследуемого объекта и экспертных оценок множества частных критериев Zn(Х) его эффективности. Необходимо отметить,
что могут быть случаи, когда в результате анализа частных показателей
становится сразу ясно, какой из них следует выбирать в качестве основного. Однако такие случаи редки.
Несмотря на скромные возможности математического аппарата для
решения сложных многокритериальных задач оптимизации, нужно иметь в
виду, что его применение все же оправдано, т.к. он, во-первых, позволяет
для любых значений вектора переменных Х найти значения частных целевых функций Z
(Х), Z2(Х), …, Z
1
(Х), а это дает возможность сравнения,
n
анализа полученных результатов расчета и принятия компромиссного решения, находящегося в области оптимального или близкого к нему решения; во-вторых, математический аппарат помогает из множества возможных и допустимых решений исключить решения, заведомо уступающие
151
другим по всем критериям. В этой связи, использование математического
аппарата для решения многокритериальных задач оптимизации предполагает всегда сохранять критическое отношение к результатам расчета и тем
математическим зависимостям, которые использовались для их получения.
Впрочем, такого же принципа полезно придерживаться и при решении однокритериальных задач оптимизации.
9.2. Формальные и эвристические методы решения
Поскольку многокритериальная задача оптимизации всегда обладает
некоторой неопределенностью, для ее раскрытия необходимы дополнительные условия, которые бы формально выражали представление о многокритериальном оптимуме или, говоря иначе, о мере компромисса между
элементами исследуемой системы. В этом понимании методы решения
многокритериальных задач можно классифицировать на основе количественной меры компромисса между элементами исследуемого объекта. В
зависимости от степени формализации процедуры раскрытия неопределенности исследуемого объекта методы подразделяются на две группы:
1) формальные, методы формализованы в большей степени;
2) эвристические, методы формализованы в меньшей степени.
Как видно, это несколько условная классификация, т.к. абсолютно
формальных методов решения многокритериальных задач пока не существует. В общем случае методы решения задач обеих классификационных
групп основываются на сведении множества критериев эффективности
Z
(Х) исследуемого объекта к некому глобальному и универсальному кри-
n
терию G(Х). С этой целью в формальных методах решения используются
различного вида свертки, а в эвристических методах – одноуровневая и
многоуровневая оптимизация.
Одноуровневая оптимизация имеет место тогда, когда оптимизация
характеристик исследуемого объекта проводится сразу по нескольким критериям Zn(Х), где n = 2, …, n – количество критериев, а Х = (х
вектор оптимизирующих переменных. При этом Z
(Х){D}, a {D} Rn,
n
, х2, …, хm) –
1
где {D} – область допустимых решений, а Rn – n-мерное пространство действительных величин. Полученные оптимальные значения критериев Z
(Х)
n
по своему характеру могут быть глобальными, наиболее полно отражающими цель, которая ставится перед исследуемым объектом, или локальными, значения которых характеризуют только отдельные стороны и свойства исследуемого объекта.
Многоуровневая оптимизация используется тогда, когда объект ис-
следования (1-й уровень) рассматривается как многоуровневая система,
состоящая из подсистем (2-й уровень), которые в свою очередь также состоят из своих подсистем (3-й уровень) и т.д. Критерии оптимизации 1-го
152
уровня ZI(Х) являются, как правило, глобальными, а критерии 2-го уровня
II
Z
(Х) и более низких уровней обычно относятся к локальным критериям.
Однако такая четкая структуризация не всегда возможна, т.к. распределение критериев эффективности по уровням представляет собой проблему,
не имеющую однозначного решения. Распределение во многом будет зависеть от мнения консультантов и экспертов, а также самих исследователей,
поэтому будет неизбежно носить определенный характер субъективности.
Как отмечалось, одноуровневая многокритериальная оптимизация
считается наиболее сложным и проблематичным видом оптимизации в целом и такие задачи всегда обладают некоторой неопределенностью. Для
раскрытия этой неопределенности необходимы дополнительные условия,
формально выражающие то, что представляет собой многокритериальный
оптимум. Иначе говоря, необходимо представление лица, принимающего
решение, о возможной и допустимой мере компромисса между критериями
эффективности одного уровня исследуемого объекта.
