Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
Дальше нужно вычислить частные производные функции Лагранжа
по переменным, для чего можно использовать прикладной пакет MathCad.
n:= 10 Q:= 90000 ℓ:= 650 с1:= 500 с2 = 420, c3:= 380 р:= 4
d
F(d,h, 1, 2,u)
4970,000·π·d + 4200·π·h + 5·λ1·π·d·h +15,0·λ2
dd
d
F(d,h, 1, 2,u)
4200·π·d +
dh
d
F(d,h, 1, 2,u)
d1
d
F(d,h, 1, 2,u)
d2
5
·λ1·π·d
2
15.0·d – 606 + u
5
·λ1·π·d
2
2
·h – 90000
2
2
d
F(d,h, 1, 2,u)
2·λ2·u.
du
Приравняв каждую производную к нулю, получим систему уравнений, для решения которой использован вычислительный блок Given / Find.
Given d:= 1 h:= 1 λ1:= 1 λ2:= 0 u:= 1
4970,000·π·d + 4200·π·h + 5·λ1·π·d·h + 15,0·λ2 = 0
4200·π·d +
5
·λ1·π·d
2
= 0
2
5
·λ1·π·d
2
·h – 90000 = 0
2
2
15,0·d – 606 + u
= 0
2·λ2·u = 0
21,319
25,223
Find(d,h,λ1,λ2,u) =
78,818
.
0
16,919
Применение при сооружении терминала наливного груза емкостей,
имеющих диаметр d ≈ 21,3 м и высоту h ≈ 25,2 м, обеспечивает минимальные затраты на строительство.
Подстановка оптимизирующих значений переменных в целевую
функцию дает оптимальное значение стоимости строительства терминала:
n ·
ccdhc
12 3
22
dd
0,65
= 2,1 · 10
4
тыс. р.
42
61
Задача 3.4.5. Изготовление грузоподъемной оснастки.
d
Исходные данные. На грузовом терминале планируется изготовление
грузоподъемной оснастки для работы с навалочным грузом. Оснастка
должна представлять собой ковш в виде горизонтального полуцилиндра
диаметром d и длиной l, который должен иметь объем V = 5 м3 и изготавливаться из листовой стали толщиной t = 16 мм. Соотношение длины и
ширины ковша не более k = 2,0. Удельная масса стали γ = 7,8 т/м
3
.
Требуется вычислить размеры оснастки такие, чтобы масса ее была
минимальной.
Решение. Целевая функция будет представлять собой массу грузоподъемной оснастки, состоящей из обшивки полуцилиндра диаметром d и
двух торцов толщиной t.
2
Z(r, l) =
dlt d t
или Z(r, l) =
24
2
dt d
22
l
.
Одно уравнение ограничений будет описывать объем грузоподъемной оснастки (ковша), а второе – соотношение ее длины и ширины:
2
dl
,
V
8
l
≤ k.
d
Уравнение Лагранжа после преобразования уравнения ограничений в
виде неравенства в равенство имеет вид
2
dl
+ λ
1
8
V
l
λ
2
d
2
ku
.
F(d, l, λ1, λ
, u) =
2
dt d
22
l
Вычисление частных производных по переменным r, l, λ1, λ2, u и
дальнейшее решение задачи оптимизации приведено в виде листинга прикладного пакета MathCad.
V:= 5 t:= 16·10
d
F(d,l, 1, 2,u)
dd
d
F(d,l, 1, 2,u)
dl
d
d1
F(d,l, 1, 2,u)
d
F(d,l, 1, 2,u)
d2
–3
γ:= 7,8 k:= 2
→
.195936 d .195936 1 .785000 1 d1 2
→
.195936 d .392500 1 d
2
2
d
→
.392500 d l 5,0
l
→
2
2
u2
1
2
d
62
d
d
F(d,l, 1, 2,u)
→22u
du
Given d:= 1 l:= 1 λ1:= 1 λ2:= 1 u:= 1
1
.195936 d .195936 1 .785000 1 d1 2
.195936 d .392500 1 d
d
2
2
= 0
2
= 0
d
.392500 d l 5,0 = 0
2
l
2
= 0
u2
22u = 0
2,335
2,335
Find(d, l, λ1, λ2, u) =
0,14
.