Методы решения многокритериальных задач оптимизации основываются на ряде подходов. Первый подход основан на замене множества
целевых функций Z
(Х), Z2(Х), …, Z
1
(Х) на одну «сводную», глобальную
n
функцию G(Х). Для этого используется, как правило, оценка каждого критерия коэффициентом, характеризующим его значение для эффективного
функционирования всего исследуемого объекта. Для определения значений коэффициентов привлекаются эксперты, поэтому коэффициенты носят
в той или иной степени субъективный характер. Для уменьшения степени
субъективизма используют ряд приемов, в частности, подбор экспертов по
разному возрасту, квалификации и опыту работы. Кроме того, не принимают во внимание, игнорируют оценки, которые значительно отличаются
от средней величины и т.п.
Второй подход основан на установлении предпочтения среди множества критериев Z
(Х), Z2(Х), …, Z
1
(Х) или на выведении всех критериев,
n
кроме какого-то одного, в ограничения. При выведении критериев в ограничения целевой функции или установлении ряда предпочтений среди
критериев эффективности также используются экспертные заключения и,
соответственно, приемы для уменьшения субъективизма.
Третий подход заключается в выстраивании критериев по ранжиру в
зависимости от их важности по отношении к исследуемому объекту. В
этом случае оптимизацию ведут поочередно по каждому критерию, начиная с наиболее важного. Определяют область решения, а затем в этой области отыскивается оптимальное решение второго критерия и т.д.
Естественно, что все эти подходы не могут дать таких значений оптимизирующих переменных, которые бы смогли дать возможность определить оптимальное состояние исследуемого объекта. Решение задачи
многокритериальной оптимизации сводится к выделению из области допу-
153
стимых решений {D} области
X
()
оптимизирующих переменных, назы-
m
ваемой областью В. Парето (1848–1923) или П-областью. Пример выделения П-области для задачи с двумя критериями эффективности Z1 и Z2 пред-
ставлен на рис. 9.1. Внутри области
X
()
{D} невозможны улучшения
m
какого-либо критерия без не ухудшения остальных частных критериев. Таким образом, П-область представляет собой область компромиссов, это
множество решений, где значение любого из частных критериев оптимальности можно улучшить только за счет ухудшения других критериев.
Любое из решений, принадлежащее области Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям.
Область допустимых
решений
Z1
П-область Z
и Z
1
→ min
2
0 Z
2
Рис. 9.1. Парето-область минимизируемого вектора
Каждому решению соответствуют свои значения Z1 и Z2. На границе
области допустимых решений, снизу и слева, будут находиться точки, решения в которых не будут приводить к улучшению, т.е. одновременному
уменьшению Z1 и Z
.
2
9.3. Принцип свертки частных критериев
В формальных методах решения многокритериальная задача сводится к однокритериальной заменой множества частных критериев Zn(Х) одним глобальным критерием G(Х). Такой прием в решении многокритериальной задачи называется сверткой. Свертка всегда связана с необходимостью оценки всех частных критериев, представляющих собой конечное
множество показателей Zn(Х), характеризующих объект исследования.
Естественно, что такую оценку нужно проводить, исходя из степени влияния каждого показателя на эффективность функционирования объекта в
целом. Здесь много зависит от той цели, которая будет поставлена после
осознании проблемы, от того, что необходимо получить после реализации
154
принятого управленческого решения. При использовании линейных свер-
Z
Z
Z
ток П-область
X
()
будет определяется отклонением ∆G(X) вокруг неко-
m
торого среднего значения G
ср
.
Использование сверток для сведения многокритериальных задач с n
критериями эффективности к однокритериальной удобно не только концептуально, но и технически. Наиболее предпочтительными являются аддитивные и мультипликативные свертки. Линейная свертка имеет вид
n
G(Х) =
i
2
()
aZ X
ii
,
где аi – коэффициент значимости критерия i-го критерия эффективности
n
исследуемого объекта, 0 ≤ аi ≤ 1, т.е.
личин, от которых зависят критерии эффективности, Х = (х
a
= 1; Х – вектор переменных ве-
i
i
2
, х2, …, хm).
1
Условием использования аддитивных или линейных сверток является способность частных критериев Zi(Х) к сложению, т.е. они должны
иметь одинаковые размерности. Если это невозможно, то для обеспечения
этого требования коэффициентам значимости критериев аi в выражениях
аiZ
присваивают соответствующие размерности.
i
Мультипликативная свертка представляет собой
n
()
G(Х) =
i
X
.
i
2
Ее достоинством является отсутствие необходимости в выполнении
требования иметь одинаковые размерности у частных критериев, поэтому
мультипликативную свертку еще называют принципом справедливого
компромисса. Однако не всегда мультипликативная свертка отвечает компромиссной задаче. Можно только утверждать, что для 2-критериальных
задач, n = 2, применять такой критерий можно достаточно эффективно.
n
()
Область Парето
нулю или наименьших ее значений при заданном отклонении
X
определяется для выражения
m
2
i
()
X
, близких к
i
n
i
2
()
X
i
.
Кроме указанных сверток для формирования единого критерия G(Х)
и сведения многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной
может использоваться свертка в виде функций Кобба – Дугласа [13], представляющая собой частный случай мультипликативной свертки:
155
G(Х) =
n
()
aZ X
n
nn
2
n
, Х = (х1, х2, …, хm),
где аn – коэффициент значимости («вес») n-го частного критерия Z
βn – коэффициент усиления значимости n-го частного критерия Z
.
n
n
В свертках величины коэффициентов аn значимости частных критериев Zn и коэффициент βn усиления значимости назначаются экспертным
методом. Для этого могут использоваться различные способы, например,
ранжирования, парного сравнения, множественного сравнения, непосредственных оценок, Черчмена – Акоффа, Неймана – Моргенштерна и др. Все
методы экспертных оценок частных критериев можно подразделить на две
группы:
1) методы, позволяющие задавать величины исходя из оценок одного
эксперта, например, оценка числами, баллами при помощи способа Черчмена – Акоффа, когда в аддитивной свертке используются действительные не-
n
отрицательные числа аi при
a
= 1. Значения «весов» аi первоначально
i
2
i
устанавливаются экспертом в виде убывающего ранжированного i-го ряда в
n
диапазоне от 0 до 1. Затем выполняется проверка, должно быть а1 ≤
ia
, и
i
2
вносятся изменения. Процедура оценки повторяется (n – 1) раз;
2) методы, при использовании которых можно получить только
обобщенный для всех экспертов ряд коэффициентов. Например, здесь
применим способ Терстоуна, когда предполагается предварительная оценка весовых коэффициентов по частоте случаев предпочтения, отдаваемого
частным критериям каждым экспертом. Затем каждому критерию на этой
основе присваивается значение коэффициента, иногда для этого используется среднее арифметическое.
Во всех методах численной оценки частных критериев необходимо
стремиться к установлению такого порядка, который бы обеспечивал разработку оценок с приемлемой для практики достоверностью. Установленный порядок должен уменьшить, насколько это возможно, влияние субъективности при сравнительной оценке критериев [8]. Для этого в нем при
определении численных оценок критериев должны учитываться следующие требования:
;
оценки не должны нарушать постулатов рациональности и непро-
тиворечивости;
оценки следует согласовывать с оценочными суждениями того,
кто принимает решение о значимости критериев;
156
стремиться к наиболее точному соответствию реальности настоль-
ко, насколько это возможно;
должна быть достигнута некоторая мера согласия между теми, кто
принимает решение об оценке критериев.
Модель процесса разработки сравнительных количественных оценок, или блок-схема его алгоритма, представлена на рис. 9.2.