0
1
Расчет размеров грузоподъемной оснастки показал, что диаметр d
полуцилиндра составляет 2,335 м, а его длина l также 2,335 м.
В заключение изложения метода оптимизации на основе уравнения
Лагранжа целесообразно сделать несколько замечаний. Подход к факторам, формирующим ограничения, накладываемые на целевую функцию,
должен определяться не столько формальными признаками, сколько смыслом оптимизационной задачи. В первую очередь это относится к точности,
которая не должна быть чрезмерной, а устанавливаться из величины погрешности, достаточной для практического использования результатов
расчета, и учитывать точность средств измерения.
Возможно, что результаты решения задачи будут представлять собой
некий справочный материал и достаточно только приближенного значения
экстремума целевой функции. Тогда поиск решения с максимальной точностью становится излишней тратой усилий. Наконец, существенное значение имеет вид целевой функции и уравнений ограничений, т.к. они полностью определяют применение того или иного метода решения оптимизационной задачи.
63
4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
4.1. Задачи линейного программирования
Основоположниками линейного программирования как метода разработки, принятия оптимальных управленческих решений являются
Л. В. Канторович (1912–1986) и Д. Б. Данциг (1914–2005). Задачи линейного программирования являются относительно простыми и наиболее изученными среди задач математического программирования. В общем виде
задача математического программирования заключается в нахождении
экстремального значения целевой функции Z(X) при условии gi(X) ≤ bi, где
Х = (х
, х2, …, хm), bi – действительные числа, а Z(X) и gi(X) – заданная це-
1
левая функция и накладываемые на нее уравнения ограничений.
Линейное программирование, являясь частью математического программирования и представляя собой раздел математики, изучающий способы отыскания максимума или минимума целевой функции при наличии
ограничений, имеет ряд характерных особенностей. Во-первых, показатель
эффективности или целевая функция Z(X) имеют линейную зависимость от
вектора переменных величин Х = (х1, х2, …, хm). Во-вторых, ограничения
g
(X), которые накладываются на переменные величины, имеют вид линей-
i
ных равенств или неравенств. Набор значений переменных величин, при
которых достигается максимум или минимум целевой функции, определяет оптимальное решение задачи, а всякий другой набор, удовлетворяющий
ограничениям, определяет допустимое решение.
Существо этих задач заключается в вычислении оптимизирующих
значений переменных величин, от которых зависит оптимальное значение
целевой функции. В качестве ее может рассматриваться довольно широкий
спектр различных показателей, в том числе экономических показателей
работы транспортной компании или транспортных средств. Это может
быть себестоимость перевозки, доход от нее, время перевозки и т.д.
Круг задач с линейными математическими моделями, решаемых методом линейного программирования, достаточно широк. Во-первых, это
задачи планирования производства, связанные с распределением работ по
оборудованию. Во-вторых, задачи составления, разработки различного рода смесей, например, приготовление кормов для скота. В-третьих, задачи,
связанные с использованием каких-либо материалов, например, задачи
раскроя листового проката. В-четвертых, задачи подготовки и комплектования персонала предприятия. Наконец, в-пятых, это так называемые
транспортные задачи рациональной организации перевозок, к которым
примыкают задачи вооруженной борьбы.
Задача распределения ресурсов состоит в организации производства,
например, эффективной необрастающей краски из имеемых на складах
64
предприятия компонентов. Предположим, что краска состоит из четырех
компонентов К1, К2, К3 и К4, эффективность каждого с1i, с2i, с3i и с4i соответственно по трем свойствам-элементам (адгезия, отрава, пигмент). Требуется разработать состав компонентов необрастающей краски, чтобы для
качественной агдезии она содержала связующего вещества не менее b
1
условных единиц; препятствующей обрастанию водорослями и моллюсками отравы не менее b2, условных единиц, а также цветного пигмента b
условных единиц. На единицу каждого компонента краски К1, К2, К3 и К
3
4
известно содержание условных единиц составляющих краски, определяющих эффективность защитных свойств краски и, соответственно, период
между докованиями судна (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Составляющие компоненты краски
Компонент Составляющие краски
Связующая Необрастающая Пигмент
,
,
К1 а
11
К2 а21 а22 а
К3 а31 а32 а
К4 а41 а42 а
а
а13
12
23
33
43
Требуется получить такой состав необрастающей краски (количество
каждого ее компонента), чтобы краска имела хорошую адгезию, корпус не
обрастал, т.е. продолжительность между докованиями судна была максимальной.