Оценка, сделанная каждым консультантом или экспертом
Процедура достижения
непротиворечивости
Процедура улучшения согласо-
вания оценок с оценочными
суждениями непротиворечивости
Процедура усовершенствования
согласования оценок с реально-
стью непротиворечивости
Процедура достижения согласо-
ванности оценок между
консультантами и экспертами
Правило сочетания для агрегатирования оценок Согласованность оценок
1)
2)
3)
4)
Проверка на непро-
тиворечивость
Проверка установле-
ния оценок и оце-
ночных суждений
Проверка согласо-
ванности оценок
с реальностью
Проверка степени
согласованности
оценок
Рис. 9.2. Блок-схема разработки количественных оценок критериев
Оценку выбора критериев могут выполнять несколько категорий
лиц, каждая из которых будет работать на своем качественном уровне. Это
могут быть консультанты, их действия должны удовлетворять первому
условию (см. рис. 9.2). Могут работать консультанты высокой квалификации, их оценки соответствуют первым двум требованиям. Если работают
эксперты, то оценки удовлетворяют первым трем требованиям. Консультанты и эксперты должны понимать, как они получают свои оценки и какого способа рассуждений придерживаются.
В соответствии с моделью определяется численная величина оценки
значимости каждого критерия. Оценочные же суждения в начале алгоритма количественных оценок представляют собой «глобальные» оценки,
157
позволяющие обходиться без моделей. Согласуются ли оценки и оценочные суждения между собой или нет, определяется по адекватности результатов выработанных числовых величин оценок.
Влияние фактора субъективности на величину числовых оценок значимости критериев дополнительно может быть уменьшено с помощью агрегатирования индивидуальных предпочтений консультантов и экспертов
в функцию предпочтения группы. Существо этого процесса агрегатирования заключается в том, что, если K лиц, входящих в группу, ранжировали
имеющееся множество критериев Zn, установив для них величины оценок
q
, q2, …, q
1
, то можно сформулировать основное правило агрегатирования
n
(рис. 9.3). Оно заключается в выполнения обязательного сравнения предпочтений
)1(
q , …,
1
)(1K
q разных консультантов или экспертов от k
-го до
1
K-го перед тем, как окончательно будет определено числовое значение
оценки, «веса»
)(1р
q , …,
)( р
q показателя эффективности Z
n
(X).
n
k
1
)1(
q
1
↔
)1(
q
2
↔ ,…,
↔
)1(
q
n
k
2
)2(
q
1
↔
)2(
q
2
↔
,…,
↔
)2(
q
n
…
K
)(1K
q
↔
)(2K
q
↔ ,…,
↔
)( K
q
n
)(1р
q
)(2р
q
,…,
)( р
q
n
Рис. 9.3. Схема правила агрегатирования
По своей сути агрегатирование – это дополнительная попытка более
полно использовать потенциал консультантов и экспертов, вынуждая их к
тесному сотрудничеству через установленную процедуру их отношений
между собой.
9.4. Эвристические методы и лексикографические задачи
Недостатки, свойственные формальным методам решения многокритериальных задач оптимизации, заставляют искать другие подходы и методы нахождения решения. Такие методы оптимизации, определяемые как
эвристические, предполагают упорядочение частных критериев. Многокритериальные задачи оптимизации со строго упорядоченными по важности критериями принято называть лексикографическими. Упорядочение
158
выполняется по принципу расположения букв в алфавите на основе оценки
экспертами частных критериев. Эти методы иногда называют аксиоматическими, поскольку они предусматривают установление предпочтения с
помощью некоторой системы аксиом. Для решения задач этого класса может быть использован ряд методов, хотя эффективность всех их невелика
вследствие неточностей в основе этих методов.
Метод главного критерия. Существо метода состоит в сведении
многокритериальной задачи к однокритериальной выделением одного
главного, основного критерия Zk(X) и стремлением обратить его в максимум или минимум в зависимости от смысла его значения. Остальные критерии Z
(X) считаются частными, на них накладываются только некото-
n-k
рые ограничения, чтобы они были не меньше или не больше определенных
заданных величин в зависимости от их смысла. Таким образом, замысел
метода главного критерия основывается в том, что множество критериев
Z
(X) обычно неравнозначны, одни более важны, чем другие, что позволяет
n
выделить главный критерий, а остальные рассматриваются как дополнительные, сопутствующие.
Метод последовательных уступок. Метод последовательных усту-
пок целесообразно применять для решения задач, в которых все частные
критерии упорядочены по степени важности и каждый критерий настолько
более важен, чем последующий, что можно ограничиться учётом только
связи критериев попарно. В этом методе предполагается, что разница в
важности критериев не слишком велика.
Метод последовательных уступок предусматривает все локальные
критерии предварительно ранжировать по важности. На первом шаге оптимизации отыскивается наилучшее решение по наиболее важному критерию Z1(X). На следующем шаге ищется решение, наилучшее по следующему по важности критерию Z2(X). Здесь при определении переменных (Х)
допустима потеря в значении первого критерия, но не более чем на некоторую установленную величину Δ1, которая определяется, исходя из смысла решаемой задачи, для улучшения значения Z
(X).
2
Таким образом делается уступка по первому критерию. На третьем
шаге оптимизируется решение по третьему критерию при заданных уступках по первому и второму. Выбирать величину допустимого снижения
очередного критерия нужно с учётом поведения лишь одного следующего
критерия. Процесс продолжается, пока не будет рассмотрен последний по
важности критерий. Получаемое в итоге решение считается оптимальным.
Значения величин уступок по критериям Z
(X), Z3(X), …, Z
2
(X) обычно пе-
n
ресматриваются после каждого шага оптимизации.
Недостатком метода являются сложности с назначением и согласованием величин уступок. Трудности возрастают с ростом размерности век-
159
торного критерия, а также необходимости формирования неизменного для
Z
Z
всей задачи ранжирования критериев.
Метод справедливого компромисса. Суть метода состоит в том,
что относительный уровень снижения эффективности по одному или нескольким частным критериям должен быть меньшим или равным относительному повышению по остальным критериям. Например, если в многомерной задаче оптимизации векторы Х
решения, а Х1 превосходит Х2 в Z
1(Х1
мера относительного снижения значения частого критерия Z
() ( )
μ
11 12
=
1
max ( )
, Х
представляют собой возможные
1
2
), но уступает в Z
XZX
.
ZX
11
), то принимается
2(Х1
1
Величина значения меры снижения устанавливается исходя из смысла частных критериев эффективности.
Лексикографический метод. В основе этого метода лежит понятие
лексикографического предпочтения критериев, заключающееся в том, что
имеются надежные сведения о важности одних частных критериев по отношению к другим, и это позволяет выстроить их в ряд предпочтений
Z
(X), Z2(X), ..., Z
1
(X). Отыскиваются оптимизирующие значения вектора
n
переменных (X) для первого критерия Z1(X) как наиболее важного. Если
диапазон переменных (X) велик, то для возможности уточнения их вели-
чин аналогичная операция проводится с критерием Z2(X) и так по всему
лексикографическому ряду до Z
При стремлении, например, к минимуму частного критерия Z
(X).
n
(X)
1
множества Zn(X) сравниваются его значения при решениях Х1 и Х2. Может
быть Z
множеству Zn(X). Оптимизирующим решением
1(X1
) < Z1(X
) или Z
2
1(X1
) = Z1(X
), и так последовательно по всему
2
()
X
будет такое, которое
m
не хуже любого другого решения.
Метод «жесткого приоритета». В соответствии с этим методом
частные критерии располагают в ряд предпочтения по их важности. Оптимизацию проводят последовательно, начиная с наиболее важного критерия, например Z1(Х). Второй по важности критерий оптимизируют уже в
области оптимальных значений Х по критерию, т.е. на подмножестве
XX , на котором Z
1Z
(Х) сохраняет оптимальные значения. Оптимиза-
1
цию последующих критериев выполняют аналогичным образом:
XX
21
. Недостатком метода является то, что он не применим, если оп-
Z
тимальный вектор единственный и не составляет область оптимальных
решений. Например, методы многомерной оптимизации (градиентный, линейного программирования) формально дают решение в виде единственного вектора Х
, если не задаются допустимые отклонения оптимальных
opt
значений критерия оптимизации.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]