Целевая функция будет иметь вид
4
где x
Z(X) = с1x
, x2, x3, x
1
4
+ с
1
2x2
+ с
3x3
+ с
→ max или
4x4
xс → max,
1i
ii
(4.1)
– количество компонентов К1, К2, К3 и К4 соответственно.
На целевую функцию исходя из условий решения задачи накладываются ограничения по составу краски:
а11 x
кроме того, x
, x2, x3, x
1
+ а
1
а
+ а
12 x1
а13 x
+ а
1
не могут быть отрицательными величинами:
4
x
≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0. (4.3)
1
21 x2
22 x2
23 x2
+ а
+ а
+ а
31 x3
32 x3
33 x3
+ а
+ а
+ а
41 x4
42 x4
43 x4
≥ b
≥ b
≥ b
,
1
,
2
,
3
(4.2)
Уравнения ограничений (4.2), (4.3) образуют систему линейных
уравнений, решение которой определит оптимизирующие значения переменных x
, x2, x
1
и x
3
.
4
65
Итак, задача сводится к следующему: найти такие неотрицательные
значения переменных x
, x2, x3, x
1
, чтобы они удовлетворяли ограничениям,
4
системе линейных уравнений (4.2), (4.3) и одновременно обращали в максимум линейную функцию (4.1).
Задача планирования производства заключается в нахождении такого
решения, принятие которого дает определенный максимальный производственный эффект, например, максимальный доход. Предположим, что
предприятие производит изделия, например, спасательные плоты трех типов С
ответственно b
, С
, и С3, по каждому из которых имеются договоры на поставку со-
1
2
, b
и b
1
2
единиц. По условиям договора поставки их коли-
3
чество может быть увеличено, но не более β1, β2 и β3. Для изготовления
плотов необходимо затратить прорезиненную ткань S1, клей S2, закладные
детали S3 и трудоемкость S4. Количество этих ресурсов на складе предприятия ограничено величинами s
, s2, s
1
и s4. В табл. 4.2 сведены значения ко-
3
личества единиц ресурсов каждого вида, которое идет на изготовление
каждого типа плотов.
Таблица 4.2
Ресурсы для производства плотов
Ресурсы Типы спасательных плотов
С
С2 С3
1
S
а
1
S
а12 а22 а32
2
S
а13 а23 а33
3
S
а14 а24 а34
4
11
а
а31
21
После реализации одного поставленного по договору плота типа С
С
, и С3 предприятие соответственно получает доход с
2
1
, с
и с
2
.
3
1
Требуется разработать такой план производства, чтобы договоры
были выполнены, а предприятие получило максимальный доход.
Целевая функция, описывающая доход предприятия от реализации
изготовленных спасательных плотов, имеет вид
3
где x
, x2, x
1
Z(X) = с1x
– количество изготовленных плотов типа С
3
+ с
1
2x2
+ с
→ max или
3x3
xс → max,
ii
1i
1
(4.4)
, С2, С3.
Уравнения ограничений составляются исходя из условий решения
задачи, которые накладываются на переменные величины x
, x
, и x3, опре-
1
2
деляющие решений задачи. Каждое уравнение указывает на то, что затраты
ресурсов на изготовление плотов не могут быть больше, чем имеет предприятие, а количество изготавливаемых плотов не может быть отрицательным:
,
66
а11 x
а
а13 x
а14 x
β
< x
1
12 x1
x
≥ b
1
1
1
1
≥ 0,
1
+ а
+ а
+ а
+ а
1, β2
+ а
21 x2
+ а
22 x2
+ а
23 x2
+ а
24 x2
≥ 0, x3 ≥ 0,
x2
< x
≥ b2, β
2
31 x3
32 x3
33 x3
34 x3
≤ S
≤ S
≤ S
≤ S
< x
3
,
1
,
2
,
3
,
4
≥ b
3
(4.5)
.
3
Решение системы уравнений (4.5) дает значение оптимизирующих
переменных x
, x
, и x3, обращающих в экстремум значение целевой функ-
1
2
ции (4.4).
Наиболее распространены среди задач линейного программирования
так называемые транспортные задачи, т.к. с их использованием можно
описывать и решать задачи из многих областей деятельности человека. В
частности, примером может служить задача организации снабжения промысловых судов. Задача может решаться лишь в случае, когда требуется
перевозка, перемещение или доставка однородного груза.
Предположим, что в определенном районе моря ведут промысел три
траулера Т1, Т2 и Т3, которые требуется снабжать топливом. Потребности
каждого судна составляют р
, р
и р3, т. Имеются пять портов П1, П2, П3, П
1
2
4
и П5, откуда возможна доставка топлива. Доставка 1 т топлива, получаемого судном Тi из порта Пj, обходится сij, р. (табл. 4.3).
П
и П
4
b
, b2, b3, b
1
Возможности снабжения топливом у каждого из портов П1, П2, П
ограничены емкостью их хранилищ и составляют соответственно
5
и b5, т.
4
3
Требуется разработать план снабжения промысловых судов такой,
чтобы стоимость доставки судам топлива из портов была минимальной.
Таблица 4.3
Стоимость перевозки топлива на маршрутах
,
Суда Порты
П
1
Т
с
1
Т
с21 с22 с23 с24 с25
2
Т
с31 с32 с33 с34 с35
3
11
П2 П3 П4 П
с
с13 с14 с15
12
Целевая функция, представляющая собой стоимость доставки топлива судам из портов, имеет вид
315
Z(X) =
ij
67
5
,
xc
ijij
1
(4.6)
где xij – количество топлива, перевозимого на судно Тi из порта П
Уравнения ограничений исходя из потребностей судов Т1, Т2 и Т
x
+ x12 + x13 + x14 + x15 = р1,
11
x
+ x22 + x23 + x24 + x25 = р1,
21
x
+ x32 + x33 + x34 + x35 = р1.
31
.
j
3
(4.7)
Уравнения ограничений по запасам топлива в портах
x
+ x21 + x
11
x
+ x22 + x
12
x
+ x23 + x
13
x
+ x24 + x
14
x
+ x25 + x
15
x
≥ 0,
1
x2
≤ b
≤ b
≤ b
≤ b
≤ b
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
31
32
33
34
35
≥ 0, x3 ≥ 0.
(4.8)
Решение систем уравнений (4.7), (4.8) позволяет найти неотрицательные значения переменных xij, обращающих в минимум значение целевой функции (4.6).
Реальные задачи линейного программирования, ориентированные на
экономику, содержат довольно большое, до десятков тысяч, количество
переменных величин. Практическое решение таких больших систем линейных уравнений даже аналитически сложно без применения ЭВМ.
4.2. Общая постановка задачи
Математическая постановка задачи линейного программирования
состоит в определении целевой функции Z(Х), находящейся в линейной зависимости от вектора переменных Х = (х
, х2, …, х
1
), и устремлении ее к
m
экстремуму с учетом имеющихся линейных ограничений [3]:
2211
xaxaxaXZ
min(max)...
mm
,
(4.9)
где m = 1, 2, …, m – количество переменных.
Поскольку всякая система линейных неравенств может быть сведена
к системе равенств, то ограничения целевой функции имеют вид
a11x
a21x
+ a
1
+ a
1
12x2
22x2
+…+ a
+…+ a
1m
2m
x
m
x
m
= b1,
= b2,
(4.10)
…
an1x
+ a
1
n2
x
2
+…+ a
nmxm
= bn,
где n = 1, 2, …, n – количество уравнений ограничений.
В более краткой записи целевая функция и уравнения ограничений
соответственно имеют вид
68
m
i
1
xaXZ
ii
min(max)
,
n
j
1
bxс
, х
≥ 0,
j
iji
m
где j = 1, 2, …, n – количество уравнений ограничений целевой функции
Z(X).
Запись задачи линейного программирования с такой формой уравнений ограничений называют канонической. К уравнениям (4.9), (4.10) добавлены также ограничения хm ≥ 0, исходящие из естественных свойств тех
понятий, категорий, которыми оперируют в задачах линейного программирования. Например, количество груза в транспортной задаче, перевозимого по маршрутам, не может быть отрицательным.
Требуется среди решений системы уравнений (4.10) с учетом добавленных смысловых ограничений хm ≥ 0 найти неотрицательное решение,
при котором линейная функция (4.9) принимает экстремальное значение.
Отыскивать минимальное или максимальное значение целиком и полностью зависит от конкретной решаемой задачи. Например, если целевая
функция описывает доход предприятия, то по смыслу этого показателя
функцию следует максимизировать. Если же целевая функция описывает
затраты, то ее, естественно, нужно минимизировать.
Исходя из общей постановки задачи линейного программирования
несложно увидеть, что для ее решения количество переменных должно
быть равно количеству уравнений ограничений. Однако возможны отклонения от этого требования. По способу решения эти задачи линейного программирования можно разделить на две группы в зависимости от соотношения М (количество переменных) и I (количество ограничений):
1) Задачи, в которых М < I, решаются аннулированием или отбрасы-
ванием лишних ограничений на М-переменных, количество которых для
достижения алгебраического решения системы уравнений из этих ограничений будет равно I – М. Двухмерные и трехмерные задачи этого типа
сравнительно легко решаются графически. При М > 3 и небольшой разнице I – М некоторые задачи можно решить, используя приемы комбинаторики (перебор вариантов). При больших значениях М и I – М необходимо
использовать специализированные методы решения.
2) Задачи, в которых М > I, решаются аннулированием лишних пере-
менных во множестве Х = (х
, х2, …, х
1
), количество которых для получе-
m
ния алгебраического решения системы уравнений составит М – I. При небольших значениях М и разницы М – I для решения задачи могут быть использованы методы комбинаторного анализа.
Теперь, когда имеется возможность для решения систем уравнений
применять прикладные пакеты типа MahtCad, успех использования метода
линейного программирования зависит от умения аналитиков составлять
математические модели исследуемого объекта, которые должны включать
69
в себя целевые функции и системы уравнений, описывающих имеющиеся
ограничения на целевую функцию.
Задача 4.2.1. План производства.
Исходные данные. Предприятие выпускает шлюпки двух типов. На
изготовление шлюпки типа I, цена реализации которой s1, идет f1, м2, материала корпуса, k1, кг, краски и шпаклевки, а также r1, чел.-ч, трудоемкости.
Для шлюпки типа II эти же данные составляют соответственно s
r
. В распоряжении предприятия имеется F, м2, материала, K, кг, краски и
2
, f2, k
2
2
и
персонал, способный за установленное время переработать R, чел.-ч, трудоемкости.
Требуется разработать план производства, определив, какое количе-
ство х1 и х2 шлюпок каждого типа нужно построить, чтобы получить
наибольший доход от их продажи при заданных параметрах (табл. 4.4).
Таблица 4.4
Ресурсы для производства шлюпок
Шлюпки Цена
s Требуется для изготовления
шлюпок
Матери-
f
ал
Краска k Трудоем-
кость
r
Ресурсы
предприятия
F
K R
Тип I 90 10 5 20 5000 1500 5000
Тип II 130 40 10 20
Задача оптимизации относится к группе, у которой М < I, где М – ко-
личество переменных, I – количество ограничений, поэтому ее можно решить графически.
Стоимость продукции, которую планируется выпустить при установленных стоимостях, определяется целевой функцией, которую нужно
максимизировать:
Z(X) = Z(x
, x2) = 90x1 + 130x
1
→ max.
2
Ресурсы, необходимые для изготовления шлюпок обоих типов и
имеющиеся в распоряжении предприятия, накладывают ограничения на
целевую функцию, которые описываются системой уравнений равенств и
неравенств. К ним нужно добавить ограничения, вытекающие из физического смысла значений оптимизирующих переменных x1 и x2, т.е. количество шлюпок не может быть отрицательным числом:
10х1 + 40х
5х1 + 10х
20х1 + 20х
х
≥ 0, х2 ≥ 0.
1
≤ 5000 – ограничения по материалу;
2
≤ 1500 – ограничения по краске;
2
≤ 5000 – ограничения по трудоемкости;
2
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]